ErdösによるSylvester-Schurの定理の証明とBertrand-Chebyshevの定理

　${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$だから，Legendreの定理より
$$a=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor -\lfloor \frac{k}{p^i}\rfloor -\lfloor \frac{n-k}{p^i}\rfloor )$$
が従う．ここで，任意の$i$について$\lfloor {\displaystyle \frac{n}{p^i}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{k}{p^i}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{n-k}{p^i}}\rfloor$は$0$か$1$のいずれかをとり，$p^i>n⟺i>{\log }_{p}n$のときは常に$\lfloor {\displaystyle \frac{n}{p^i}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{k}{p^i}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{n-k}{p^i}}\rfloor =0$となるから，
$$a\le \sum _{i=1}^{{\log }_{p}n}1={\log }_{p}n$$
となり補題は成立する．

　素数$p$に対して$\lfloor \sqrt[l]{n}\rfloor <p\le \lfloor \sqrt[l]{2n}\rfloor$，つまり$\sqrt[l]{n}<p\le \sqrt[l]{2n}$を満たす正整数$l$が存在するとき，$n<p^l\le 2n$である．ここで，Legendreの定理より
$$\begin{array}{rl}{v}_p\left({\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\right)& =(\lfloor \frac{2n}{p}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{2n}{p^{l-1}}\rfloor +\lfloor \frac{2n}{p^l}\rfloor )-2(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n}{p^{l-1}}\rfloor )\\ & =(\lfloor \frac{2n}{p}\rfloor -2\lfloor \frac{n}{p}\rfloor )+\cdots +(\lfloor \frac{2n}{p^{l-1}}\rfloor -2\lfloor \frac{n}{p^{l-1}}\rfloor )+\lfloor \frac{2n}{p^l}\rfloor \end{array}$$
が成立する．
　このとき，任意の$1\le i\le k-1$に対して$\lfloor {\displaystyle \frac{2n}{p^i}}\rfloor \ge 2\lfloor {\displaystyle \frac{n}{p^i}}\rfloor$であり，$\lfloor {\displaystyle \frac{2n}{p^l}}\rfloor =1$だから$v_p\left({\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\right)\ge 1$．よって${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$は$p$で割り切れる．

　数列$\{a_i\}$は広義単調減少だから，$\{\lfloor \sqrt[l]{a_i}\rfloor \}$,$\{\lfloor \sqrt[l]{2a_i}\rfloor \}$も広義単調減少である．
　ここで，$\lfloor \sqrt[l]{a_m}\rfloor =1$であり，$2a_1=2\lceil {\displaystyle \frac{n}{2}}\rceil \ge n$より$\lfloor \sqrt[l]{2a_1}\rfloor \ge \lfloor \sqrt[l]{n}\rfloor$である．
　また，任意の$1<i<m$に対して$\lceil {\displaystyle \frac{n}{2^i}}\rceil \le 2\lceil {\displaystyle \frac{n}{2^{i+1}}}\rceil$，すなわち$a_i\le 2a_{i+1}$が成立するから$\lfloor \sqrt[l]{a_i}\rfloor \le \lfloor \sqrt[l]{2a_{i+1}}\rfloor$が従う．
　よって
$$\bigcup _{i=1}^m(\lfloor \sqrt[l]{a_i}\rfloor ,\lfloor \sqrt[l]{2a_i}\rfloor ]\supseteq (1,\lfloor \sqrt[l]{n}\rfloor ]$$
が示された．

　補題4より，右辺は$\lfloor \sqrt[l]{a_i}\rfloor <p\le \lfloor \sqrt[l]{2a_i}\rfloor$($i,l$は正整数，$1\le i\le m$)を満たす素数$p$で割り切れる．ここで，補題5より，右辺は$1<p\le \lfloor \sqrt[l]{n}\rfloor$，つまり$1<p\le \sqrt[l]{n}$($l$は正整数)を満たす素数$p$で割り切れる．
　ここで，$m_i$を$2^{m_i}\ge a_i$を満たす最小の自然数とすると，$1\le l<m_i$のとき$\sqrt[l+1]{2a_i}\le \sqrt[l]{a_i}$となるから，$(\sqrt[l+1]{a_i},\sqrt[l+1]{2a_i}]\cap (\sqrt[l]{a_i},\sqrt[l]{2a_i}]=\varnothing$となる．また，$l\ge m_i$のとき$\lfloor \sqrt[l]{a_i}\rfloor <p\le \lfloor \sqrt[l]{2a_i}\rfloor$を満たす素数$p$は存在しない．
　よって，右辺は$\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p$で割り切れ，右辺を$\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p$で割ったものは$\prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p$で割り切れ，右辺を$\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p$で割ったものは$\prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p$で割り切れ，…となる．つまり右辺は$\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots$で割り切れる．従って
$$\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots \le (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_1}{a_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_2}{a_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_m}{a_m})$$
が成立する．

　$n<10$のときは調べると分かる．
　$n\ge 10$のときを考える．$n$未満の任意の正整数で式(1)が成立すると仮定する．
　ここで，式(1)において$n=2a_2-1$とすると
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_1^{\prime }}{a_1^{\prime }})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_2^{\prime }}{a_2^{\prime }})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_{m^{\prime }}^{\prime }}{a_{m^{\prime }}^{\prime }})\le 4^{2a_2-1}$$
となる．ただし，$a_i^{\prime }=\lceil {\displaystyle \frac{2a_2-1}{2^i}}\rceil$，$m^{\prime }$を$2^{m^{\prime }}\ge 2a_2-1$を満たす最小の正整数とおいた．このとき，
$$a_i^{\prime }=\lceil \frac{2a_2-1}{2^i}\rceil =\lceil \frac{1}{2^{i-1}}\lceil \frac{n}{2^2}\rceil -\frac{1}{2^i}\rceil =\lceil \frac{n}{2^{i+1}}\rceil =a_{i+1}$$
であり，$m^{\prime }=m-1$であるから，この式は
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_2}{a_2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_3}{a_3})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_m}{a_m})\le 4^{2a_2-1}⟺(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_1}{a_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_2}{a_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_m}{a_m})\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_1}{a_1})4^{2a_2-1}$$
と書ける．
　また，$n\ge 10$より$a_n\ge 5$であり，正整数$l\ge 5$に対して${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2l}{l})}<4^{l-1}$が成立するから（これは数学的帰納法により示せる），この式は
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_1}{a_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_2}{a_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_m}{a_m})\le 4^{a_1+2a_2-2}$$
と書ける．ここで，$2a_1\le n+1$，$2a_2\le a_1+1$より$a_1+2a_2-2\le 2a_1-1\le n$となるから
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_1}{a_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_2}{a_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{2a_m}{a_m})\le 4^n$$
が従う．よって，任意の$n$に対して式(1)が成立することが示された．

　補題6，補題7より従う．

　$N$以下の素数$p$を考える．$p^l\le n<p^{l+1}$を満たす正整数$l$をとると，$\sqrt[l+1]{n}<p\le \sqrt[l]{n}$が従うから
$$v_p(\prod _{\begin{array}{c}p\le N\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots )=l$$
となる．一方，$a=v_p\left({\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\right)$ とおくと，命題3より$p^a\le n$となるので$a\le l$．
　つまり，任意の$N$以下の素数$p$に対して
$$v_p\left({\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\right)\le v_p(\prod _{\begin{array}{c}p\le N\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots )$$
が成立するから補題は従う．

　${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数が全て$k$以下であると仮定する．
　$k\ge 33$のとき$\pi (k)\le {\displaystyle \frac{1}{3}}k$だから，命題3より
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}{p}^{v_p((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}))}\le \prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}n=n^{\pi (k)}\le n^{\frac{1}{3}k}$$
となる．
一方，
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n}{k}\cdot \frac{n-1}{k-1}\cdot \cdots \cdot \frac{n-k+1}{1}>{\left(\frac{n}{k}\right)}^k$$
が成立する．これより
$${\left(\frac{n}{k}\right)}^k<n^{\frac{1}{3}k}⟺n^{\frac{2}{3}k}<k^k$$
が従うが，これは$k\le n^{\frac{2}{3}}$に矛盾する．よって示された．

　命題8より
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \prod _{\begin{array}{c}p\le N\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{N}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{N}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots \le 4^N\end{array}$$
が成立する．
　式(2)に$N=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$を代入して
$$\prod _{\begin{array}{c}p\le \lfloor \sqrt{n}\rfloor \\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \lfloor \sqrt[4]{n}\rfloor \\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \lfloor \sqrt[6]{n}\rfloor \\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots \le 4^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }$$
となる．ここで，$p$が素数のとき$p\le \lfloor \sqrt[2l]{n}\rfloor ⟺p\le \sqrt[2l]{n}$であり，$4^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\le 4^{\sqrt{n}}$だから
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[4]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[6]{k}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots \le 4^{\sqrt{n}}\end{array}$$
となる．
　また，$k>n^{\frac{2}{3}}$のとき，任意の$l\ge 2$に対して$\sqrt[l]{k}\ge \sqrt[2l-1]{n}$となるから，式(2)より
$$\begin{array}{}\text{(4)}& \prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[5]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots \le 4^k\end{array}$$
となる．
　よって，式(3)と式(4)より
$$\prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots \le 4^{k+\sqrt{n}}$$
が成立することが示された．

　任意の正整数$k$に対して${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}\ge {\displaystyle \frac{4^k}{2k}}$が成立することが数学的帰納法により分かる．
　ここで，
$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\ge {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{4k}{k})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}\frac{4k}{2k}\frac{4k-1}{2k-1}\cdots \frac{3k+1}{k+1}\ge \frac{4^k}{2k}\cdot 2^k=\frac{8^k}{2k}$$
と評価できる．
　さて，${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数が全て$k$以下であると仮定すると，命題9より
$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\le \prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots$$
が成立する．これと補題11より${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\le 4^{k+\sqrt{n}}$が従うから，
$$\frac{8^k}{2k}\le 4^{k+\sqrt{n}}⟺\frac{2^k}{2k}\le 4^{\sqrt{n}}$$
となる．ここで，$k\ge 33$で$2^{\frac{1}{3}k}>2k$が従うから，$2^{\frac{2}{3}k}\ge 2^{2\sqrt{n}}$，つまり$k\ge 3\sqrt{n}$が成立する．一方，$k>n^{\frac{2}{3}}$であるから$n^{\frac{2}{3}}<3\sqrt{n}$となる．
　しかし，これは$n\ge 900$では成立せず矛盾．よって示された．

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{5}{2}k\rfloor }{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{\lfloor \frac{5}{2}k\rfloor }{2k}\frac{\lfloor \frac{5}{2}k\rfloor -1}{2k-1}\cdots \frac{\lfloor \frac{5}{2}k\rfloor -k+1}{k+1}\ge \frac{4^k}{2k}{\left(\frac{5}{4}\right)}^k$$
と評価できる．
一方，${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数が全て$k$以下であると仮定すると，命題12の証明と同様にして${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\le 4^{k+\sqrt{n}}$が従う．これより
$$\frac{4^k}{2k}{\left(\frac{5}{4}\right)}^k\le 4^{k+\sqrt{n}}⟺{\left(\frac{5}{4}\right)}^k\le 2k\cdot 4^{\sqrt{n}}$$
となる．ここで，$n<4k$より${\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^k<2k\cdot 4^{\sqrt{4k}}$となり，これは$k<205$で成立する．しかし，これは$n\ge 900$に矛盾する．よって示された．

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\ge {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}\ge \frac{4^k}{2k}$$
と評価できる．
　ここで，素数$p\le k$が${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$を割り切るとすると，$v_p(k!(n-k)!)\ge 2$より$v_p(n!)\ge 3$である必要がある．だから$p\le {\displaystyle \frac{1}{3}}n$となる（$p=2$のときも$n\ge 33$より従う）．
　これより，${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数が全て$k$以下であると仮定すると，${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数は${\displaystyle \frac{1}{3}}n$より大きな素因数をもたないから，命題9において$N=\lfloor {\displaystyle \frac{1}{3}}n\rfloor$とし，補題11も用いて
$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\le \prod _{\begin{array}{c}p\le \lfloor \frac{1}{3}n\rfloor \\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots =\prod _{\begin{array}{c}p\le \frac{1}{3}n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \prod _{\begin{array}{c}p\le \sqrt[3]{n}\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}p\cdot \cdots <4^{\frac{1}{3}n+\sqrt{n}}\le 4^{\frac{5}{6}k+\sqrt{n}}$$
が成立する．これより
$$\frac{4^k}{2k}<4^{\frac{5}{6}k+\sqrt{n}}⟺4^{\frac{1}{6}k}<2k\cdot 4^{\sqrt{n}}$$
となる．ここで，$2k\le n<4^{\sqrt{n}}$，$k\ge {\displaystyle \frac{2}{5}}n$だから
$$4^{\frac{1}{15}n}<4^{2\sqrt{n}}⟺n<30\sqrt{n}$$
となるが，これは$n\ge 900$では成立せず矛盾．よって示された．

　今$k\ge 33$を仮定しているので，$66\le n<900$について考えればよいが，この範囲に連続$33$数が合成数となる区間は存在しないので（これは素数表を見れば分かる），連続する$k$数を選べば常に素数が含まれる．よって示された．

　${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数が全て$k$以下であると仮定する．
　$k\ge 8$のとき$\pi (k)\le {\displaystyle \frac{1}{2}}k$だから，命題3より
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}{p}^{v_p((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}))}\le \prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}n=n^{\pi (k)}\le n^{\frac{1}{2}k}$$
となる．一方，
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n}{k}\cdot \frac{n-1}{k-1}\cdot \cdots \cdot \frac{n-k+1}{1}>{\left(\frac{n}{k}\right)}^k$$
が成立する．これより
$${\left(\frac{n}{k}\right)}^k<n^{\frac{1}{2}k}⟺n^{\frac{1}{2}k}<k^k$$
が従うが，これは$k\le \sqrt{n}$に矛盾する．よって示された．

　$k>\sqrt{n}$のとき，$n<k^2\le {32}^2=1024$である．これと$n\ge 2k$より$16\le n<1024$について考えればよい．
　ここで，この範囲における素数または$37$以上の素因数をもつ整数の列を考えると，隣り合う$2$数の差が$8$以上になるものが存在しないことが分かる．よって示された．

• $k=1$のときは自明に成立する．
• $k=2$のとき
  　$4$以上の正整数$n,n-1$のうちいずれか$1$つは$3$以上の奇数だから示された．
• $k=3$のとき
  　$6$以上の正整数$n$に対して$n,n-1,n-2$が$2,3$以外の素因数をもたないと仮定する．
  　$n$が奇数のとき，$n$は$3^i$の形で表せる必要があるが，このとき，$n-2$は$3$で割り切れない奇数となるので矛盾．
  　$n$が偶数のとき，$n-1$は奇数だから$n-1$は$3^i$の形で表せる必要がある．このとき，$n,n-2$は$3$を素因数にもたないのでともに$2^i$の形で表せる必要があるが，これを満たす$n\ge 6$は存在しないので矛盾．よって示された．
• $k=4$のとき
  　$8$以上の正整数$n$に対して$n,n-1,n-2,n-3$が$2,3$以外の素因数をもたないと仮定する．
  　このとき，いずれか$2$つは奇数であり，それらは$3^i$の形で表せる必要があるが，ともに$3$の倍数になることはないので矛盾．よって示された．
• $k=5$のとき
  　$10$以上の正整数$n$に対して$n,n-1,n-2,n-3,n-4$が$2,3,5$以外の素因数をもたないと仮定する．
  　$n,n-2,n-4$が奇数のとき，この中で$3$の倍数と$5$の倍数はそれぞれ高々$1$つだから，いずれか$1$つは$3$の倍数でも$5$の倍数でもない奇数となる．これは矛盾．
  　$n-1,n-3$が奇数のとき，一方は$3^i$の形で，もう一方は$5^i$の形で表される必要がある．このとき，$n,n-2,n-4$は$3,5$を素因数にもたないので全て$2^i$の形で表せる必要があるが，このような$n$は存在せず矛盾．よって示された．

　${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$の素因数が全て$k$以下であると仮定する．
　$k=6,7$のとき$\pi (k)\le {\displaystyle \frac{4}{7}}k$だから，命題3より
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}{p}^{v_p((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}))}\le \prod _{\begin{array}{c}p\le k\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}n=n^{\pi (k)}\le n^{\frac{4}{7}k}$$
となる．一方，
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n}{k}\cdot \frac{n-1}{k-1}\cdot \cdots \cdot \frac{n-k+1}{1}>{\left(\frac{n}{k}\right)}^k$$
が成立する．これより
$${\left(\frac{n}{k}\right)}^k<n^{\frac{4}{7}k}⟺n^{\frac{3}{7}k}<k^k$$
が従うが，これは$k\le \sqrt{n}$に矛盾する．よって示された．

　$k>n^{\frac{3}{7}}$のとき，$n<k^{\frac{7}{3}}\le 7^{\frac{7}{3}}<94$である．これと$n\ge 2k$より$12\le n<94$について考えればよい．このとき，この範囲に連続$6$数が合成数となる区間は存在しないので（これも素数表を見れば分かる），連続する$k$数を選べば常に素数が含まれる．よって示された．

　定理1において$n=2k$とし，$k$を$n$に替えると，$2n,2n-1,\dots ,n+1$の中で$n$より大きな素因数$p$をもつものが存在することが分かる．これを$N$とする．
　ここで，$N\ne p$とすると，$N$は$p$の倍数だから$N\ge 2p\ge 2(n+1)$となるが，これは$N$が$2n,2n-1,\dots ,n+1$のうちのいずれかであることに矛盾する．つまり$N=p$．これは$n<p\le 2n$を満たす素数$p$が存在することに他ならない．