文献あり

Hirschhorn-Farkas-Kraの七重積

Jacobiの三重積 , Watsonの五重積は
$\begin{aligned} (q, x, q / x; q)_{\infty} & = \sum_{n \in Z} q^{\frac{1}{2} n (n - 1)} (- x)^{n} \\ (q, x, q / x; q)_{\infty} (x^{2} q, q / x^{2}; q^{2})_{\infty} & = \sum_{n \in Z} q^{\frac{n (3 n + 1)}{2}} (x^{- 3 n} - x^{3 n + 1}) \end{aligned}$
と表される. その類似として, 以下のような公式が知られている.

Hirschhorn(1983), Farkas-Kra(1999)

$\begin{aligned} (q; q)_{\infty}^{2} (x, q / x, x^{2}, q / x^{2}; q)_{\infty} \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{n (5 n + 1)}{2}} \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} (x^{5 m + 3} + x^{- 5 m}) q^{\frac{m (5 m + 3)}{2}} \\ - \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{n (5 n + 3)}{2}} \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} (x^{5 m + 2} + x^{1 - 5 m}) q^{\frac{m (5 m + 1)}{2}} \end{aligned}$

見やすさのため $q \mapsto q^{2}$ とした式を考える. Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2} (x, q^{2} / x, x^{2}, q^{2} / x^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = (q^{2}, x, q^{2} / x; q^{2})_{\infty} (q^{2}, x^{2}, q^{2} / x^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = \sum_{k, l \in Z} (- 1)^{k + l} x^{k + 2 l} q^{k^{2} - k + l^{2} - l} \\ = \sum_{n \in Z} a_{n} (q) x^{n} \end{aligned}$
ここで,
$\begin{aligned} a_{n} (q) & = \sum_{k + 2 l = n} (- 1)^{k + l} q^{k^{2} - k + l^{2} - l} \\ = \sum_{l \in Z} (- 1)^{n - l} q^{5 l^{2} - (4 n - 1) l + n^{2} - n} \end{aligned}$
である. $n = 5 m$ のとき,
$\begin{aligned} 5 l^{2} - (4 n - 1) l + n^{2} - n & = 5 (l - 2 m)^{2} + (l - 2 m) + 5 m^{2} - 3 m \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} a_{5 m} (q) & = (- 1)^{m} q^{5 m^{2} - 3 m} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + n} \end{aligned}$
$n = 5 m + 1$ のとき,
$\begin{aligned} 5 l^{2} - (4 n - 1) l + n^{2} - n & = 5 (2 m - l)^{2} + 3 (2 m - l) + 5 m^{2} - m \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} a_{5 m + 1} (q) & = - (- 1)^{m} q^{5 m^{2} - m} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 3 n} \end{aligned}$
$n = 5 m + 2$ のとき,
$\begin{aligned} 5 l^{2} - (4 n - 1) l + n^{2} - n & = 5 (l - 2 m - 1)^{2} + 3 (l - 2 m - 1) + 5 m^{2} + m \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} a_{5 m + 2} (q) & = - (- 1)^{m} q^{5 m^{2} + m} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 3 n} \end{aligned}$
$n = 5 m + 3$ のとき,
$\begin{aligned} 5 l^{2} - (4 n - 1) l + n^{2} - n & = 5 (2 m + 1 - l)^{2} + (2 m + 1 - l) + 5 m^{2} + 3 m \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} a_{5 m + 3} (q) & = (- 1)^{m} q^{5 m^{2} + 3 m} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + n} \end{aligned}$
$n = 5 m + 4$ のとき,
$\begin{aligned} 5 l^{2} - (4 n - 1) l + n^{2} - n & = 5 (l - 2 m - 2)^{2} + 5 (l - 2 m - 2) + 5 m^{2} + 5 m + 2 \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} a_{5 m + 4} (q) & = (- 1)^{m} q^{5 m^{2} + 5 m + 2} \sum_{n \in Z} (- 1)^{m} q^{5 n^{2} + 5 n} = 0 \end{aligned}$
よってこれらを合わせると,
$\begin{aligned} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2} (x, q^{2} / x, x^{2}, q^{2} / x^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + n} \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} (q^{5 m^{2} - 3 m} x^{5 m} + q^{5 m^{2} + 3 m} x^{5 m + 3}) \\ - \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 3 n} \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} (q^{5 m^{2} - m} x^{5 m + 1} + q^{5 m^{2} + m} x^{5 m + 2}) \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + n} \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} q^{5 m^{2} + 3 m} (x^{- 5 m} + x^{5 m + 3}) \\ - \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{5 n^{2} + 3 n} \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} q^{5 m^{2} + m} (x^{1 - 5 m} + x^{5 m + 2}) \end{aligned}$
となって定理が得られる.

Hirschhornの論文においては, 定理1より一般的な以下の公式が示されている.

Hirschhorn(1983)

$\begin{aligned} (q^{2}, q^{2}, - a q, - q / a, - b q, - q / b; q^{2})_{\infty} \\ = \sum_{m \in Z} a^{m} b^{2 m} q^{5 m^{2}} \sum_{n \in Z} a^{2 n} b^{- n} q^{5 n^{2}} \\ + a q \sum_{m \in Z} a^{m} b^{2 m} q^{5 m^{2} + 2 m} \sum_{n \in Z} a^{2 n} b^{- n} q^{5 n^{2} + 4 n} + a^{- 1} q \sum_{m \in Z} a^{m} b^{2 m} q^{5 m^{2} - 2 m} \sum_{n \in Z} a^{2 n} b^{- n} q^{5 n^{2} - 4 n} \\ + b q \sum_{m \in Z} a^{m} b^{2 m} q^{5 m^{2} + 4 m} \sum_{n \in Z} a^{2 n} b^{- n} q^{5 n^{2} - 2 n} + b^{- 1} q \sum_{m \in Z} a^{m} b^{2 m} q^{5 m^{2} - 4 m} \sum_{n \in Z} a^{2 n} b^{- n} q^{5 n^{2} + 2 n} \end{aligned}$

Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} (q^{2}, q^{2}, - a q, - q / a, - b q, - q / b; q^{2})_{\infty} \\ = \sum_{r, s \in Z} a^{r} b^{s} q^{r^{2} + s^{2}} \\ = \sum_{l \in Z} \sum_{r + 2 s = l} a^{r} b^{s} q^{r^{2} + s^{2}} \end{aligned}$
$l = 5 m$ のとき, $r = m + 2 n, s = 2 m - n$ .
$l = 5 m + 1$ のとき, $r = m + 1 + 2 n, s = 2 m - n$ .
$l = 5 m - 1$ のとき, $r = m - 1 + 2 n, s = 2 m - n$ .
$l = 5 m + 2$ のとき, $r = m + 2 n, s = 2 m + 1 - n$ .
$l = 5 m + 3$ のとき, $r = m + 2 n, s = 2 m - 1 - n$ と置き換えて足し合わせると定理を得る.

Hirschhornは定理1の応用として, Ramanujanによる公式
$\begin{aligned} \frac{(q; q)_{\infty}^{5}}{(q^{5}; q^{5})_{\infty}} & = 1 - 5 \sum_{0 < n} (\frac{5}{n}) \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}} \end{aligned}$
を得ている. ( $(\frac{∙}{∙})$ はJacobi記号)

参考文献

[1]

Robin Chapman, On a septuple product identity, Sém. Lothar. Combin., 1999

[2]

M. D. Hirschhorn, A simple proof of an identity of Ramanujan, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 1983, 31-35

[3]

Hershel M. Farkas, Irwin Kra, On the quintuple product identity, Proc. Amer. Math. Soc., 1999, 771-778

投稿日：30日前

更新日：1日前

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Wataru

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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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