Jacobiの三重積のシンプルな証明
$q$二項定理を用いることで, Jacobiの三重積をシンプルに示すことができる.
\begin{align} (x,q/x,q;q)_{\infty}&=\sum_{n\in\ZZ}q^{\binom n2}(-x)^n \end{align}
$q$二項定理
\begin{align}
(x;q)_n&=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}q^{\binom k2}(-x)^k
\end{align}
において, $n\mapsto 2n, x\mapsto xq^{-n}$とすると
\begin{align}
(xq^{-n};q)_{2n}&=\sum_{k=0}^{2n}\frac{(q;q)_{2n}}{(q;q)_k(q;q)_{2n-k}}q^{\binom k2-nk}(-x)^k\\
&=\sum_{k=-n}^{n}\frac{(q;q)_{2n}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}q^{\binom k2-\binom{n+1}2}(-x)^{n+k},\qquad(k\mapsto n+k)
\end{align}
ここで, 左辺は
\begin{align}
(xq^{-n};q)_{2n}&=(xq^{-n};q)_n(x;q)_n\\
&=(-x)^nq^{-\binom{n+1}2}(x,q/x;q)_n
\end{align}
であるから, これを代入して整理すると,
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n}\frac{(q;q)_{2n}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}q^{\binom k2}(-x)^{k}&=(x,q/x;q)_n
\end{align}
を得る. ここで, $n\to \infty$とすると,
\begin{align}
\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{k\in\ZZ}q^{\binom k2}(-x)^k&=(x,q/x;q)_{\infty}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}q^{\binom k2}(-x)^k&=(x,q/x,q;q)_{\infty}
\end{align}
を得る.
前の記事
において, この証明の過程で現れた等式
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n}\frac{(q;q)_{2n}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}q^{\binom k2}(-x)^{k}&=(x,q/x;q)_n
\end{align}
が両側Bailey対の例になっていることを見た.
