3

Jacobiの三重積のシンプルな証明

92
0

q二項定理を用いることで, Jacobiの三重積をシンプルに示すことができる.

Jacobiの三重積

(x,q/x,q;q)=nZq(n2)(x)n

q二項定理
(x;q)n=k=0n(q;q)n(q;q)k(q;q)nkq(k2)(x)k
において, n2n,xxqnとすると
(xqn;q)2n=k=02n(q;q)2n(q;q)k(q;q)2nkq(k2)nk(x)k=k=nn(q;q)2n(q;q)n+k(q;q)nkq(k2)(n+12)(x)n+k,(kn+k)
ここで, 左辺は
(xqn;q)2n=(xqn;q)n(x;q)n=(x)nq(n+12)(x,q/x;q)n
であるから, これを代入して整理すると,
k=nn(q;q)2n(q;q)n+k(q;q)nkq(k2)(x)k=(x,q/x;q)n
を得る. ここで, nとすると,
1(q;q)kZq(k2)(x)k=(x,q/x;q)
つまり,
kZq(k2)(x)k=(x,q/x,q;q)
を得る.

前の記事 において, この証明の過程で現れた等式
k=nn(q;q)2n(q;q)n+k(q;q)nkq(k2)(x)k=(x,q/x;q)n
が両側Bailey対の例になっていることを見た.

投稿日:620
更新日:620
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

Wataru
Wataru
826
55238
超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中