q二項定理を用いることで, Jacobiの三重積をシンプルに示すことができる.
(x,q/x,q;q)∞=∑n∈Zq(n2)(−x)n
q二項定理(x;q)n=∑k=0n(q;q)n(q;q)k(q;q)n−kq(k2)(−x)kにおいて, n↦2n,x↦xq−nとすると(xq−n;q)2n=∑k=02n(q;q)2n(q;q)k(q;q)2n−kq(k2)−nk(−x)k=∑k=−nn(q;q)2n(q;q)n+k(q;q)n−kq(k2)−(n+12)(−x)n+k,(k↦n+k)ここで, 左辺は(xq−n;q)2n=(xq−n;q)n(x;q)n=(−x)nq−(n+12)(x,q/x;q)nであるから, これを代入して整理すると,∑k=−nn(q;q)2n(q;q)n+k(q;q)n−kq(k2)(−x)k=(x,q/x;q)nを得る. ここで, n→∞とすると,1(q;q)∞∑k∈Zq(k2)(−x)k=(x,q/x;q)∞つまり,∑k∈Zq(k2)(−x)k=(x,q/x,q;q)∞を得る.
前の記事 において, この証明の過程で現れた等式∑k=−nn(q;q)2n(q;q)n+k(q;q)n−kq(k2)(−x)k=(x,q/x;q)nが両側Bailey対の例になっていることを見た.
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