両側Bailey対の例
前の記事 で2つのBailey対の例を与えた. 今回はそれを 両側Bailey対 として考える. まず, 前の記事 の命題1, 命題2は両側Bailey対を用いて以下のように書ける.
\begin{align}
\alpha_n&=q^{\frac 12n(n-1)}(-x)^n\\
\beta_n&=\frac{(x,q/x;q)_n}{(q;q)_{2n}}
\end{align}
は$1$に関する両側Bailey対である.
\begin{align}
\alpha_n&=q^{\frac 12n(n+1)}(-x)^{n+1}\\
\beta_n&=\frac{(x;q)_{n+1}(q/x;q)_n}{(q^2;q)_{2n}}
\end{align}
は$q$に関する両側Bailey対である.
これらに 前の記事 の系1, 系2の1つ目の式を適用し, Jacobiの三重積を用いると, 以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(x,q/x;q)_n}{(q;q)_{2n}}q^{n^2}&=\frac{(xq,q^2/x,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(x;q)_{n+1}(q/x;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{n^2+n}&=\frac{(x,q^3/x,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
他の応用として, 前の記事 で示した2つの系をこれらに用いると, 以下の系を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(x,q^2/x;q^2)_nq^n}{(-q;q)_{2n+1}}&=\sum_{0\leq n}q^{n^2+n}\sum_{k=-n}^n(-x/q)^k\\ \sum_{0\leq n}\frac{(x,q^2/x;q^2)_nq^n}{(-q;q)_{2n}}&=\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n(n+1)}\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor }^{\lfloor \frac n2\rfloor}(-x)^kq^{-k^2-k}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(x;q^2)_{n+1}(q^2/x;q^2)_nq^n}{(-q;q)_{2n+2}}&=\sum_{0\leq n}q^{n^2+2n}\sum_{k=-n-1}^{n}(-x)^{k+1}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(x;q^2)_{n+1}(q^2/x;q^2)_nq^n}{(-q;q)_{2n+1}}&=\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n(n+3)}\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor-1}^{\lfloor \frac n2\rfloor}(-x)^{k+1}q^{-k^2-k} \end{align}
右辺のような二重級数はHecke-Rogers型の級数と呼ばれている.
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