文献あり

Bailey対の例

前の記事でBailey対を導入した.

$(α_{n}, β_{n})$ が $(a, p)$ に関するBailey対であるとは, 任意の $0 \leq n$ に対して
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(p; p)_{n - k} (a p; p)_{n + k}} \end{array}$
を満たしていることをいう. 特に $p = q$ のとき単に $a$ に関するBailey対という.

今回はBailey対の興味深い例を与える.

$α_{0} := 1$
$\begin{aligned} α_{n} & := (x^{n} + x^{- n}) q^{n^{2}}, n \geq 1 \\ β_{n} & := \frac{(- x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}, β_{n})$ は $(1, q^{2})$ に関するBailey対である.

$q$ 二項定理より
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q^{2}; q^{2})_{n - k} (q^{2}; q^{2})_{n + k}} \\ = \frac{1}{(q^{2}; q^{2})_{n}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{(x^{- k} + x^{k}) q^{k^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n - k} (q^{2}; q^{2})_{n + k}} \\ = \sum_{k = - n}^{n} \frac{x^{k} q^{k^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n - k} (q^{2}; q^{2})_{n + k}} \\ = \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{x^{k - n} q^{(k - n)^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n - k} (q^{2}; q^{2})_{k}} \\ = \frac{x^{- n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{(q^{2}; q^{2})_{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{k} (q^{2}; q^{2})_{2 n - k}} x^{k} q^{k^{2} - 2 n k} \\ = \frac{x^{- n} q^{n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} (- x q^{- 2 n + 1}; q^{2})_{2 n} \\ = \frac{(- x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} \end{aligned}$
と示される.

$\begin{aligned} α_{n} & := (x^{n + 1} + x^{- n}) q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}, n \geq 0 \\ β_{n} & := \frac{(- x; q)_{n + 1} (- q / x; q)_{n}}{(q^{2}; q)_{2 n}}, n \geq 0 \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}, β_{n})$ は $q$ に関するBailey対である.

$q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(x^{k + 1} + x^{- k}) q^{\frac{1}{2} k (k + 1)}}{(q; q)_{n - k} (q^{2}; q)_{n + k}} \\ = (1 - q) \sum_{k = 0}^{n} \frac{(x^{k + 1} + x^{- k}) q^{\frac{1}{2} k (k + 1)}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{n + k + 1}} \\ = (1 - q) \sum_{k = - n - 1}^{n} \frac{x^{- k} q^{\frac{1}{2} k (k + 1)}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{n + k + 1}} \\ = (1 - q) \sum_{k = 0}^{2 n + 1} \frac{x^{k - n} q^{\frac{1}{2} (n - k) (n - k + 1)}}{(q; q)_{2 n + 1 - k} (q; q)_{k}} \\ = \frac{x^{- n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \sum_{k = 0}^{2 n + 1} \frac{(q; q)_{2 n + 1}}{(q; q)_{2 n + 1 - k} (q; q)_{k}} x^{k} q^{\frac{1}{2} (2 n + 1 + k) k} \\ = \frac{x^{- n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q^{2}; q)_{2 n}} (- x q^{- n}; q)_{2 n + 1} \\ = \frac{(- x; q)_{n + 1} (- q / x; q)_{n}}{(q^{2}; q)_{2 n}} \end{aligned}$
と示される.

前の記事の定理3に定理4を適用し, $N \to \infty$ とすると, 以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ が $(a, q)$ に関するBailey対のとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} (b, c; q)_{n} {(\frac{a q}{b c})}^{n} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

命題1のBailey対に命題3を適用すると
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b, c, - x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} {(\frac{q^{2}}{b c})}^{n} \\ = \frac{(q^{2} / b, q^{2} / c; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}, q^{2} / b c; q^{2})_{\infty}} (1 + \sum_{0 < n} \frac{(b, c; q^{2})_{n} (x^{n} + x^{- n}) (b c)^{- n} q^{n^{2} + 2 n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q^{2})_{n}}) \\ = \frac{(q^{2} / b, q^{2} / c; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}, q^{2} / b c; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c; q^{2})_{n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q^{2})_{n}} {(\frac{x q^{2}}{b c})}^{n} q^{n^{2}} \end{aligned}$
となる. つまり, 以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b, c, - x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} {(\frac{q^{2}}{b c})}^{n} \\ = \frac{(q^{2} / b, q^{2} / c; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}, q^{2} / b c; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c; q^{2})_{n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q^{2})_{n}} {(\frac{x q^{2}}{b c})}^{n} q^{n^{2}} \end{aligned}$

$b, c \to \infty$ とすると以下を得る. それはRamanujan, Padmavathammaによって得られた公式である.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} q^{2 n^{2}} & = \frac{(- x q^{3}, - q^{3} / x, q^{6}; q^{6})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

ここで, $x = - e^{\frac{2 π i}{3}}$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{3}; q^{6})_{n}}{(q; q^{2})_{n} (q^{2}; q^{2})_{2 n}} q^{2 n^{2}} & = \frac{(q^{9}; q^{18})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty}}{(q^{3}; q^{6})_{\infty} (q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

定理4において, $b = - q, c \to \infty$ とすると得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q; q^{2})_{n} (q^{4}; q^{4})_{n}} q^{n^{2}} & = (- q; q)_{\infty} (- x q^{2}, - q^{2} / x; q^{4})_{\infty} \end{aligned}$

定理4において, $b = q, c = - q$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (- x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(q^{2}; q^{4})_{\infty} (x q, q / x, q^{2}; q^{2})_{\infty}}{2 (q^{4}; q^{4})_{\infty}} \end{aligned}$

命題2のBailey対に命題1を適用すると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- x; q)_{n + 1} (- q / x, b, c; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} {(\frac{q^{2}}{b c})}^{n} \\ = \frac{(q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{\infty}}{(q, q^{2} / b c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(b, c; q)_{n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{n}} (x^{n + 1} + x^{- n}) {(\frac{q^{2}}{b c})}^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)} \end{aligned}$

$b = q, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (- x q, - q / x; q)_{n}}{(q^{n + 1}; q)_{n + 1}} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)} & = \frac{1}{1 + x} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} (x^{n + 1} + x^{- n}) q^{n (n + 1)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q^{3}; q^{3})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)} & = \sum_{0 \leq n} q^{3 n (3 n + 1)} - \sum_{0 \leq n} q^{(3 n + 2) (3 n + 3)} \end{aligned}$

系4において, $x = - e^{\frac{2 π i}{3}}$ を代入すると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q^{3}; q^{3})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)} & = \frac{1}{1 - e^{\frac{2 π i}{3}}} \sum_{0 \leq n} (e^{- \frac{2 π i}{3} n} - e^{\frac{2 π i}{3} (n + 1)}) q^{n (n + 1)} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{\sin (\frac{π}{6} (2 n + 1))}{\sin \frac{π}{6}} q^{n (n + 1)} \\ = \sum_{0 \leq n} q^{3 n (3 n + 1)} - \sum_{0 \leq n} q^{(3 n + 2) (3 n + 3)} \end{aligned}$
を得る.

定理5において $b = q, c = - q$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (- x q, - q / x; q)_{n}}{(q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{1}{2 (1 + x)} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} (x^{n + 1} + x^{- n}) q^{\frac{1}{2} n (n + 1)} \end{aligned}$