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Bailey対とBaileyの補題

Bailey対

数列の組 $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとは, 任意の $0 \leq n$ に対して
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{array}$
を満たしていることをいう.

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であることは, 任意の $0 \leq n$ に対して,
$\begin{aligned} α_{n} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} β_{j} \end{aligned}$
を満たすことと同値である.

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとして,
$\begin{aligned} α_{n} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} β_{j} \end{aligned}$
であることを示せば十分である. 右辺は
$\begin{aligned} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} β_{j} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} \sum_{k = 0}^{j} \frac{α_{k}}{(q; q)_{j - k} (a q; q)_{j + k}} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} α_{k} \sum_{j = k}^{n} \frac{(q^{- n}; q)_{j} (a; q)_{n + j} q^{j}}{(q; q)_{j - k} (a q; q)_{j + k}} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} α_{k} \frac{(q^{- n}; q)_{k} (a; q)_{n + k}}{(a q; q)_{2 k}} q^{k} \sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(q^{k - n}, a q^{n + k}; q)_{j} q^{j}}{(q, a q^{2 k + 1}; q)_{j}} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Vandermondeの恒等式より, $δ_{n, k}$ をKroneckerのデルタとして,
$\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(q^{k - n}, a q^{n + k}; q)_{j} q^{j}}{(q, a q^{2 k + 1}; q)_{j}} & = \frac{(q^{1 + k - n}; q)_{n - k}}{(a q^{2 k + 1}; q)_{n - k}} (a q^{n + k})^{n - k} \\ = δ_{n, k} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} α_{k} \frac{(q^{- n}; q)_{k} (a; q)_{n + k}}{(a q; q)_{2 k}} q^{k} \sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(q^{k - n}, a q^{n + k}; q)_{j} q^{j}}{(q, a q^{2 k + 1}; q)_{j}} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \frac{(q^{- n}; q)_{n} (a; q)_{2 n}}{(a q; q)_{2 n}} q^{n} α_{n} \\ = α_{n} \end{aligned}$
となって示される.

上の補題は, Carlitzの反転公式から導出することもできると思われる.

Baileyの補題

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{1}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{j} (a q / b c; q)_{n - j}}{(q; q)_{n - j}} {(\frac{a q}{b c})}^{j} β_{j} \end{aligned}$
とすれば, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ も $a$ に関するBailey対である.

前の補題より,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} β_{j}^{'} \end{aligned}$
を示せばよい. 右辺は
$\begin{aligned} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} β_{j}^{'} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (- 1)^{n - j} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} \frac{1}{(a q / b, a q / c; q)_{j}} \sum_{k = 0}^{j} \frac{(b, c; q)_{k} (a q / b c; q)_{j - k}}{(q; q)_{j - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} (b, c; q)_{k} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \sum_{j = k}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (q^{- n}; q)_{j} (a q / b c; q)_{j - k}}{(a q / b, a q / c; q)_{j} (q; q)_{j - k}} q^{j} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} (b, c; q)_{k} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \sum_{j = k}^{n} \frac{(a; q)_{n + j} (q^{- n}; q)_{j} (a q / b c; q)_{j - k}}{(a q / b, a q / c; q)_{j} (q; q)_{j - k}} q^{j} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} (b, c; q)_{k} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \frac{(a; q)_{n + k} (q^{- n}; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} q^{k} \sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(a q^{n + k}, q^{k - n}, a q / b c; q)_{j}}{(a q^{k + 1} / b, a q^{k + 1} / c, q; q)_{j}} q^{j} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(a q^{n + k}, q^{k - n}, a q / b c; q)_{j}}{(a q^{k + 1} / b, a q^{k + 1} / c, q; q)_{j}} q^{j} & = \frac{(b q^{k}, c q^{k}; q)_{n - k}}{(a q^{k + 1} / b, a q^{k + 1} / c; q)_{n - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{n - k} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} (b, c; q)_{k} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \frac{(a; q)_{n + k} (q^{- n}; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} q^{k} \sum_{j = 0}^{n - k} \frac{(a q^{n + k}, q^{k - n}, a q / b c; q)_{j}}{(a q^{k + 1} / b, a q^{k + 1} / c, q; q)_{j}} q^{j} \\ = \frac{(- 1)^{n} (1 - a q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - a) (q; q)_{n}} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} (a; q)_{n + k} (q^{- n}; q)_{k} q^{k} β_{k} \\ = \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{n - k} (a; q)_{n + k} q^{(\binom{n - k}{2})}}{(q; q)_{n - k}} β_{k} \\ = \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ = α_{n}^{'} \end{aligned}$
となって示すべきことが得られた.

特に, $b, c \to \infty$ とすると, 以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ を $a$ に関するBailey対とするとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := a^{n} q^{n^{2}} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \sum_{j = 0}^{n} \frac{a^{j} q^{j^{2}}}{(q; q)_{n - j}} β_{j} \end{aligned}$
とすれば, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ も $a$ に関するBailey対である.

以下もBaileyの補題と呼ばれている.

Baileyの補題

数列, $α_{n}, β_{n}, γ_{n}, δ_{n}, u_{n}, v_{n}$ が
$\begin{aligned} β_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} u_{n - k} v_{n + k} \\ γ_{n} & = \sum_{k = n}^{\infty} δ_{k} u_{k - n} v_{k + n} \end{aligned}$
を満たしているとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} α_{n} γ_{n} & = \sum_{0 \leq n} β_{n} δ_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.　ただし, 上に現れる無限級数は全て絶対収束しているものとする.

以下のように, 足し合わせる順番を入れ替えることによって示せる.
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} α_{n} γ_{n} & = \sum_{0 \leq n} α_{n} \sum_{k = n}^{\infty} δ_{k} u_{k - n} v_{k + n} \\ = \sum_{0 \leq k} δ_{k} \sum_{n = 0}^{k} α_{n} u_{k - n} v_{k + n} \\ = \sum_{0 \leq k} δ_{k} β_{k} \end{aligned}$

数列の組 $(γ_{n}, δ_{n})$ が全ての $0 \leq n$ に対して,
$\begin{array}{r} γ_{n} = \sum_{k = n}^{\infty} \frac{δ_{k}}{(q; q)_{k - n} (a q; q)_{k + n}} \end{array}$
を満たすとき, 共役Bailey対であるという.

$(α_{n}, β_{n})$ がBailey対, $(γ_{n}, δ_{n})$ が共役Bailey対のとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} α_{n} γ_{n} & = \sum_{0 \leq n} β_{n} δ_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} γ_{n} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \frac{1}{(q; q)_{N - n} (a q; q)_{N + n}} \\ δ_{n} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{N}} \frac{(a q / b c; q)_{N - n}}{(q; q)_{N - n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \end{aligned}$
とすれば, $(γ_{n}, δ_{n})$ は共役Bailey対である.

$\begin{aligned} \sum_{k = n}^{\infty} \frac{δ_{k}}{(q; q)_{k - n} (a q; q)_{k + n}} & = \frac{1}{(a q / b, a q / c; q)_{N}} \sum_{k = n}^{\infty} \frac{(b, c; q)_{k}}{(q; q)_{k - n} (a q; q)_{k + n}} \frac{(a q / b c; q)_{N - k}}{(q; q)_{N - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} \\ = \frac{(a q / b c; q)_{N - n}}{(a q / b, a q / c; q)_{N} (q; q)_{N - n}} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q; q)_{2 n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \sum_{k = 0}^{N - n} \frac{(b q^{n}, c q^{n}, q^{n - N}; q)_{k}}{(q, a q^{2 n + 1}, b c q^{n - N} / a; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{N - n} \frac{(b q^{n}, c q^{n}, q^{n - N}; q)_{k}}{(q, a q^{2 n + 1}, b c q^{n - N} / a; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(a q^{n + 1} / b, a q^{n + 1} / c; q)_{N - n}}{(a q^{2 n + 1}, a q / b c; q)_{N - n}} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \frac{(a q / b c; q)_{N - n}}{(a q / b, a q / c; q)_{N} (q; q)_{N - n}} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q; q)_{2 n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \sum_{k = 0}^{N - n} \frac{(b q^{n}, c q^{n}, q^{n - N}; q)_{k}}{(q, a q^{2 n + 1}, b c q^{n - N} / a; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \frac{1}{(a q; q)_{N + n} (q; q)_{N - n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} \\ = γ_{n} \end{aligned}$
となって定理を得る.

特に, $N, b, c \to \infty$ として以下を得る.

$\begin{aligned} γ_{n} & := \frac{a^{n} q^{n^{2}}}{(a q; q)_{\infty}} \\ δ_{n} & := a^{n} q^{n^{2}} \end{aligned}$
とすると, $(γ_{n}, δ_{n})$ は共役Bailey対である.

これに系2を用いて, 以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとき,
$\begin{aligned} \frac{1}{(a q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} a^{n} q^{n^{2}} α_{n} & = \sum_{0 \leq n} a^{n} q^{n^{2}} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.