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現代数学解説
文献あり

Bailey対とBaileyの補題

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$
Bailey対

数列の組$(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関するBailey対であるとは, 任意の$0\leq n$に対して
\begin{align} \beta_n=\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}} \end{align}
を満たしていることをいう.

$(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関するBailey対であることは, 任意の$0\leq n$に対して,
\begin{align} \alpha_n&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j \end{align}
を満たすことと同値である.

$(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関するBailey対であるとして,
\begin{align} \alpha_n&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j \end{align}
であることを示せば十分である. 右辺は
\begin{align} &(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j\\ &=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\sum_{k=0}^j\frac{\alpha_k}{(q;q)_{j-k}(aq;q)_{j+k}}\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\alpha_k\sum_{j=k}^n\frac{(q^{-n};q)_j(aq;q)_{n+j-1}q^j}{(q;q)_{j-k}(aq;q)_{j+k}}\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\alpha_k\frac{(q^{-n};q)_k(aq;q)_{n+k-1}}{(aq;q)_{2k}}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(q^{k-n},aq^{n+k};q)_jq^j}{(q,aq^{2k+1};q)_{j}} \end{align}
ここで, $q$-Vandermondeの恒等式 より, $\delta_{n,k}$をKroneckerのデルタとして,
\begin{align} \sum_{j=0}^{n-k}\frac{(q^{k-n},aq^{n+k};q)_jq^j}{(q,aq^{2k+1};q)_{j}}&=\frac{(q^{1+k-n};q)_{n-k}}{(aq^{2k+1};q)_{n-k}}(aq^{n+k})^{n-k}\\ &=\delta_{n,k} \end{align}
だから,
\begin{align} &\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\alpha_k\frac{(q^{-n};q)_k(aq;q)_{n+k-1}}{(aq;q)_{2k}}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(q^{k-n},aq^{n+k};q)_jq^j}{(q,aq^{2k+1};q)_{j}}\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\frac{(q^{-n};q)_n(aq;q)_{2n-1}}{(aq;q)_{2n}}q^n\alpha_n\\ &=\alpha_n \end{align}
となって示される.

上の補題は, Carlitzの反転公式 から導出することもできると思われる.

Baileyの補題

$(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関するBailey対であるとき,
\begin{align} \alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\ \beta_n'&:=\frac{1}{(aq/b,aq/c;q)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(b,c;q)_j(aq/bc;q)_{n-j}}{(q;q)_{n-j}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^j\beta_j \end{align}
とすれば, $(\alpha_n',\beta_n')$$a$に関するBailey対である.

前の補題より,
\begin{align} \alpha_n'&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j' \end{align}
を示せばよい. 右辺は
\begin{align} &(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j'\\ &=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}} \frac{1}{(aq/b,aq/c;q)_j}\sum_{k=0}^j\frac{(b,c;q)_k(aq/bc;q)_{j-k}}{(q;q)_{j-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\sum_{j=k}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(q^{-n};q)_j(aq/bc;q)_{j-k}}{(aq/b,aq/c;q)_j(q;q)_{j-k}}q^j\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\sum_{j=k}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(q^{-n};q)_j(aq/bc;q)_{j-k}}{(aq/b,aq/c;q)_j(q;q)_{j-k}}q^j\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\frac{(aq;q)_{n+k-1}(q^{-n};q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(aq^{n+k},q^{k-n},aq/bc;q)_j}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,q;q)_j}q^j\\ \end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式 より,
\begin{align} \sum_{j=0}^{n-k}\frac{(aq^{n+k},q^{k-n},aq/bc;q)_j}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,q;q)_j}q^j&=\frac{(bq^k,cq^k;q)_{n-k}}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c;q)_{n-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^{n-k} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\frac{(aq;q)_{n+k-1}(q^{-n};q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(aq^{n+k},q^{k-n},aq/bc;q)_j}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,q;q)_j}q^j\\ &=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^n(aq;q)_{n+k-1}(q^{-n};q)_kq^k\beta_k\\ &=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n(1-aq^{2n})\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}(aq;q)_{n+k-1}q^{\binom{n-k}2}}{(q;q)_{n-k}}\beta_k\\ &=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\ &=\alpha_n' \end{align}
となって示すべきことが得られた.

特に, $b,c\to\infty$とすると, 以下を得る.

$(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関するBailey対とするとき,
\begin{align} \alpha_n'&:=a^nq^{n^2}\alpha_n\\ \beta_n'&:=\sum_{j=0}^n\frac{a^jq^{j^2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j \end{align}
とすれば, $(\alpha_n',\beta_n')$$a$に関するBailey対である.

以下もBaileyの補題と呼ばれている.

Baileyの補題

数列, $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n,\delta_n,u_n,v_n$
\begin{align} \beta_n&=\sum_{k=0}^n\alpha_ku_{n-k}v_{n+k}\\ \gamma_n&=\sum_{k=n}^{\infty}\delta_ku_{k-n}v_{k+n} \end{align}
を満たしているとき,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n \end{align}
が成り立つ. ただし, 上に現れる無限級数は全て絶対収束しているものとする.

以下のように, 足し合わせる順番を入れ替えることによって示せる.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\alpha_n\sum_{k=n}^{\infty}\delta_ku_{k-n}v_{k+n}\\ &=\sum_{0\leq k}\delta_k\sum_{n=0}^k\alpha_nu_{k-n}v_{k+n}\\ &=\sum_{0\leq k}\delta_k\beta_k \end{align}

数列の組$(\gamma_n,\delta_n)$が全ての$0\leq n$に対して,
\begin{align} \gamma_n=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{\delta_k}{(q;q)_{k-n}(aq;q)_{k+n}} \end{align}
を満たすとき, 共役Bailey対であるという.

$(\alpha_n,\beta_n)$がBailey対, $(\gamma_n,\delta_n)$が共役Bailey対のとき,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} \gamma_n&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\frac 1{(q;q)_{N-n}(aq;q)_{N+n}}\\ \delta_n&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_N}\frac{(aq/bc;q)_{N-n}}{(q;q)_{N-n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n \end{align}
とすれば, $(\gamma_n,\delta_n)$は共役Bailey対である.

\begin{align} \sum_{k=n}^{\infty}\frac{\delta_k}{(q;q)_{k-n}(aq;q)_{k+n}}&=\frac 1{(aq/b,aq/c;q)_N}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(b,c;q)_k}{(q;q)_{k-n}(aq;q)_{k+n}}\frac{(aq/bc;q)_{N-k}}{(q;q)_{N-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\\ &=\frac{(aq/bc;q)_{N-n}}{(aq/b,aq/c;q)_N(q;q)_{N-n}}\frac{(b,c;q)_n}{(aq;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^{N-n}\frac{(bq^n,cq^n,q^{n-N};q)_k}{(q,aq^{2n+1},bcq^{n-N}/a;q)_{k}}q^k \end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align} \sum_{k=0}^{N-n}\frac{(bq^n,cq^n,q^{n-N};q)_k}{(q,aq^{2n+1},bcq^{n-N}/a;q)_{k}}q^k&=\frac{(aq^{n+1}/b,aq^{n+1}/c;q)_{N-n}}{(aq^{2n+1},aq/bc;q)_{N-n}} \end{align}
だから,
\begin{align} &\frac{(aq/bc;q)_{N-n}}{(aq/b,aq/c;q)_N(q;q)_{N-n}}\frac{(b,c;q)_n}{(aq;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^{N-n}\frac{(bq^n,cq^n,q^{n-N};q)_k}{(q,aq^{2n+1},bcq^{n-N}/a;q)_{k}}q^k\\ &=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\frac{1}{(aq;q)_{N+n}(q;q)_{N-n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\\ &=\gamma_n \end{align}
となって定理を得る.

特に, $N,b,c\to\infty$として以下を得る.

\begin{align} \gamma_n&:=\frac{a^nq^{n^2}}{(aq;q)_{\infty}}\\ \delta_n&:=a^nq^{n^2} \end{align}
とすると, $(\gamma_n,\delta_n)$は共役Bailey対である.

これに系2を用いて, 以下を得る.

$(\alpha_n,\beta_n)$$a$に関するBailey対であるとき,
\begin{align} \frac 1{(aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}a^nq^{n^2}\alpha_n&=\sum_{0\leq n}a^nq^{n^2}\beta_n \end{align}
が成り立つ.

Bailey対$(\alpha_n,\beta_n)$が見つかれば, 上の系などを用いて等式を得ることができるので, 具体的にどのようなBailey対があるのかは気になるところである. それについてはいずれ続きの記事を書きたいと思う.

参考文献

[1]
S. Ole Warnaar, 50 years of Bailey's lemma, Algebraic combinatorics and applications (Gößweinstein, 1999), 2001, 333-347
投稿日:38
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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