Bailey対とBaileyの補題
数列の組$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとは, 任意の$0\leq n$に対して
\begin{align}
\beta_n=\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}
\end{align}
を満たしていることをいう.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であることは, 任意の$0\leq n$に対して,
\begin{align}
\alpha_n&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j
\end{align}
を満たすことと同値である.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとして,
\begin{align}
\alpha_n&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j
\end{align}
であることを示せば十分である. 右辺は
\begin{align}
&(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j\\
&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\sum_{k=0}^j\frac{\alpha_k}{(q;q)_{j-k}(aq;q)_{j+k}}\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\alpha_k\sum_{j=k}^n\frac{(q^{-n};q)_j(aq;q)_{n+j-1}q^j}{(q;q)_{j-k}(aq;q)_{j+k}}\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\alpha_k\frac{(q^{-n};q)_k(aq;q)_{n+k-1}}{(aq;q)_{2k}}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(q^{k-n},aq^{n+k};q)_jq^j}{(q,aq^{2k+1};q)_{j}}
\end{align}
ここで,
$q$-Vandermondeの恒等式
より, $\delta_{n,k}$をKroneckerのデルタとして,
\begin{align}
\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(q^{k-n},aq^{n+k};q)_jq^j}{(q,aq^{2k+1};q)_{j}}&=\frac{(q^{1+k-n};q)_{n-k}}{(aq^{2k+1};q)_{n-k}}(aq^{n+k})^{n-k}\\
&=\delta_{n,k}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\alpha_k\frac{(q^{-n};q)_k(aq;q)_{n+k-1}}{(aq;q)_{2k}}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(q^{k-n},aq^{n+k};q)_jq^j}{(q,aq^{2k+1};q)_{j}}\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\frac{(q^{-n};q)_n(aq;q)_{2n-1}}{(aq;q)_{2n}}q^n\alpha_n\\
&=\alpha_n
\end{align}
となって示される.
上の補題は, Carlitzの反転公式 から導出することもできると思われる.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\frac{1}{(aq/b,aq/c;q)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(b,c;q)_j(aq/bc;q)_{n-j}}{(q;q)_{n-j}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^j\beta_j
\end{align}
とすれば, $(\alpha_n',\beta_n')$も$a$に関するBailey対である.
前の補題より,
\begin{align}
\alpha_n'&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j'
\end{align}
を示せばよい. 右辺は
\begin{align}
&(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j'\\
&=(1-aq^{2n})\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}} \frac{1}{(aq/b,aq/c;q)_j}\sum_{k=0}^j\frac{(b,c;q)_k(aq/bc;q)_{j-k}}{(q;q)_{j-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\sum_{j=k}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(q^{-n};q)_j(aq/bc;q)_{j-k}}{(aq/b,aq/c;q)_j(q;q)_{j-k}}q^j\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\sum_{j=k}^n\frac{(aq;q)_{n+j-1}(q^{-n};q)_j(aq/bc;q)_{j-k}}{(aq/b,aq/c;q)_j(q;q)_{j-k}}q^j\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\frac{(aq;q)_{n+k-1}(q^{-n};q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(aq^{n+k},q^{k-n},aq/bc;q)_j}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,q;q)_j}q^j\\
\end{align}
ここで,
$q$-Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(aq^{n+k},q^{k-n},aq/bc;q)_j}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,q;q)_j}q^j&=\frac{(bq^k,cq^k;q)_{n-k}}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c;q)_{n-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^{n-k}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n(b,c;q)_k\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k\frac{(aq;q)_{n+k-1}(q^{-n};q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}q^k\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(aq^{n+k},q^{k-n},aq/bc;q)_j}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,q;q)_j}q^j\\
&=\frac{(-1)^n(1-aq^{2n})q^{\binom n2}}{(q;q)_n}\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^n(aq;q)_{n+k-1}(q^{-n};q)_kq^k\beta_k\\
&=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n(1-aq^{2n})\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}(aq;q)_{n+k-1}q^{\binom{n-k}2}}{(q;q)_{n-k}}\beta_k\\
&=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
&=\alpha_n'
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
特に, $b,c\to\infty$とすると, 以下を得る.
$(\alpha_n,\beta_n)$を$a$に関するBailey対とするとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=a^nq^{n^2}\alpha_n\\
\beta_n'&:=\sum_{j=0}^n\frac{a^jq^{j^2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j
\end{align}
とすれば, $(\alpha_n',\beta_n')$も$a$に関するBailey対である.
以下もBaileyの補題と呼ばれている.
数列, $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n,\delta_n,u_n,v_n$が
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=0}^n\alpha_ku_{n-k}v_{n+k}\\
\gamma_n&=\sum_{k=n}^{\infty}\delta_ku_{k-n}v_{k+n}
\end{align}
を満たしているとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n
\end{align}
が成り立つ. ただし, 上に現れる無限級数は全て絶対収束しているものとする.
以下のように, 足し合わせる順番を入れ替えることによって示せる.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\alpha_n\sum_{k=n}^{\infty}\delta_ku_{k-n}v_{k+n}\\
&=\sum_{0\leq k}\delta_k\sum_{n=0}^k\alpha_nu_{k-n}v_{k+n}\\
&=\sum_{0\leq k}\delta_k\beta_k
\end{align}
数列の組$(\gamma_n,\delta_n)$が全ての$0\leq n$に対して,
\begin{align}
\gamma_n=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{\delta_k}{(q;q)_{k-n}(aq;q)_{k+n}}
\end{align}
を満たすとき, 共役Bailey対であるという.
$(\alpha_n,\beta_n)$がBailey対, $(\gamma_n,\delta_n)$が共役Bailey対のとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\gamma_n&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\frac 1{(q;q)_{N-n}(aq;q)_{N+n}}\\
\delta_n&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_N}\frac{(aq/bc;q)_{N-n}}{(q;q)_{N-n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n
\end{align}
とすれば, $(\gamma_n,\delta_n)$は共役Bailey対である.
\begin{align}
\sum_{k=n}^{\infty}\frac{\delta_k}{(q;q)_{k-n}(aq;q)_{k+n}}&=\frac 1{(aq/b,aq/c;q)_N}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(b,c;q)_k}{(q;q)_{k-n}(aq;q)_{k+n}}\frac{(aq/bc;q)_{N-k}}{(q;q)_{N-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\\
&=\frac{(aq/bc;q)_{N-n}}{(aq/b,aq/c;q)_N(q;q)_{N-n}}\frac{(b,c;q)_n}{(aq;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^{N-n}\frac{(bq^n,cq^n,q^{n-N};q)_k}{(q,aq^{2n+1},bcq^{n-N}/a;q)_{k}}q^k
\end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-n}\frac{(bq^n,cq^n,q^{n-N};q)_k}{(q,aq^{2n+1},bcq^{n-N}/a;q)_{k}}q^k&=\frac{(aq^{n+1}/b,aq^{n+1}/c;q)_{N-n}}{(aq^{2n+1},aq/bc;q)_{N-n}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\frac{(aq/bc;q)_{N-n}}{(aq/b,aq/c;q)_N(q;q)_{N-n}}\frac{(b,c;q)_n}{(aq;q)_{2n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^{N-n}\frac{(bq^n,cq^n,q^{n-N};q)_k}{(q,aq^{2n+1},bcq^{n-N}/a;q)_{k}}q^k\\
&=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\frac{1}{(aq;q)_{N+n}(q;q)_{N-n}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\\
&=\gamma_n
\end{align}
となって定理を得る.
特に, $N,b,c\to\infty$として以下を得る.
\begin{align}
\gamma_n&:=\frac{a^nq^{n^2}}{(aq;q)_{\infty}}\\
\delta_n&:=a^nq^{n^2}
\end{align}
とすると, $(\gamma_n,\delta_n)$は共役Bailey対である.
これに系2を用いて, 以下を得る.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとき,
\begin{align}
\frac 1{(aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}a^nq^{n^2}\alpha_n&=\sum_{0\leq n}a^nq^{n^2}\beta_n
\end{align}
が成り立つ.
Bailey対$(\alpha_n,\beta_n)$が見つかれば, 上の系などを用いて等式を得ることができるので, 具体的にどのようなBailey対があるのかは気になるところである. それについてはいずれ続きの記事を書きたいと思う.
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