Carlitzの反転公式
Carlitzの反転公式は, Gould-Hsuの反転公式 の$q$類似である. Carlitzによって1973年に示された.
数列$a_n,b_n$を, 任意の$n,k$に対して, $a_n+q^{-k}b_n\neq 0$を満たすものとする.
\begin{align}
\psi(x,n,q):=\prod_{i=1}^n(a_i+q^{-x}b_i)
\end{align}
としたとき, $f,g$が
\begin{align}
f(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}\qbinom nk\psi(k,n,q)g(k)
\end{align}
を満たすことと
\begin{align}
g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^kq^{\frac{k^2+k}2-nk}\qbinom nk\frac{a_{k+1}+q^{-k}b_{k+1}}{\psi(n,k+1,q)}f(k)
\end{align}
を満たすことは同値である. ここで, $\qbinom nk$は$q$二項係数$\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}$を表す.
上の式に下の式を代入した等式
\begin{align}
f(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}\qbinom nk\psi(k,n,q)\sum_{j=0}^k(-1)^jq^{\frac{j^2+j}2-jk}\qbinom kj
\frac{a_{j+1}+q^{-j}b_{j+1}}{\psi(k,j+1,q)}f(j)
\end{align}
から, $\delta$をKroneckerのデルタとして,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{j+k}q^{\frac{k^2-k}2+\frac{j^2+j}2-jk}\qbinom nk\qbinom kj
\frac{\psi(k,n,q)}{\psi(k,j+1,q)}&=\frac {\delta_{n,j}}{a_{j+1}+q^{-j}b_{j+1}}
\end{align}
を示せばよい. $\qbinom nk\qbinom kj=\qbinom nj\qbinom{n-j}{k-j}$より, 示すべき等式は
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{j+k}q^{\frac{k^2-k}2+\frac{j^2+j}2-jk}\qbinom {n-j}{k-j}
\frac{\psi(k,n,q)}{\psi(k,j+1,q)}&=\frac {\delta_{n,j}}{a_{j+1}+q^{-j}b_{j+1}}
\end{align}
と書き換えられる.
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{j+k}q^{\frac{k^2-k}2+\frac{j^2+j}2-jk}\qbinom {n-j}{k-j}
\frac{\psi(k,n,q)}{\psi(k,j+1,q)}&=
\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}\qbinom {n-j}{k}
\frac{\psi(j+k,n,q)}{\psi(j+k,j+1,q)}
\end{align}
である. $n=j$のとき, 右辺は$\frac 1{a_{n+1}+q^{-n}b_{n+1}}$となるので良い. $j< n$のとき,
\begin{align}
\frac{\psi(j+k,n)}{\psi(j+k,j+1)}=\prod_{i=j+2}^{n}(a_i+q^{-j-k}b_i)
\end{align}
は$q^{-k}$の$n-j$次の多項式であり, $q$二項定理から$m< n-j$のとき,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}\qbinom{n-j}{k-j}q^{-mk}=\prod_{i=0}^{n-1}(1-q^{i-m})=0
\end{align}
であることから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^kq^{\frac{k^2-k}2}\qbinom {n-j}{k}
\frac{\psi(j+k,n,q)}{\psi(j+k,j+1,q)}=0
\end{align}
である. よって定理が示された.
Carlitzの反転公式は様々な$q$超幾何級数の間の等式の証明に応用できる.
