Carlitzの反転公式

上の式に下の式を代入した等式
$$\begin{array}{r}f(n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{q}^{\frac{k^2-k}{2}}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\psi (k,n,q)\sum _{j=0}^k(-1{)}^j{q}^{\frac{j^2+j}{2}-jk}\left[\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right]\frac{a_{j+1}+q^{-j}{b}_{j+1}}{\psi (k,j+1,q)}f(j)\end{array}$$
から, $\delta$をKroneckerのデルタとして,
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^n(-1{)}^{j+k}{q}^{\frac{k^2-k}{2}+\frac{j^2+j}{2}-jk}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right]\frac{\psi (k,n,q)}{\psi (k,j+1,q)}& =\frac{{\delta }_{n,j}}{a_{j+1}+q^{-j}{b}_{j+1}}\end{array}$$
を示せばよい. $\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}n-j\\ k-j\end{array}\right]$より, 示すべき等式は
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^n(-1{)}^{j+k}{q}^{\frac{k^2-k}{2}+\frac{j^2+j}{2}-jk}\left[\begin{array}{c}n-j\\ k-j\end{array}\right]\frac{\psi (k,n,q)}{\psi (k,j+1,q)}& =\frac{{\delta }_{n,j}}{a_{j+1}+q^{-j}{b}_{j+1}}\end{array}$$
と書き換えられる.
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^n(-1{)}^{j+k}{q}^{\frac{k^2-k}{2}+\frac{j^2+j}{2}-jk}\left[\begin{array}{c}n-j\\ k-j\end{array}\right]\frac{\psi (k,n,q)}{\psi (k,j+1,q)}& =\sum _{k=0}^{n-j}(-1{)}^k{q}^{\frac{k^2-k}{2}}\left[\begin{array}{c}n-j\\ k\end{array}\right]\frac{\psi (j+k,n,q)}{\psi (j+k,j+1,q)}\end{array}$$
である. $n=j$のとき, 右辺は$\frac{1}{a_{n+1}+q^{-n}{b}_{n+1}}$となるので良い. $j<n$のとき,
$$\begin{array}{r}\frac{\psi (j+k,n)}{\psi (j+k,j+1)}=\prod _{i=j+2}^n(a_i+q^{-j-k}{b}_i)\end{array}$$
は$q^{-k}$の$n-j$次の多項式であり, $q$二項定理から$m<n-j$のとき,
$$\begin{array}{r}\sum _{k=0}^{n-j}(-1{)}^k{q}^{\frac{k^2-k}{2}}\left[\begin{array}{c}n-j\\ k-j\end{array}\right]q^{-mk}=\prod _{i=0}^{n-1}(1-q^{i-m})=0\end{array}$$
であることから,
$$\begin{array}{r}\sum _{k=0}^{n-j}(-1{)}^k{q}^{\frac{k^2-k}{2}}\left[\begin{array}{c}n-j\\ k\end{array}\right]\frac{\psi (j+k,n,q)}{\psi (j+k,j+1,q)}=0\end{array}$$
である. よって定理が示された.