両側Bailey対
ここでは, 数列は整数全体で定義されているとする.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関する両側Bailey対であるとは, 任意の整数$n$に対して,
\begin{align}
\beta_n=\sum_{j=-\infty}^n\frac{\alpha_j}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}
\end{align}
を満たすことをいう.
両側Bailey対において, $\alpha_n=0,n<0$の場合は通常の Bailey対 になるので, 両側Bailey対は通常のBailey対の一般化である. 以下は, Baileyの補題の両側Bailey対への一般化である.
$(\alpha_n,\beta_n)$を$a$に関する両側Bailey対とするとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\sum_{k=-\infty}^n\frac{(b,c;q)_k(aq/bc;q)_{n-k}}{(aq/b,aq/c;q)_n(q;q)_{n-k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k
\end{align}
とするとき, $(\alpha_n',\beta_n')$は$a$に関する両側Bailey対である.
証明は通常のBaileyの補題の場合と全く同様なので省略する.
WP-Bailey対 に対しても次のように両側に一般化される.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$(a,w)$に関する両側Bailey対であるとは, 任意の整数$n$に対して,
\begin{align}
\beta_n=\sum_{j=-\infty}^n\frac{(w/a;q)_{n-j}(w;q)_{n+j}\alpha_j}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}
\end{align}
WP-Baileyの補題についても全く同様に次のように拡張される.
$v=awq/bc$とする. $(\alpha_n,\beta_n)$を$(a,w)$に関するWP-Bailey対とする.
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\frac{(vb/a,vc/a;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\sum_{j=-\infty}^n\frac{(b,c;q)_j}{(vb/a,vc/a;q)_j}\frac{1-wq^{2j}}{1-w}\frac{(v/w;q)_{n-j}(v;q)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(wq;q)_{n+j}}\left(\frac vw\right)^j\beta_j
\end{align}
とするとき, $(\alpha_n',\beta_n')$は$(a,v)$に関するWP-Bailey対である.
