文献あり

両側Bailey対

ここでは, 数列は整数全体で定義されているとする.

両側Bailey対

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対であるとは, 任意の整数 $n$ に対して,
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{j = - \infty}^{n} \frac{α_{j}}{(q; q)_{n - j} (a q; q)_{n + j}} \end{array}$
を満たすことをいう.

両側Bailey対において, $α_{n} = 0, n < 0$ の場合は通常の Bailey対になるので, 両側Bailey対は通常のBailey対の一般化である. 以下は, Baileyの補題の両側Bailey対への一般化である.

Berkovich-McCoy-Schilling(1996)

$(α_{n}, β_{n})$ を $a$ に関する両側Bailey対とするとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \sum_{k = - \infty}^{n} \frac{(b, c; q)_{k} (a q / b c; q)_{n - k}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (q; q)_{n - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ は $a$ に関する両側Bailey対である.

証明は通常のBaileyの補題の場合と全く同様なので省略する.　

WP-Bailey対に対しても次のように両側に一般化される.

両側WP-Bailey対

$(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関する両側Bailey対であるとは, 任意の整数 $n$ に対して,
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{j = - \infty}^{n} \frac{(w / a; q)_{n - j} (w; q)_{n + j} α_{j}}{(q; q)_{n - j} (a q; q)_{n + j}} \end{array}$

WP-Baileyの補題についても全く同様に次のように拡張される.

Jouhet(2010)

$v = a w q / b c$ とする. $(α_{n}, β_{n})$ を $(a, w)$ に関するWP-Bailey対とする.
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(v b / a, v c / a; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{j = - \infty}^{n} \frac{(b, c; q)_{j}}{(v b / a, v c / a; q)_{j}} \frac{1 - w q^{2 j}}{1 - w} \frac{(v / w; q)_{n - j} (v; q)_{n + j}}{(q; q)_{n - j} (w q; q)_{n + j}} {(\frac{v}{w})}^{j} β_{j} \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ は $(a, v)$ に関するWP-Bailey対である.