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WP-Bailey対

Bailey対は
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{array}$
を満たす数列の組 $(α_{n}, β_{n})$ として定義されるが, その一般化としてWP-Bailey対が以下のように定義される.

$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} α_{k} \end{array}$
を満たす組 $(α_{n}, β_{n})$ を $(a, w)$ に関するWP-Bailey対という.

これは定義から $w = 0$ の場合に $a$ に関するBailey対に一致する. 定義は
$\begin{aligned} β_{n} & = \frac{(w, w / a; q)_{n}}{(a q, q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, w q^{n}; q)_{k}}{(a q^{1 - n} / w, a q^{n + 1}; q)_{k}} {(\frac{a q}{w})}^{k} α_{k} \end{aligned}$
とも書くことができる. Bressoudの反転公式により, $(α_{n}, β_{n})$ がWP-Bailey対であることは,
$\begin{aligned} α_{n} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - w q^{2 k}}{1 - w} \frac{(a / w; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (w q; q)_{n + k}} {(\frac{w}{a})}^{n - k} β_{k} \end{aligned}$
を満たすことと同値である. 次はBaileyの補題のWP-Bailey対への一般化である.

Andrews(2000)

$v = a w q / b c$ とする. $(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関するWP-Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{v}{w})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(v b / a, v c / a; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{k}}{(v b / a, v c / a; q)_{k}} \frac{1 - w q^{2 k}}{1 - w} \frac{(v / w; q)_{n - k} (v; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (w q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{w})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
は $(a, v)$ に関するWP-Bailey対である.

$\begin{aligned} α_{n}^{'} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(a / v; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{a})}^{n - k} β_{k}^{'} \end{aligned}$
を示せば良い. 右辺は
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(a / v; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{a})}^{n - k} β_{k}^{'} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(a / v; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{a})}^{n - k} \\ \cdot \frac{(v b / a, v c / a; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(b, c; q)_{j}}{(v b / a, v c / a; q)_{j}} \frac{1 - w q^{2 j}}{1 - w} \frac{(v / w; q)_{k - j} (v; q)_{k + j}}{(q; q)_{k - j} (w q; q)_{k + j}} {(\frac{v}{w})}^{j} β_{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - w q^{2 j}}{1 - w} \frac{(b, c; q)_{j}}{(v b / a, v c / a; q)_{j}} {(\frac{v}{w})}^{j} β_{j} \\ \cdot \sum_{k = j}^{n} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(a / v; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{a})}^{n - k} \frac{(v b / a, v c / a; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} \frac{(v / w; q)_{k - j} (v; q)_{k + j}}{(q; q)_{k - j} (w q; q)_{k + j}} \end{aligned}$
ここで, Jacksonの $_{8} ϕ_{7}$ 和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{k = j}^{n} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(a / v; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{a})}^{n - k} \frac{(v b / a, v c / a; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} \frac{(v / w; q)_{k - j} (v; q)_{k + j}}{(q; q)_{k - j} (w q; q)_{k + j}} \\ = \frac{(v b / a, v c / a; q)_{j} (v; q)_{2 j} (a; q)_{n + j} (a / v; q)_{n - j}}{(a q / b, a q / c; q)_{j} (w q; q)_{2 j} (v q; q)_{n + j} (q; q)_{n - j}} \frac{1 - v q^{2 j}}{1 - v} {(\frac{v}{a})}^{n - j} \\ \cdot \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{1 - v q^{2 k + 2 j}}{1 - v q^{2 j}} q^{k} \frac{(q^{j - n}, a q^{n + j}, v b q^{j} / a, v c q^{j} / a, v / w, v q^{2 j}; q)_{k}}{(v q^{1 + j - n} / a, v q^{1 + n + j}, a q^{j + 1} / b, a q^{j + 1} / c, w q^{2 j + 1}, q; q)_{k}} \\ = \frac{(v b / a, v c / a; q)_{j} (v; q)_{2 j} (a; q)_{n + j} (a / v; q)_{n - j}}{(a q / b, a q / c; q)_{j} (w q; q)_{2 j} (v q; q)_{n + j} (q; q)_{n - j}} \frac{1 - v q^{2 j}}{1 - v} {(\frac{v}{a})}^{n - j} \\ \cdot \frac{(v q^{2 j + 1}, b q^{j}, c q^{j}, a / w; q)_{n - j}}{(a q^{j + 1} / b, a q^{j + 1} / c, w q^{2 j + 1}, a / v; q)_{n - j}} \\ = \frac{(b, c; q)_{n} (v b / a, v c / a; q)_{j} (a; q)_{n + j} (a / w; q)_{n - j}}{(a q / b, a q / c; q)_{n} (b, c; q)_{j} (w q; q)_{n + j} (q; q)_{n - j}} {(\frac{v}{a})}^{n - j} \end{aligned}$
であるから, これを代入すると,
$\begin{aligned} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - w q^{2 j}}{1 - w} \frac{(b, c; q)_{j}}{(v b / a, v c / a; q)_{j}} {(\frac{v}{w})}^{j} β_{j} \\ \cdot \sum_{k = j}^{n} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(a / v; q)_{n - k} (a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{v}{a})}^{n - k} \frac{(v b / a, v c / a; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} \frac{(v / w; q)_{k - j} (v; q)_{k + j}}{(q; q)_{k - j} (w q; q)_{k + j}} \\ = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{v}{w})}^{n} \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - w q^{2 j}}{1 - w} β_{j} \frac{(a; q)_{n + j} (a / w; q)_{n - j}}{(w q; q)_{n + j} (q; q)_{n - j}} {(\frac{w}{a})}^{n - j} \\ = \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{v}{w})}^{n} α_{n} \\ = α_{n}^{'} \end{aligned}$
となって示すべきことが得られた.

Kroneckerのデルタを用いて,
$\begin{aligned} α_{n} & := \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a, a / w; q)_{n}}{(w q, q; q)_{n}} {(\frac{w}{a})}^{n} \\ β_{n} & := δ_{n, 0} \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $(a, w)$ に関するWP-Bailey対である. これにWP-Baileyの補題を適用すると, $v = a w q / b c$ として,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a, b, c, a / w; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, w q, q; q)_{n}} {(\frac{v}{a})}^{n} \\ β_{n}^{'} & = \frac{(v b / a, v c / a, v, v / w; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, w q, q; q)_{n}} \end{aligned}$
は $(a, v)$ に関するWP-Bailey対である. これはSinghによって1994年に発見されたものである. 上のWP-Bailey対にもう一度Baileyの補題を適用すると, $u = a v q / d e$ として,
$\begin{aligned} α_{n}^{″} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a, b, c, d, e, a / w; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, w q, q; q)_{n}} {(\frac{u}{a})}^{n} \\ β_{n}^{″} & = \frac{(u d / a, u e / a; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \sum_{k = 0} \frac{1 - v q^{2 k}}{1 - v} \frac{(v b / a, v c / a, d, e, v, v / w; q)_{k} (u / v; q)_{n - k} (u; q)_{n + k}}{(a q / b, a q / c, u d / a, u e / a, w q, q; q)_{k} (q; q)_{n - k} (v q; q)_{n + k}} {(\frac{u}{v})}^{k} \\ = \frac{(u d / a, u e / a, u / v, u; q)_{n}}{(a q / d, a q / e, v q, q; q)_{n}}_{10} ϕ_{9} [\begin{array}{c} v, \sqrt{v} q, - \sqrt{v} q, v b / a, v c / a, d, e, v / w, u q^{n}, q^{- n} \\ \sqrt{v}, - \sqrt{v}, a q / b, a q / c, u d / a, u e / a, v q^{1 - n} / u, v q^{n + 1} \end{array}; q] \end{aligned}$
が $(a, u)$ に関するWP-Bailey対である.
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} \frac{(u / a; q)_{n - k} (u; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} α_{k}^{″} = β_{n}^{″} \end{array}$
を書き換えると,
$\begin{aligned} _{10} ϕ_{9} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, a / w, u q^{n}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, w q, a q^{1 - n} / u, a q^{n + 1} \end{array}; q] \\ = \frac{(u d / a, u e / a, u / v, a q; q)_{n}}{(a q / d, a q / e, v q, u / a; q)_{n}}_{10} ϕ_{9} [\begin{array}{c} v, \sqrt{v} q, - \sqrt{v} q, v b / a, v c / a, d, e, v / w, u q^{n}, q^{- n} \\ \sqrt{v}, - \sqrt{v}, a q / b, a q / c, u d / a, u e / a, v q^{1 - n} / u, v q^{n + 1} \end{array}; q] \end{aligned}$
が得られる. これは Baileyの $_{10} ϕ_{9}$ 変換公式である.

応用の際には, 定理1を $v$ を用いずに表しておくこと便利なこともあるかもしれない. それは以下のようになる.

$(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関するWP-Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(w q / b, w q / c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{k}}{(w q / b, w q / c; q)_{k}} \frac{1 - w q^{2 k}}{1 - w} \frac{(a q / b c; q)_{n - k} (a w q / b c; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (w q; q)_{n + k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
は $(a, a w q / b c)$ に関するWP-Bailey対である.