WP-Bailey対
Bailey対
は
\begin{align}
\beta_n=\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}
\end{align}
を満たす数列の組$(\alpha_n,\beta_n)$として定義されるが, その一般化としてWP-Bailey対が以下のように定義される.
\begin{align}
\beta_n=\sum_{k=0}^n\frac{(w/a;q)_{n-k}(w;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}\alpha_k
\end{align}
を満たす組$(\alpha_n,\beta_n)$を$(a,w)$に関するWP-Bailey対という.
これは定義から$w=0$の場合に$a$に関するBailey対に一致する. 定義は
\begin{align}
\beta_n&=\frac{(w,w/a;q)_n}{(aq,q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},wq^n;q)_k}{(aq^{1-n}/w,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{aq}w\right)^k\alpha_k
\end{align}
とも書くことができる.
Bressoudの反転公式
により, $(\alpha_n,\beta_n)$がWP-Bailey対であることは,
\begin{align}
\alpha_n&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{1-wq^{2k}}{1-w}\frac{(a/w;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(wq;q)_{n+k}}\left(\frac{w}a\right)^{n-k}\beta_k
\end{align}
を満たすことと同値である. 次はBaileyの補題のWP-Bailey対への一般化である.
$v=awq/bc$とする. $(\alpha_n,\beta_n)$が$(a,w)$に関するWP-Bailey対であるとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac vw\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\frac{(vb/a,vc/a;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c;q)_k}{(vb/a,vc/a;q)_k}\frac{1-wq^{2k}}{1-w}\frac{(v/w;q)_{n-k}(v;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(wq;q)_{n+k}}\left(\frac vw\right)^k\beta_k
\end{align}
は$(a,v)$に関するWP-Bailey対である.
\begin{align}
\alpha_n'&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(a/v;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac{v}a\right)^{n-k}\beta_k'
\end{align}
を示せば良い. 右辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(a/v;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac{v}a\right)^{n-k}\beta_k'\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(a/v;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac{v}a\right)^{n-k}\\
&\qquad\cdot\frac{(vb/a,vc/a;q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}\sum_{j=0}^k\frac{(b,c;q)_j}{(vb/a,vc/a;q)_j}\frac{1-wq^{2j}}{1-w}\frac{(v/w;q)_{k-j}(v;q)_{k+j}}{(q;q)_{k-j}(wq;q)_{k+j}}\left(\frac vw\right)^j\beta_j\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{1-wq^{2j}}{1-w}\frac{(b,c;q)_j}{(vb/a,vc/a;q)_j}\left(\frac vw\right)^j\beta_j\\
&\qquad\cdot\sum_{k=j}^n\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(a/v;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac{v}a\right)^{n-k}\frac{(vb/a,vc/a;q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}\frac{(v/w;q)_{k-j}(v;q)_{k+j}}{(q;q)_{k-j}(wq;q)_{k+j}}
\end{align}
ここで,
Jacksonの${}_8\phi_7$和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{k=j}^n\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(a/v;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac{v}a\right)^{n-k}\frac{(vb/a,vc/a;q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}\frac{(v/w;q)_{k-j}(v;q)_{k+j}}{(q;q)_{k-j}(wq;q)_{k+j}}\\
&=\frac{(vb/a,vc/a;q)_j(v;q)_{2j}(a;q)_{n+j}(a/v;q)_{n-j}}{(aq/b,aq/c;q)_j(wq;q)_{2j}(vq;q)_{n+j}(q;q)_{n-j}}\frac{1-vq^{2j}}{1-v}\left(\frac va\right)^{n-j}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^{n-j}\frac{1-vq^{2k+2j}}{1-vq^{2j}}q^k\frac{(q^{j-n},aq^{n+j},vbq^j/a,vcq^j/a,v/w,vq^{2j};q)_k}{(vq^{1+j-n}/a,vq^{1+n+j},aq^{j+1}/b,aq^{j+1}/c,wq^{2j+1},q;q)_k}\\
&=\frac{(vb/a,vc/a;q)_j(v;q)_{2j}(a;q)_{n+j}(a/v;q)_{n-j}}{(aq/b,aq/c;q)_j(wq;q)_{2j}(vq;q)_{n+j}(q;q)_{n-j}}\frac{1-vq^{2j}}{1-v}\left(\frac va\right)^{n-j}\\
&\qquad\cdot\frac{(vq^{2j+1},bq^{j},cq^j,a/w;q)_{n-j}}{(aq^{j+1}/b,aq^{j+1}/c,wq^{2j+1},a/v;q)_{n-j}}\\
&=\frac{(b,c;q)_n(vb/a,vc/a;q)_j(a;q)_{n+j}(a/w;q)_{n-j}}{(aq/b,aq/c;q)_n(b,c;q)_j(wq;q)_{n+j}(q;q)_{n-j}}\left(\frac va\right)^{n-j}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{j=0}^n\frac{1-wq^{2j}}{1-w}\frac{(b,c;q)_j}{(vb/a,vc/a;q)_j}\left(\frac vw\right)^j\beta_j\\
&\qquad\cdot\sum_{k=j}^n\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(a/v;q)_{n-k}(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac{v}a\right)^{n-k}\frac{(vb/a,vc/a;q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}\frac{(v/w;q)_{k-j}(v;q)_{k+j}}{(q;q)_{k-j}(wq;q)_{k+j}}\\
&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac vw\right)^n\sum_{j=0}^n\frac{1-wq^{2j}}{1-w}\beta_j\frac{(a;q)_{n+j}(a/w;q)_{n-j}}{(wq;q)_{n+j}(q;q)_{n-j}}\left(\frac wa\right)^{n-j}\\
&=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac vw\right)^n\alpha_n\\
&=\alpha_n'
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
Kroneckerのデルタを用いて,
\begin{align}
\alpha_n&:=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,a/w;q)_n}{(wq,q;q)_n}\left(\frac wa\right)^n\\
\beta_n&:=\delta_{n,0}
\end{align}
とすると, $(\alpha_n,\beta_n)$は$(a,w)$に関するWP-Bailey対である. これにWP-Baileyの補題を適用すると, $v=awq/bc$として,
\begin{align}
\alpha_n'&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,a/w;q)_n}{(aq/b,aq/c,wq,q;q)_n}\left(\frac va\right)^n\\
\beta_n'&=\frac{(vb/a,vc/a,v,v/w;q)_n}{(aq/b,aq/c,wq,q;q)_n}
\end{align}
は$(a,v)$に関するWP-Bailey対である. これはSinghによって1994年に発見されたものである. 上のWP-Bailey対にもう一度Baileyの補題を適用すると, $u=avq/de$として,
\begin{align}
\alpha_n''&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,a/w;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,wq,q;q)_n}\left(\frac {u}{a}\right)^n\\
\beta_n''&=\frac{(ud/a,ue/a;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\sum_{k=0}\frac{1-vq^{2k}}{1-v}\frac{(vb/a,vc/a,d,e,v,v/w;q)_k(u/v;q)_{n-k}(u;q)_{n+k}}{(aq/b,aq/c,ud/a,ue/a,wq,q;q)_k(q;q)_{n-k}(vq;q)_{n+k}}\left(\frac uv\right)^k\\
&=\frac{(ud/a,ue/a,u/v,u;q)_n}{(aq/d,aq/e,vq,q;q)_n}\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,vc/a,d,e,v/w,uq^n,q^{-n}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,aq/c,ud/a,ue/a,vq^{1-n}/u,vq^{n+1}}q
\end{align}
が$(a,u)$に関するWP-Bailey対である.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(u/a;q)_{n-k}(u;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}\alpha_k''=\beta_n''
\end{align}
を書き換えると,
\begin{align}
&\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,a/w,uq^n,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,wq,aq^{1-n}/u,aq^{n+1}}q\\
&=\frac{(ud/a,ue/a,u/v,aq;q)_n}{(aq/d,aq/e,vq,u/a;q)_n}\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,vc/a,d,e,v/w,uq^n,q^{-n}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,aq/c,ud/a,ue/a,vq^{1-n}/u,vq^{n+1}}q
\end{align}
が得られる. これは
Baileyの${}_{10}\phi_9$変換公式
である.
応用の際には, 定理1を$v$を用いずに表しておくこと便利なこともあるかもしれない. それは以下のようになる.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$(a,w)$に関するWP-Bailey対であるとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\frac{(wq/b,wq/c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c;q)_k}{(wq/b ,wq/c;q)_k}\frac{1-wq^{2k}}{1-w}\frac{(aq/bc;q)_{n-k}(awq/bc;q)_{n+k}}{(q;q)_{n-k}(wq;q)_{n+k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k
\end{align}
は$(a,awq/bc)$に関するWP-Bailey対である.
WP-Bailey対の様々な応用については, これからまとめていきたいと思う.
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