Bressoudの反転公式
$a$に関するBailey対$(\alpha_n,\beta_n)$は
\begin{align}
\beta_n=\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}
\end{align}
を満たすものとして定義される. それは
\begin{align}
\alpha_n=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_{n+k}(-1)^{n-k}q^{\binom{n-k}2}}{(q;q)_{n-k}}\beta_k
\end{align}
を満たすことと同値であることを
前の記事
で示した. 無限次行列$(A_{n,k})_{n,k\geq 0}$は$n< k$のとき$A_{n,k}=0$であるとき三角行列という. 任意の$0\leq m\leq n$に対して
\begin{align}
\sum_{m\leq k\leq n}A_{n,k}B_{k,m}&=\delta_{n,m}
\end{align}
が成り立つとき, $(B_{n,k})_{n,k\geq 0}$は$(A_{n,k})_{n,k\geq 0}$の逆行列であるという. 上のBailey対に関する反転公式は
\begin{align}
A_{n,k}&=\frac 1{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}\\
B_{n,k}&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a;q)_{n+k}(-1)^{n-k}q^{\binom{n-k}2}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
がそれぞれ逆行列の関係にあることを意味している. それを一般化したのが次のBressoudの反転公式である.
$0\leq n,k$に対して,
\begin{align}
D_{n,k}(a,b):=\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b;q)_{n+k}(b/a;q)_{n-k}}{(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac ba\right)^k
\end{align}
とする. このとき$(D_{n,k}(a,b))_{n,k\geq 0}$の逆行列は$(D_{n,k}(b,a))_{n,k\geq 0}$によって与えられる.
$0\leq m\leq n$とする.
\begin{align}
&\sum_{m\leq k\leq n}D_{n,k}(a,b)D_{k,m}(b,a)\\
&=\sum_{k=m}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b;q)_{n+k}(b/a;q)_{n-k}}{(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac ba\right)^k\frac{1-bq^{2m}}{1-b}\frac{(a;q)_{k+m}(a/b;q)_{k-m}}{(bq;q)_{k+m}(q;q)_{k-m}}\left(\frac ab\right)^m\\
&=\frac{1-bq^{2m}}{1-b}\sum_{k=0}^{n-m}\frac{1-aq^{2k+2m}}{1-a}\frac{(b;q)_{n+m+k}(b/a;q)_{n-m-k}}{(aq;q)_{n+m+k}(q;q)_{n-m-k}}\left(\frac ba\right)^{k}\frac{(a;q)_{k+2m}(a/b;q)_{k}}{(bq;q)_{k+2m}(q;q)_{k}}\\
&=\frac{1-aq^{2m}}{1-a}\frac{1-bq^{2m}}{1-b}\frac{(b;q)_{n+m}(b/a;q)_{n-m}(a;q)_{2m}}{(aq;q)_{n+m}(q;q)_{n-m}(bq;q)_{2m}}\sum_{k=0}^{n-m}\frac{1-aq^{2k+2m}}{1-aq^{2m}}\frac{(bq^{n+m},q^{m-n},aq^{2m},a/b;q)_k}{(aq^{n+m+1},aq^{1+m-n}/b,bq^{2m+1},q;q)_k}q^k
\end{align}
ここで,
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
より, Kroneckerのデルタを用いて
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-m}\frac{1-aq^{2k+2m}}{1-aq^{2m}}\frac{(bq^{n+m},q^{m-n},aq^{2m},a/b;q)_k}{(aq^{n+m+1},aq^{1+m-n}/b,bq^{2m+1},q;q)_k}q^k&=\frac{(aq^{2m+1},q^{m-n+1};q)_{n-m}}{(aq^{1+m-n}/b,bq^{2m+1};q)_{n-m}}\\
&=\delta_{n,m}
\end{align}
と表されるからこれを代入して定理を得る.
定理を言い換えると
\begin{align}
\frac{1-a}{1-aq^{2k}}D_{n,k}(a,b)\left(\frac ab\right)^k&=\frac{(b;q)_{n+k}(b/a;q)_{n-k}}{(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}
\end{align}と
\begin{align}
\frac{1-aq^{2n}}{1-a}D_{n,k}(b,a)\left(\frac{b}{a}\right)^n=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{1-bq^{2k}}{1-b}\frac{(a;q)_{n+k}(a/b;q)_{n-k}}{(bq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac ba\right)^{n-k}
\end{align}
は逆行列の関係にあることが分かる. 特に$b\to 0$とすると$a$に関するBailey対の反転公式を得る. 一般に,
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=0}^n\frac{(b;q)_{n+k}(b/a;q)_{n-k}}{(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\alpha_k\\
&=\frac{(b,b/a;q)_n}{(aq,q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},bq^n;q)_k}{(aq^{1-n}/b,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{aq}b\right)^k\alpha_k
\end{align}
によって関係する数列の組$(\alpha_n,\beta_n)$はWP-Bailey対と呼ばれている.
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