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Bressoudの反転公式

$a$ に関するBailey対 $(α_{n}, β_{n})$ は
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{array}$
を満たすものとして定義される. それは
$\begin{array}{r} α_{n} = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + k} (- 1)^{n - k} q^{(\binom{n - k}{2})}}{(q; q)_{n - k}} β_{k} \end{array}$
を満たすことと同値であることを前の記事で示した. 無限次行列 $(A_{n, k})_{n, k \geq 0}$ は $n < k$ のとき $A_{n, k} = 0$ であるとき三角行列という. 任意の $0 \leq m \leq n$ に対して
$\begin{aligned} \sum_{m \leq k \leq n} A_{n, k} B_{k, m} & = δ_{n, m} \end{aligned}$
が成り立つとき, $(B_{n, k})_{n, k \geq 0}$ は $(A_{n, k})_{n, k \geq 0}$ の逆行列であるという. 上のBailey対に関する反転公式は
$\begin{aligned} A_{n, k} & = \frac{1}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \\ B_{n, k} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a; q)_{n + k} (- 1)^{n - k} q^{(\binom{n - k}{2})}}{(q; q)_{n - k}} \end{aligned}$
がそれぞれ逆行列の関係にあることを意味している. それを一般化したのが次のBressoudの反転公式である.

Bressoud(1983)

$0 \leq n, k$ に対して,
$\begin{array}{r} D_{n, k} (a, b) := \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b; q)_{n + k} (b / a; q)_{n - k}}{(a q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} {(\frac{b}{a})}^{k} \end{array}$
とする. このとき $(D_{n, k} (a, b))_{n, k \geq 0}$ の逆行列は $(D_{n, k} (b, a))_{n, k \geq 0}$ によって与えられる.

$0 \leq m \leq n$ とする.
$\begin{aligned} \sum_{m \leq k \leq n} D_{n, k} (a, b) D_{k, m} (b, a) \\ = \sum_{k = m}^{n} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(b; q)_{n + k} (b / a; q)_{n - k}}{(a q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} {(\frac{b}{a})}^{k} \frac{1 - b q^{2 m}}{1 - b} \frac{(a; q)_{k + m} (a / b; q)_{k - m}}{(b q; q)_{k + m} (q; q)_{k - m}} {(\frac{a}{b})}^{m} \\ = \frac{1 - b q^{2 m}}{1 - b} \sum_{k = 0}^{n - m} \frac{1 - a q^{2 k + 2 m}}{1 - a} \frac{(b; q)_{n + m + k} (b / a; q)_{n - m - k}}{(a q; q)_{n + m + k} (q; q)_{n - m - k}} {(\frac{b}{a})}^{k} \frac{(a; q)_{k + 2 m} (a / b; q)_{k}}{(b q; q)_{k + 2 m} (q; q)_{k}} \\ = \frac{1 - a q^{2 m}}{1 - a} \frac{1 - b q^{2 m}}{1 - b} \frac{(b; q)_{n + m} (b / a; q)_{n - m} (a; q)_{2 m}}{(a q; q)_{n + m} (q; q)_{n - m} (b q; q)_{2 m}} \sum_{k = 0}^{n - m} \frac{1 - a q^{2 k + 2 m}}{1 - a q^{2 m}} \frac{(b q^{n + m}, q^{m - n}, a q^{2 m}, a / b; q)_{k}}{(a q^{n + m + 1}, a q^{1 + m - n} / b, b q^{2 m + 1}, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
ここで, Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式より, Kroneckerのデルタを用いて
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n - m} \frac{1 - a q^{2 k + 2 m}}{1 - a q^{2 m}} \frac{(b q^{n + m}, q^{m - n}, a q^{2 m}, a / b; q)_{k}}{(a q^{n + m + 1}, a q^{1 + m - n} / b, b q^{2 m + 1}, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(a q^{2 m + 1}, q^{m - n + 1}; q)_{n - m}}{(a q^{1 + m - n} / b, b q^{2 m + 1}; q)_{n - m}} \\ = δ_{n, m} \end{aligned}$
と表されるからこれを代入して定理を得る.

定理を言い換えると
$\begin{aligned} \frac{1 - a}{1 - a q^{2 k}} D_{n, k} (a, b) {(\frac{a}{b})}^{k} & = \frac{(b; q)_{n + k} (b / a; q)_{n - k}}{(a q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} \end{aligned}$ と
$\begin{array}{r} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} D_{n, k} (b, a) {(\frac{b}{a})}^{n} = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{1 - b q^{2 k}}{1 - b} \frac{(a; q)_{n + k} (a / b; q)_{n - k}}{(b q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} {(\frac{b}{a})}^{n - k} \end{array}$
は逆行列の関係にあることが分かる. 特に $b \to 0$ とすると $a$ に関するBailey対の反転公式を得る. 一般に,
$\begin{aligned} β_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b; q)_{n + k} (b / a; q)_{n - k}}{(a q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} α_{k} \\ = \frac{(b, b / a; q)_{n}}{(a q, q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, b q^{n}; q)_{k}}{(a q^{1 - n} / b, a q^{n + 1}; q)_{k}} {(\frac{a q}{b})}^{k} α_{k} \end{aligned}$
によって関係する数列の組 $(α_{n}, β_{n})$ はWP-Bailey対と呼ばれている.