対称両側Bailey変換
以下2つの命題はAndrews-Warnaarの2007年の論文において用いられている.
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=-n}^n\alpha_ku_{n-k}v_{n+k}\\
\gamma_n&=\sum_{k=|n|}^{\infty}\delta_ku_{k-n}u_{k+n}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n&=\sum_{0\leq n}\delta_n\sum_{k=-n}^n\alpha_ku_{n-k}v_{n+k}\\ &=\sum_{k\in\ZZ}\alpha_k\sum_{n=|k|}^{\infty}\delta_ku_{n-k}v_{n+k}\\ &=\sum_{k\in\ZZ}\alpha_k\delta_k \end{align}
全く同様に以下が示される.
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=-n-1}^n\alpha_ku_{n-k}v_{n+k+1}\\
\gamma_n&=\sum_{k=\max\{n,-n-1\}}\delta_ku_{k-n}v_{k+n+1}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\alpha_n\gamma_n&=\sum_{0\leq n}\beta_n\delta_n
\end{align}
が成り立つ.
対称両側Bailey変換において, $u_n=v_n=\frac 1{(q^2;q^2)_n}$
\begin{align}
\delta_n&=\frac{(q^2;q^2)_{2n}}{(-q;q)_{2n+1}}q^n
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\gamma_n&=q^{-n^2}\sum_{k=|n|}^{\infty}q^{k^2+k}
\end{align}
が成り立つ.
$m=|n|$として,
\begin{align}
\sum_{k=m}^{\infty}\frac{(q^2;q^2)_{2k}q^k}{(-q;q)_{2k+1}(q^2;q^2)_{k-m}(q^2;q^2)_{k+m}}=q^{-m^2}\sum_{k=m}^{\infty}q^{k^2+k}
\end{align}
を示せば良い.
\begin{align}
\Q32{a,-a,aq}{a^2,-aq^2}{q^2;q}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(-aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}a^nq^{n^2}
\end{align}
が示されれば, そこで$a=q^{2m+1}$とすればよい.
Jainによる変換公式
\begin{align}
\Q32{a,b,-b}{b^2,ax}{-x}&=\frac{(x;q)_{\infty}}{(ax;q)_{\infty}}\Q21{a,aq}{b^2q}{q^2;x^2}
\end{align}
において, $a\mapsto aq, b=a, x=-q$とすると,
\begin{align}
\Q32{a,-a,aq}{a^2,-aq^2}{q^2;q}&=\frac{(-q^2;q^2)_{\infty}}{(-aq;q^2)_{\infty}}\Q21{aq,aq^3}{a^2q^2}{q^4;q^2}
\end{align}
を得る. $a\mapsto a/q, q^2\mapsto q$として,
\begin{align}
\Q21{a,aq}{a^2}{q^2;q}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(-a;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}a^nq^{\frac 12n(n-1)}
\end{align}
を示せば良い. ここで,
Heineの変換公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,b}{bx}{\frac cb}
\end{align}
より,
\begin{align}
\Q21{a,aq}{a^2}{q^2;q}&=\frac{(a,aq;q^2)_{\infty}}{(a^2,q;q^2)_{\infty}}\Q21{q^2,a}{aq}{q^2;a}\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(-a;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(aq;q^2)_n}a^n
\end{align}
ここで,
Rogers-Fineの恒等式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(aq;q^2)_n}a^n&=\sum_{0\leq n}a^{2n}q^{2n^2-n}(1+aq^{2n})\\
&=\sum_{0\leq n}a^nq^{\frac 12n(n-1)}
\end{align}
となるので示すべきことが得られる.
対称両側Bailey変換において, $u_n=v_n=\frac 1{(q^2;q^2)_n}$
\begin{align}
\delta_n&=(q;q)_{2n}q^n
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\gamma_n&=q^{-2n^2}\sum_{k=2|n|}^{\infty}q^{\frac 12k(k+1)}
\end{align}
$m=|n|$として,
\begin{align}
\sum_{k=m}^{\infty}\frac{(q;q)_{2k}q^k}{(q^2;q^2)_{k-m}(q^2;q^2)_{k+m}}&=q^{-2k^2}\sum_{k=2m}^{\infty}q^{\frac 12k(k+1)}
\end{align}
を示せば良い. これは定理2の証明における等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(aq;q^2)_n}a^n&=\sum_{0\leq n}a^nq^{\frac 12n(n-1)}
\end{align}
において$a=q^{2m+1}$とすると示される.
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=-n}^n\frac{\alpha_k}{(q^2;q^2)_{n-k}(q^2;q^2)_{n+k}}
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q^2;q^2)_{2n}q^n\beta_n}{(-q;q)_{2n+1}}&=\sum_{0\leq n}q^{n^2+n}\sum_{k=-n}^n\alpha_kq^{-k^2}\\
\sum_{0\leq n}(q;q)_{2n}q^n\beta_n&=\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n(n+1)}\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\alpha_kq^{-2k^2}
\end{align}
非対称両側Bailey変換において, $u_n=v_n=\frac 1{(q^2;q^2)_n}$
\begin{align}
\delta_n&=\frac{(q^2;q^2)_{2n+1}}{(-q;q)_{2n+2}}q^n
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\gamma_n&=q^{-n^2-n}\sum_{k=\max\{n,-n-1\}}^{\infty}q^{k^2+2k}
\end{align}
が成り立つ.
$m=\max\{n,-n-1\}$として,
\begin{align}
\sum_{k=m}^{\infty}\frac{(q;q)_{2k+1}q^k}{(-q;q)_{2k+2}(q^2;q^2)_{k-m}(q^2;q^2)_{k+m+1}}&=q^{-m^2-m}\sum_{k=m}^{\infty}q^{k^2+2k}
\end{align}
を示せば良い. それは定理2の証明における等式
\begin{align}
\Q32{a,-a,aq}{a^2,-aq^2}{q^2;q}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(-aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}a^nq^{n^2}
\end{align}
において, $a=q^{2m+2}$とすれば良い.
対称両側Bailey変換において, $u_n=v_n=\frac 1{(q^2;q^2)_n}$
\begin{align}
\delta_n&=(q;q)_{2n+1}q^n
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\gamma_n&=q^{-2n^2-2n}\sum_{k=2\max\{n,-n-1\}}^{\infty}q^{\frac 12k(k+3)}
\end{align}
$m=\max\{n,-n-1\}$として,
\begin{align}
\sum_{k=m}^{\infty}\frac{(q;q)_{2k+1}q^k}{(q^2;q^2)_{k-m}(q^2;q^2)_{k+m+1}}&=q^{-2k^2-2k}\sum_{k=2m}^{\infty}q^{\frac 12k(k+3)}
\end{align}
を示せば良い. これは定理2の証明における等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(aq;q^2)_n}a^n&=\sum_{0\leq n}a^nq^{\frac 12n(n-1)}
\end{align}
において$a=q^{2m+2}$とすると示される.
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=-n-1}^n\frac{\alpha_k}{(q^2;q^2)_{n-k}(q^2;q^2)_{n+k+1}}
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q^2;q^2)_{2n+1}q^n\beta_n}{(-q;q)_{2n+2}}&=\sum_{0\leq n}q^{n^2+2n}\sum_{k=-n-1}^n\alpha_kq^{-k^2-k}\\
\sum_{0\leq n}(q;q)_{2n+1}q^n\beta_n&=\sum_{0\leq n}q^{\frac 12n(n+3)}\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor-1}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\alpha_kq^{-2k^2-2k}
\end{align}
