Jainによる2F1の二次変換公式のq類似
以下は二次変換公式
\begin{align}
\F21{a,b}{2b}{2x}&=(1-x)^{-a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{b+\frac 12}{\frac{x^2}{(1-x)^2}}
\end{align}
の$q$類似である.
\begin{align} \Q32{a,b,-b}{b^2,ax}{-x}&=\frac{(x;q)_{\infty}}{(ax;q)_{\infty}}\Q21{a,aq}{b^2q}{q^2;x^2} \end{align}
$q$-Vandermondeの和公式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{1-n};q^2)_k}{(b^2q,q^2;q^2)_k}q^{2k}&=\frac{(b^2;q^2)_nq^{-n(n-1)/2}}{(b^2;q)_n}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\Q32{a,b,-b}{b^2,ax}{-x}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q,ax;q)_n}(-x)^nq^{n(n-1)/2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{1-n};q^2)_k}{(b^2q,q^2;q^2)_k}q^{2k}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a;q)_n}{(ax;q)_n}(-x)^nq^{n(n-1)/2}\frac{1}{(b^2q,q^2;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}q^{k(2k-2n+1)}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a;q)_{n+2k}}{(ax;q)_{n+2k}}(-x)^nq^{n(n-1)/2}\frac{1}{(b^2q,q^2;q^2)_k(q;q)_{n}}x^{2k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a;q)_{2k}}{(ax;q)_{2k}(b^2q,q^2;q^2)_k}x^{2k}\Q11{aq^{2k}}{axq^{2k}}{x}\\
\end{align}
ここで,
Heineの和公式
の系として
\begin{align}
\Q11{aq^{2k}}{axq^{2k}}{x}&=\frac{(x;q)_{\infty}}{(axq^{2k};q)_{\infty}}
\end{align}
と表されるから, これを代入することによって定理を得る.
以下は二次変換公式
\begin{align}
\F21{2a,a+b}{2a+2b}{x}&=(1-x)^{-a}\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{-\frac{x^2}{4(1-x)}}
\end{align}
の$q$類似である.
\begin{align} \Q32{a^2,ab,-ab}{a^2b^2,-a^2x}{x}&=\frac{(a^2x^2;q^2)_{\infty}}{(-a^2x,x;q)_{\infty}}\Q22{a^2,b^2}{a^2b^2q,a^2x^2}{q^2;a^2x^2q} \end{align}
定理1
\begin{align}
\Q32{a,b,-b}{b^2,ax}{-x}&=\frac{(x;q)_{\infty}}{(ax;q)_{\infty}}\Q21{a,aq}{b^2q}{q^2;x^2}
\end{align}
の右辺に
Jacksonの${}_2\phi_2$変換公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}x&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q22{a,c/b}{c,ax}{bx}
\end{align}
を適用すると
\begin{align}
\Q32{a,b,-b}{b^2,ax}{-x}&=\frac{(x;q)_{\infty}}{(ax;q)_{\infty}}\frac{(ax^2;q^2)_{\infty}}{(x^2;q^2)_{\infty}}\Q22{a,b^2/a}{b^2q,ax^2}{q^2;x^2}\\
&=\frac{(ax^2;q^2)_{\infty}}{(ax,-x;q)_{\infty}}\Q22{a,b^2/a}{b^2q,ax^2}{q^2;x^2}\\
\end{align}
ここで, $a\mapsto a^2,b\mapsto ab,x\mapsto -x$と置き換えることによって定理を得る.
以下は二次変換公式
\begin{align}
\F21{2a,2b}{a+b+\frac 12}x&=\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{4x(1-x)}
\end{align}
の有限和の場合の$q$類似である.
$a,b$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
\Q32{a^2,b^2,x}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q}q&=\Q32{a^2,b^2,x^2}{a^2b^2q,0}{q^2;q^2}
\end{align}
が成り立つ.
$a,b$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき,
Singhの二次変換公式
より,
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2}
\end{align}
である. $d=0$として, $c\mapsto x$とすれば定理を得る.
