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現代数学解説
文献あり

Singhの二次変換公式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$
Singh(1959)

$a,b,c,d$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき
\begin{align} \Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2} \end{align}

以下はJainによって1981年に与えられた証明である.

まず,
\begin{align} &\Q44{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,f,g}{-x}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\Q33{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,fq^n,gq^n}{-xq^n} \end{align}
を示す. これは, $q$-Saalschützの和公式より
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{1-n},q^{1-2n}/a^2b^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/a^2,q^{2-2n}/b^2;q^2)_k}q^{2k}&=(-1)^nq^{n(n-1)/2}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n}{(a^2,b^2;q)_n} \end{align}
だから,
\begin{align} &\Q44{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,f,g}{-x}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{1-n},q^{1-2n}/a^2b^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/a^2,q^{2-2n}/b^2;q^2)_k}q^{2k}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_{n-k}(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_{n-k}(f,g;q)_n}x^n\frac{(q^{-n};q)_{2k}}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n}}(-1)^kq^{-k^2+2nk}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_{n-k}(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_{n-k}(f,g;q)_n}x^n\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}(-1)^kq^{k(k-1)}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_{n+k}}{(a^2b^2q;q^2)_n(f,g;q)_{n+k}}x^n\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-k}}(-x)^kq^{k(k-1)}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_{n+k}}{(a^2b^2q;q^2)_n(q;q)_n(f,g;q)_{n+k}}x^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q^2;q^2)_k}(xq^n)^kq^{k(k-1)/2}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\Q33{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,fq^n,gq^n}{-xq^n} \end{align}
となって示される.
\begin{align} &\Q44{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,f,g}{-x}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\Q33{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,fq^n,gq^n}{-xq^n} \end{align}
において, $a,b,c,d$のどれかが$q^{-N}$と表されているとき, $x=-gq, f=-cd$として$g\to\infty$とすると,
\begin{align} &\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,-cd;q)_n}q^{n-n(n-1)/2}\Q32{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,-cdq^n}{q} \end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align} \Q32{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,-cdq^n}{q}&=\frac{(-c,-d;q)_n}{(-cdq^n,-q^{-n};q)_n}\\ &=q^{n(n+1)/2}\frac{(-c,-d;q)_n}{(-cdq^n,-q;q)_n} \end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.

$a,b$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき
\begin{align} \Q43{a^2,b^2,c,-c}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,c^2}{q}&=\Q32{a^2,b^2,c^2}{a^2b^2q,c^2q}{q^2;q^2} \end{align}

特に, 上の系において$b^2\mapsto q^{-N}$として右辺に$q$-Saalschützの和公式を適用して整理すると, 以下のAndrewsによる terminating $q$-Watsonの和公式 を得る.

非負整数$N$を用いて$b=q^{-N}$と書けるとき
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c;q^2)_n}{(c,q;q)_n(abq;q^2)_n}q^n&=\frac{a^{N/2}(aq,bq,cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(q,abq,cq,cq/ab;q^2)_{\infty}} \end{align}

また, 定理1において$c\mapsto q^{-N},d\mapsto -q^{-N}$として右辺に$q$-Saalschützの和公式を適用すると, 以下の公式を得る.

\begin{align} \sum_{k=0}^N\frac{(a^2,b^2,-q^{-N},q^{-N};q)_k}{(q,ab\sqrt q,-ab\sqrt q,q^{-2N};q)_k}q^k&=\frac{(a^2q,b^2q;q^2)_N}{(a^2b^2q,q;q^2)_N} \end{align}

これはJainにより1981年に与えられた公式であり, 1953年に示された Baileyによる公式
\begin{align} \sum_{k=0}^N\frac{(a,b,-N)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2N\right)_k}&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_N}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_N} \end{align}
$q$類似である.

参考文献

[1]
V. K. Jain, Some Transformations of Basic Hypergeometric Functions. Part II, SIAM J. Math. Anal., 1981, 957-961
投稿日:8日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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