Singhの二次変換公式
$a,b,c,d$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2}
\end{align}
以下はJainによって1981年に与えられた証明である.
まず,
\begin{align}
&\Q44{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,f,g}{-x}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\Q33{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,fq^n,gq^n}{-xq^n}
\end{align}
を示す. これは, $q$-Saalschützの和公式より
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{1-n},q^{1-2n}/a^2b^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/a^2,q^{2-2n}/b^2;q^2)_k}q^{2k}&=(-1)^nq^{n(n-1)/2}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n}{(a^2,b^2;q)_n}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\Q44{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,f,g}{-x}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{1-n},q^{1-2n}/a^2b^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/a^2,q^{2-2n}/b^2;q^2)_k}q^{2k}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_{n-k}(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_{n-k}(f,g;q)_n}x^n\frac{(q^{-n};q)_{2k}}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n}}(-1)^kq^{-k^2+2nk}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_{n-k}(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_{n-k}(f,g;q)_n}x^n\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}(-1)^kq^{k(k-1)}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_{n+k}}{(a^2b^2q;q^2)_n(f,g;q)_{n+k}}x^n\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-k}}(-x)^kq^{k(k-1)}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_{n+k}}{(a^2b^2q;q^2)_n(q;q)_n(f,g;q)_{n+k}}x^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q^2;q^2)_k}(xq^n)^kq^{k(k-1)/2}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\Q33{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,fq^n,gq^n}{-xq^n}
\end{align}
となって示される.
\begin{align}
&\Q44{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,f,g}{-x}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,f,g;q)_n}x^n\Q33{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,fq^n,gq^n}{-xq^n}
\end{align}
において, $a,b,c,d$のどれかが$q^{-N}$と表されているとき, $x=-gq, f=-cd$として$g\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(c,d;q)_n}{(a^2b^2q;q^2)_n(q,-cd;q)_n}q^{n-n(n-1)/2}\Q32{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,-cdq^n}{q}
\end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\Q32{q^{-n},cq^n,dq^n}{-q,-cdq^n}{q}&=\frac{(-c,-d;q)_n}{(-cdq^n,-q^{-n};q)_n}\\
&=q^{n(n+1)/2}\frac{(-c,-d;q)_n}{(-cdq^n,-q;q)_n}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
$a,b$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,c,-c}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,c^2}{q}&=\Q32{a^2,b^2,c^2}{a^2b^2q,c^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
特に, 上の系において$b^2\mapsto q^{-N}$として右辺に$q$-Saalschützの和公式を適用して整理すると, 以下のAndrewsによる terminating $q$-Watsonの和公式 を得る.
非負整数$N$を用いて$b=q^{-N}$と書けるとき
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c;q^2)_n}{(c,q;q)_n(abq;q^2)_n}q^n&=\frac{a^{N/2}(aq,bq,cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(q,abq,cq,cq/ab;q^2)_{\infty}}
\end{align}
また, 定理1において$c\mapsto q^{-N},d\mapsto -q^{-N}$として右辺に$q$-Saalschützの和公式を適用すると, 以下の公式を得る.
\begin{align} \sum_{k=0}^N\frac{(a^2,b^2,-q^{-N},q^{-N};q)_k}{(q,ab\sqrt q,-ab\sqrt q,q^{-2N};q)_k}q^k&=\frac{(a^2q,b^2q;q^2)_N}{(a^2b^2q,q;q^2)_N} \end{align}
これはJainにより1981年に与えられた公式であり, 1953年に示された
Baileyによる公式
\begin{align}
\sum_{k=0}^N\frac{(a,b,-N)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2N\right)_k}&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_N}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_N}
\end{align}
の$q$類似である.
古典極限
定理1において$d\mapsto -d$とした式の古典極限を考えると以下を得る.
$a,b,c$が正でない整数とするとき,
\begin{align}
\F32{2a,2b,c}{a+b+\frac 12,c+d}1&=\F43{a,b,c,d}{a+b+\frac 12,\frac{c+d}2,\frac{c+d+1}2}1
\end{align}
が成り立つ.
$a,b$が正でない整数のときに成り立つよく知られた公式
\begin{align}
\F21{2a,2b}{a+b+\frac 12}{x}&=\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{4x(1-x)}
\end{align}
に$x^{c-1}(1-x)^{d-1}$を掛けて$(0,1)$において積分することによっても示すことができる.
