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現代数学解説
文献あり

Terminating q-Watson, q-Whippleの和公式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

次はterminatingな場合の Watsonの${}_3F_2$和公式 $q$類似である.

Andrews(1976)

非負整数$N$によって$b=q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c;q^2)_n}{(c,q;q)_n(abq;q^2)_n}q^n&=\frac{a^{N/2}(aq,bq,cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(q,abq,cq,cq/ab;q^2)_{\infty}} \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c;q^2)_n}{(c,q;q)_n(abq;q^2)_n}q^n&=\Q43{a,\sqrt c,-\sqrt c,b}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q \end{align}
と書き直すと, Watsonの${}_8\phi_7$変換公式 より,
\begin{align} \Q43{a,\sqrt c,-\sqrt c,b}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q&=\frac{(bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q,q/c;q)_{\infty}}{(-bq,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c;q)_{\infty}}\\ &\cdot\Q87{-b,q\sqrt{-b},-q\sqrt{-b},\sqrt{bq/a},-\sqrt{bq/a},\sqrt c,-\sqrt c,b}{\sqrt{-b},-\sqrt{-b},\sqrt{abq},-\sqrt{abq},bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q}{\frac{aq}c}\\ &=\frac{(b^2q^2/c;q^2)_{\infty}(-q,q/c;q)_{\infty}}{(q^2/c;q^2)_{\infty}(-bq,bq/c;q)_{\infty}}\Q43{b^2,-bq^2,bq/a,c}{-b,abq,b^2q^2/c}{q^2;\frac{aq}c} \end{align}
である. ここで, $q$-Dixonの和公式
\begin{align} \Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}&=\frac{(aq,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}} \end{align}
より,
\begin{align} \Q43{b^2,-bq^2,bq/a,c}{-b,abq,b^2q^2/c}{q^2;\frac{aq}c}&=\frac{(b^2q^2,aq,bq/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(abq,b^2q^2/c,bq^2,aq/c;q^2)_{\infty}} \end{align}
だから,
\begin{align} &\frac{(b^2q^2/c;q^2)_{\infty}(-q,q/c;q)_{\infty}}{(q^2/c;q^2)_{\infty}(-bq,bq/c;q)_{\infty}}\Q43{b^2,-bq^2,bq/a,c}{-b,abq,b^2q^2/c}{q^2;\frac{aq}c}\\ &=\frac{(b^2q^2/c;q^2)_{\infty}(-q,q/c;q)_{\infty}}{(q^2/c;q^2)_{\infty}(-bq,bq/c;q)_{\infty}}\frac{(b^2q^2,aq,bq^2/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(abq,b^2q^2/c,bq^2,aq/c;q^2)_{\infty}}\\ &=\frac{(bq,bq^2,q/c;q^2)_{\infty}}{(b^2q^2,bq/c,bq^2/c,q;q^2)_{\infty}}\frac{(b^2q^2,aq,bq^2/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(abq,bq^2,aq/c;q^2)_{\infty}}\\ &=\frac{(aq,bq,q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(q,abq,aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}} \end{align}
ここで, $b=q^{-N}$$N$が奇数ならば, $(bq;q^2)_{\infty}=0$より$0$となる. $N$が偶数ならば,
\begin{align} &\frac{(q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}}\\ &=\frac{(aq/c;q^2)_{-N/2}}{(q/c;q^2)_{-N/2}}\\ &=a^{N/2}\frac{(cq;q^2)_{N/2}}{(cq/a;q^2)_{N/2}}\\ &=a^{N/2}\frac{(cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(c,cq/ab;q^2)_{\infty}} \end{align}
と書き換えられることから定理を得る.

次はterminatingな場合のWhippleの${}_3F_2$和公式の$q$類似である.

Andrews(1976)

非負整数$N$によって$a=q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,q/a;q)_n(c;q^2)_n}{(e,cq/e;q)_n(q^2;q^2)_n}q^n&=\frac{q^{N(N+1)/2}(ae,eq/a,acq/e,cq^2/ae;q^2)_{\infty}}{(e,cq/e;q)_{\infty}} \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,q/a;q)_n(c;q^2)_n}{(e,cq/e;q)_n(q^2;q^2)_n}q^n&=\Q43{q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{cq/e,-q,e}{q} \end{align}
と書き直すと, Watsonの${}_8\phi_7$変換公式 より,
\begin{align} \Q43{q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{cq/e,-q,e}q&=\frac{(ae/\sqrt c, -ae/\sqrt c,-e,e/c;q)_{\infty}}{(-ae,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c;q)_{\infty}}\\ &\cdot\Q87{-\frac{ae}q,q\sqrt{-\frac{ae}q},-q\sqrt{-\frac{ae}q},-a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{\sqrt{-\frac{ae}q},-\sqrt{-\frac{ae}q},-q,e,-ae/\sqrt c,ae/\sqrt c,-e}{\frac{eq}{ac}}\\ &=\frac{(a^2e^2/c;q^2)_{\infty}(-e,e/c;q)_{\infty}}{(e^2/c;q^2)_{\infty}(-ae,ae/c;q)_{\infty}}\Q43{\frac{a^2e^2}{q^2},-aeq,a^2,c}{-\frac{ae}q,e^2,\frac{a^2e^2}c}{q^2;\frac{eq}{ac}} \end{align}
ここで, $q$-Dixonの和公式 より,
\begin{align} \Q43{\frac{a^2e^2}{q^2},-aeq,a^2,c}{-\frac{ae}q,e^2,\frac{a^2e^2}c}{q^2;\frac{eq}{ac}}&=\frac{(a^2e^2,eq/a,aeq/c,e^2/c;q^2)_{\infty}}{(e^2,a^2e^2/c,aeq,eq/ac;q^2)_{\infty}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{(a^2e^2/c;q^2)_{\infty}(-e,e/c;q)_{\infty}}{(e^2/c;q^2)_{\infty}(-ae,ae/c;q)_{\infty}}\Q43{\frac{a^2e^2}{q^2},-aeq,a^2,c}{-\frac{ae}q,e^2,\frac{a^2e^2}c}{q^2;\frac{eq}{ac}}\\ &=\frac{(a^2e^2/c;q^2)_{\infty}(-e,e/c;q)_{\infty}}{(e^2/c;q^2)_{\infty}(-ae,ae/c;q)_{\infty}}\cdot\frac{(a^2e^2,eq/a,aeq/c,e^2/c;q^2)_{\infty}}{(e^2,a^2e^2/c,aeq,eq/ac;q^2)_{\infty}}\\ &=\frac{(e/c;q)_{\infty}(aeq/c;q^2)_{\infty}}{(ae/c;q)_{\infty}(eq/ac;q^2)_{\infty}}\cdot\frac{(ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(e;q)_{\infty}} \end{align}
ここで, $a=q^{-N}$より
\begin{align} \frac{(e/c;q)_{\infty}(aeq/c;q^2)_{\infty}}{(ae/c;q)_{\infty}(eq/ac;q^2)_{\infty}}&=\frac{(1-eq^{1-N}/c)(1-eq^{3-N}/c)\cdots(1-eq^{N-1}/c)}{(1-eq^{-N}/c)(1-eq^{1-N}/c)\cdots(1-eq^{-1}/c)}\\ &=q^{N(N+1)/2}\frac{(cq^{1-N}/e;q^2)_N}{(cq/e;q)_N}\\ &=q^{N(N+1)/2}\frac{(cq/ae;q)_{\infty}(acq/e;q^2)_{\infty}}{(cq/e;q)_{\infty}(cq/ae;q^2)_{\infty}}\\ &=q^{N(N+1)/2}\frac{(acq/e,cq^2/ae;q^2)_{\infty}}{(cq/e;q)_{\infty}} \end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.

参考文献

[1]
George E. Andrews, On q-analogues of the Watson and Whipple summations, SIAM J. Math. Anal., 1976, 332-336
投稿日:10日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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