次はterminatingな場合の Watsonの${}_3F_2$和公式 の$q$類似である.
非負整数$N$によって$b=q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c;q^2)_n}{(c,q;q)_n(abq;q^2)_n}q^n&=\frac{a^{N/2}(aq,bq,cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(q,abq,cq,cq/ab;q^2)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c;q^2)_n}{(c,q;q)_n(abq;q^2)_n}q^n&=\Q43{a,\sqrt c,-\sqrt c,b}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q
\end{align}
と書き直すと,
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
より,
\begin{align}
\Q43{a,\sqrt c,-\sqrt c,b}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q&=\frac{(bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q,q/c;q)_{\infty}}{(-bq,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c;q)_{\infty}}\\
&\cdot\Q87{-b,q\sqrt{-b},-q\sqrt{-b},\sqrt{bq/a},-\sqrt{bq/a},\sqrt c,-\sqrt c,b}{\sqrt{-b},-\sqrt{-b},\sqrt{abq},-\sqrt{abq},bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q}{\frac{aq}c}\\
&=\frac{(b^2q^2/c;q^2)_{\infty}(-q,q/c;q)_{\infty}}{(q^2/c;q^2)_{\infty}(-bq,bq/c;q)_{\infty}}\Q43{b^2,-bq^2,bq/a,c}{-b,abq,b^2q^2/c}{q^2;\frac{aq}c}
\end{align}
である. ここで,
$q$-Dixonの和公式
\begin{align}
\Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}&=\frac{(aq,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
より,
\begin{align}
\Q43{b^2,-bq^2,bq/a,c}{-b,abq,b^2q^2/c}{q^2;\frac{aq}c}&=\frac{(b^2q^2,aq,bq/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(abq,b^2q^2/c,bq^2,aq/c;q^2)_{\infty}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\frac{(b^2q^2/c;q^2)_{\infty}(-q,q/c;q)_{\infty}}{(q^2/c;q^2)_{\infty}(-bq,bq/c;q)_{\infty}}\Q43{b^2,-bq^2,bq/a,c}{-b,abq,b^2q^2/c}{q^2;\frac{aq}c}\\
&=\frac{(b^2q^2/c;q^2)_{\infty}(-q,q/c;q)_{\infty}}{(q^2/c;q^2)_{\infty}(-bq,bq/c;q)_{\infty}}\frac{(b^2q^2,aq,bq^2/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(abq,b^2q^2/c,bq^2,aq/c;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(bq,bq^2,q/c;q^2)_{\infty}}{(b^2q^2,bq/c,bq^2/c,q;q^2)_{\infty}}\frac{(b^2q^2,aq,bq^2/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(abq,bq^2,aq/c;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq,bq,q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(q,abq,aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $b=q^{-N}$の$N$が奇数ならば, $(bq;q^2)_{\infty}=0$より$0$となる. $N$が偶数ならば,
\begin{align}
&\frac{(q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq/c;q^2)_{-N/2}}{(q/c;q^2)_{-N/2}}\\
&=a^{N/2}\frac{(cq;q^2)_{N/2}}{(cq/a;q^2)_{N/2}}\\
&=a^{N/2}\frac{(cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(c,cq/ab;q^2)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えられることから定理を得る.
次はterminatingな場合のWhippleの${}_3F_2$和公式の$q$類似である.
非負整数$N$によって$a=q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,q/a;q)_n(c;q^2)_n}{(e,cq/e;q)_n(q^2;q^2)_n}q^n&=\frac{q^{N(N+1)/2}(ae,eq/a,acq/e,cq^2/ae;q^2)_{\infty}}{(e,cq/e;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,q/a;q)_n(c;q^2)_n}{(e,cq/e;q)_n(q^2;q^2)_n}q^n&=\Q43{q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{cq/e,-q,e}{q}
\end{align}
と書き直すと,
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
より,
\begin{align}
\Q43{q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{cq/e,-q,e}q&=\frac{(ae/\sqrt c, -ae/\sqrt c,-e,e/c;q)_{\infty}}{(-ae,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c;q)_{\infty}}\\
&\cdot\Q87{-\frac{ae}q,q\sqrt{-\frac{ae}q},-q\sqrt{-\frac{ae}q},-a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{\sqrt{-\frac{ae}q},-\sqrt{-\frac{ae}q},-q,e,-ae/\sqrt c,ae/\sqrt c,-e}{\frac{eq}{ac}}\\
&=\frac{(a^2e^2/c;q^2)_{\infty}(-e,e/c;q)_{\infty}}{(e^2/c;q^2)_{\infty}(-ae,ae/c;q)_{\infty}}\Q43{\frac{a^2e^2}{q^2},-aeq,a^2,c}{-\frac{ae}q,e^2,\frac{a^2e^2}c}{q^2;\frac{eq}{ac}}
\end{align}
ここで,
$q$-Dixonの和公式
より,
\begin{align}
\Q43{\frac{a^2e^2}{q^2},-aeq,a^2,c}{-\frac{ae}q,e^2,\frac{a^2e^2}c}{q^2;\frac{eq}{ac}}&=\frac{(a^2e^2,eq/a,aeq/c,e^2/c;q^2)_{\infty}}{(e^2,a^2e^2/c,aeq,eq/ac;q^2)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac{(a^2e^2/c;q^2)_{\infty}(-e,e/c;q)_{\infty}}{(e^2/c;q^2)_{\infty}(-ae,ae/c;q)_{\infty}}\Q43{\frac{a^2e^2}{q^2},-aeq,a^2,c}{-\frac{ae}q,e^2,\frac{a^2e^2}c}{q^2;\frac{eq}{ac}}\\
&=\frac{(a^2e^2/c;q^2)_{\infty}(-e,e/c;q)_{\infty}}{(e^2/c;q^2)_{\infty}(-ae,ae/c;q)_{\infty}}\cdot\frac{(a^2e^2,eq/a,aeq/c,e^2/c;q^2)_{\infty}}{(e^2,a^2e^2/c,aeq,eq/ac;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(e/c;q)_{\infty}(aeq/c;q^2)_{\infty}}{(ae/c;q)_{\infty}(eq/ac;q^2)_{\infty}}\cdot\frac{(ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(e;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $a=q^{-N}$より
\begin{align}
\frac{(e/c;q)_{\infty}(aeq/c;q^2)_{\infty}}{(ae/c;q)_{\infty}(eq/ac;q^2)_{\infty}}&=\frac{(1-eq^{1-N}/c)(1-eq^{3-N}/c)\cdots(1-eq^{N-1}/c)}{(1-eq^{-N}/c)(1-eq^{1-N}/c)\cdots(1-eq^{-1}/c)}\\
&=q^{N(N+1)/2}\frac{(cq^{1-N}/e;q^2)_N}{(cq/e;q)_N}\\
&=q^{N(N+1)/2}\frac{(cq/ae;q)_{\infty}(acq/e;q^2)_{\infty}}{(cq/e;q)_{\infty}(cq/ae;q^2)_{\infty}}\\
&=q^{N(N+1)/2}\frac{(acq/e,cq^2/ae;q^2)_{\infty}}{(cq/e;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.