Aとf^{-1}(f(A)), Bとf(f^{-1}(B))の包含関係

1. $a\in A$を任意に取る．このとき像の定義より$f(a)\in f^{\to }(A)$なので，逆像の定義から$a\in f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))$となる．したがって$A\subset f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))$が示された．
2. $y\in f^{\to }(f^{\leftarrow }(B))$を任意に取る．このとき像の定義より$f(x)=y$を満たす$x\in f^{\leftarrow }(B)$が存在し，逆像の定義から$y=f(x)\in B$となる．したがって$B\supset f^{\to }(f^{\leftarrow }(B))$が示された．

• (1)$\Rightarrow$(2)：$B\supset f^{\to }(f^{\leftarrow }(B))\supset f^{\to }(A)$.
• (2)$\Rightarrow$(1)：$A\subset f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))\subset f^{\leftarrow }(B)$.

1. 冒頭の命題より$f^{\to }(A)\subset f^{\to }(f^{\leftarrow }(f^{\to }(A)))$と$f^{\to }(A)\supset f^{\to }(f^{\leftarrow }(f^{\to }(A)))$が成り立つ．
2. 冒頭の命題より$f^{\leftarrow }(B)\subset f^{\leftarrow }(f^{\to }(f^{\leftarrow }(B)))$と$f^{\leftarrow }(B)\supset f^{\leftarrow }(f^{\to }(f^{\leftarrow }(B)))$が成り立つ．

1. 任意の$A\in 2^X$に対して次式が成り立つ．
   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{id}}_X^{\to }(A)& =\{{\mathrm{id}}_X(a)\mid a\in A\}\\ & =\{a\mid a\in A\}\\ & =A={\mathrm{id}}_{2^X}(A)\\ & =\{x\in X\mid x\in A\}\\ & =\{x\in X\mid {\mathrm{id}}_X(x)\in A\}\\ & ={\mathrm{id}}_X^{\leftarrow }(A).\end{array}$$
2. 任意の$A\in 2^X$に対して次式が成り立つ．
   $$\begin{array}{rl}(g\circ f{)}^{\to }(A)& =\{(g\circ f)(a)\mid a\in A\}\\ & =\{g(f(a))\mid a\in A\}\\ & =\{g(y)\mid y\in f^{\to }(A)\}\\ & =g^{\to }(f^{\to }(A))\\ & =(g^{\to }\circ f^{\to })(A).\end{array}$$
3. 任意の$C\in 2^Z$に対して次式が成り立つ．
   $$\begin{array}{rl}(g\circ f{)}^{\leftarrow }(C)& =\{x\in X\mid (g\circ f)(x)\in C\}\\ & =\{x\in X\mid g(f(x))\in C\}\\ & =\{x\in X\mid f(x)\in g^{\leftarrow }(C)\}\\ & =f^{\leftarrow }(g^{\leftarrow }(C))\\ & =(f^{\leftarrow }\circ g^{\leftarrow })(C).\end{array}$$

1. $x\in X$を任意に取ると
   $$\{f(x)\}=f^{\to }(\{x\})=g^{\to }(\{x\})=\{g(x)\}$$より$f(x)=g(x)$となるから$f=g$を得る．
2. $x\in X$を任意に取ると
   $$x\in f^{\leftarrow }(\{f(x)\})=g^{\leftarrow }(\{f(x)\})$$より$g(x)\in \{f(x)\}$，つまり$f(x)=g(x)$となるから$f=g$を得る．

• (1)$\Rightarrow$(4)：$x\in f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))$を任意に取る．このとき$f(x)\in f^{\to }(A)$より$f(x)=f(a)$を満たす$a\in A$が取れるから，$f$の単射性より$x=a\in A$を得る．よって$f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))\subset A$であるが，逆の包含は既に示した．
• (4)$\Rightarrow$(3)：$f^{\leftarrow }\circ f^{\to }={\mathrm{id}}_{2^X}$の全射性から$f^{\leftarrow }$の全射性が従う．
• (3)$\Rightarrow$(2)：$f^{\to }(A)=f^{\to }(A^{\prime })$を満たす$A,A^{\prime }\in 2^X$を任意に取り，$A=A^{\prime }$を示す．$f^{\leftarrow }$の全射性より$f^{\leftarrow }(B)=A$を満たす$B\in 2^Y$が取れるが，このとき
  $$\begin{array}{rl}A& =f^{\leftarrow }(B)\\ & =f^{\leftarrow }(f^{\to }(f^{\leftarrow }(B)))\\ & =f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))\\ & =f^{\leftarrow }(f^{\to }(A^{\prime }))\\ & \supset A^{\prime }\end{array}$$より$A\supset A^{\prime }$を得る．$A\subset A^{\prime }$も同様に示せる．
• (2)$\Rightarrow$(1)：$f(x)=f(x^{\prime })$を満たす$x,x^{\prime }\in X$を任意に取り，$x=x^{\prime }$を示す．
  $$f^{\to }(\{x\})=\{f(x)\}=\{f(x^{\prime })\}=f^{\to }(\{x^{\prime }\})$$が成り立つから，$f^{\to }$の単射性より$\{x\}=\{x^{\prime }\}$，つまり$x=x^{\prime }$を得る．

• (1)$\Rightarrow$(4)：$b\in B$を任意に取る．このとき$f$の全射性より$f(x)=b$を満たす$x\in X$が取れるから，$x\in f^{\leftarrow }(B)$となり$b=f(x)\in f^{\to }(f^{\leftarrow }(B))$を得る．よって$B\subset f^{\to }(f^{\leftarrow }(B))$であるが，逆の包含は既に示した．
• (4)$\Rightarrow$(3)：$f^{\to }\circ f^{\leftarrow }={\mathrm{id}}_{2^X}$の単射性から$f^{\leftarrow }$の単射性が従う．
• (3)$\Rightarrow$(2)：$B\in 2^Y$を任意に取る．このとき$f^{\leftarrow }(f^{\to }(f^{\leftarrow }(B)))=f^{\leftarrow }(B)$と$f$の単射性より$f^{\to }(f^{\leftarrow }(B))=B$を得るから，$f^{\to }$は全射である．
• (2)$\Rightarrow$(1)：$y\in Y$を任意に取る．$f^{\to }$の全射性より$f^{\to }(A)=\{y\}$を満たす$A\in 2^X$が取れて，$f^{\to }(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }\ne \{y\}$より$A$は空でない．よって$a\in A$を取れば$f(a)\in f^{\to }(A)=\{y\}$より$f(a)=y$を得る．

(1), (2), (3) の同値性は既に示した．$f$が全単射のとき，単射性より$f^{\leftarrow }\circ f^{\to }={\mathrm{id}}_{2^X}$が，全射性より$f^{\to }\circ f^{\leftarrow }={\mathrm{id}}_{2^Y}$が成り立つから，$f^{\to }$と$f^{\leftarrow }$は互いに逆写像である．また
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{id}}_{2^X}& ={\mathrm{id}}_X^{\to }=(f^{-1}\circ f{)}^{\to }=(f^{-1}{)}^{\to }\circ f^{\to },\\ {\mathrm{id}}_{2^Y}& ={\mathrm{id}}_Y^{\to }=(f\circ f^{-1}{)}^{\to }=f^{\to }\circ (f^{-1}{)}^{\to }\end{array}$$が成り立つので，$(f^{-1}{)}^{\to }$は$f^{\to }$の逆写像である．同様に
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{id}}_{2^X}& ={\mathrm{id}}_X^{\leftarrow }=(f^{-1}\circ f{)}^{\leftarrow }=(f^{-1}{)}^{\leftarrow }\circ f^{\leftarrow },\\ {\mathrm{id}}_{2^Y}& ={\mathrm{id}}_Y^{\leftarrow }=(f\circ f^{-1}{)}^{\leftarrow }=f^{\leftarrow }\circ (f^{-1}{)}^{\leftarrow }\end{array}$$が成り立つので，$(f^{-1}{)}^{\leftarrow }$は$f^{\leftarrow }$の逆写像である．

$$\begin{array}{rl}A\subset A^{\prime }& ⟹X\setminus A\supset X\setminus A^{\prime }\\ & ⟹f^{\to }(X\setminus A)\supset f^{\to }(X\setminus A^{\prime })\\ & ⟹Y\setminus f^{\to }(X\setminus A)\subset Y\setminus f^{\to }(X\setminus A^{\prime })\\ & ⟹f_{!}(A)\subset f_{!}(A^{\prime }).\end{array}$$

1. $$\begin{array}{rl}{f}^{\leftarrow }(f_{!}(A))& =f^{\leftarrow }(Y\setminus f^{\to }(X\setminus A))\\ & =f^{\leftarrow }(Y)\setminus f^{\leftarrow }(f^{\to }(X\setminus A))\\ & \subset X\setminus (X\setminus A)\\ & =A.\end{array}$$
2. $$\begin{array}{rl}{f}_{!}(f^{\leftarrow }(B))& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus f^{\leftarrow }(B))\\ & =Y\setminus f^{\to }(f^{\leftarrow }(Y)\setminus f^{\leftarrow }(B))\\ & =Y\setminus f^{\to }(f^{\leftarrow }(Y\setminus B))\\ & \supset Y\setminus (Y\setminus B)\\ & =B.\end{array}$$

• (1)$\Rightarrow$(2)：$B\subset f_{!}(f^{\leftarrow }(B))\subset f_{!}(A)$.
• (2)$\Rightarrow$(1)：$A\supset f^{\leftarrow }(f_{!}(A))\supset f^{\leftarrow }(B)$.

1. $f_{!}(A)\supset f_{!}(f^{\leftarrow }(f_{!}(A)))$と$f_{!}(A)\subset f_{!}(f^{\leftarrow }(f_{!}(A)))$が成り立つ．
2. $f^{\leftarrow }(B)\supset f^{\leftarrow }(f_{!}(f^{\leftarrow }(B)))$と$f^{\leftarrow }(B)\subset f^{\leftarrow }(f_{!}(f^{\leftarrow }(B)))$が成り立つ．

• $f^{\to }(f^{\leftarrow }(f_{!}(A)))\subset f^{\to }(A)\subset f_{!}(f^{\leftarrow }(f^{\to }(A)))$.
• $f^{\to }(f^{\leftarrow }(f_{!}(A)))\subset f_{!}(A)\subset f_{!}(f^{\leftarrow }(f^{\to }(A)))$.

1. $$\begin{array}{rl}{f}_{!}(A\cap A^{\prime })& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus (A\cap A^{\prime }))\\ & =Y\setminus f^{\to }((X\setminus A)\cup (X\setminus A^{\prime }))\\ & =Y\setminus (f^{\to }(X\setminus A)\cup f^{\to }(X\setminus A^{\prime }))\\ & =(Y\setminus f^{\to }(X\setminus A))\cap (Y\setminus f^{\to }(X\setminus A^{\prime }))\\ & =f_{!}(A)\cap f_{!}(A^{\prime }).\end{array}$$
2. $$\begin{array}{rl}{f}_{!}(A\cup A^{\prime })& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus (A\cup A^{\prime }))\\ & =Y\setminus f^{\to }((X\setminus A)\cap (X\setminus A^{\prime }))\\ & \supset Y\setminus (f^{\to }(X\setminus A)\cap f^{\to }(X\setminus A^{\prime }))\\ & =(Y\setminus f^{\to }(X\setminus A))\cup (Y\setminus f^{\to }(X\setminus A^{\prime }))\\ & =f_{!}(A)\cup f_{!}(A^{\prime }).\end{array}$$
3. $f_{!}(A\setminus A^{\prime })=f_{!}(A\cap (X\setminus A^{\prime }))=f_{!}(A)\cap f_{!}(X\setminus A^{\prime })$.

1. 任意の$A\in 2^X$に対して，次式が成り立つ．
   $$\begin{array}{rl}({\mathrm{id}}_X{)}_{!}(A)& =X\setminus {\mathrm{id}}_X^{\to }(X\setminus A)\\ & =X\setminus {\mathrm{id}}_{2^X}(X\setminus A)\\ & =X\setminus (X\setminus A)\\ & =A\\ & ={\mathrm{id}}_{2^X}(A).\end{array}$$
2. 任意の$A\in 2^X$に対して，次式が成り立つ．
   $$\begin{array}{rl}(g\circ f{)}_{!}(A)& =Z\setminus (g\circ f{)}^{\to }(X\setminus A)\\ & =Z\setminus (g^{\to }\circ f^{\to })(X\setminus A)\\ & =Z\setminus g^{\to }(f^{\to }(X\setminus A))\\ & =Z\setminus g^{\to }(Y\setminus f_{!}(A))\\ & =g_{!}(f_{!}(A))\\ & =(g_{!}\circ f_{!})(A).\end{array}$$

任意の$A\in 2^X$に対して，次式が成り立つ．
$$\begin{array}{rl}{f}^{\to }(A)& =Y\setminus (Y\setminus f^{\to }(A))\\ & =Y\setminus (Y\setminus f^{\to }(X\setminus (X\setminus A)))\\ & =Y\setminus f_{!}(X\setminus A)\\ & =Y\setminus g_{!}(X\setminus A)\\ & =Y\setminus (Y\setminus g^{\to }(X\setminus (X\setminus A)))\\ & =Y\setminus (Y\setminus g^{\to }(A))\\ & =g^{\to }(A).\end{array}$$つまり$f^{\to }=g^{\to }$だから，$f=g$を得る．

まず$f$が単射のとき，$f^{\to }(X\setminus A)=f^{\to }(X)\setminus f^{\to }(A)$が成り立つことに注意すれば
$$\begin{array}{rl}{f}_{!}(A)& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus A)\\ & =Y\setminus (f^{\to }(X)\setminus f^{\to }(A))\\ & =f^{\to }(A)\cup (Y\setminus f^{\to }(X))\end{array}$$より$f_{!}(A)=f^{\to }(A)\cup (Y\setminus f^{\to }(X))$を得る．

• (1)$\Rightarrow$(3)：任意の$A\in 2^X$に対して，次式が成り立つ．
  $$\begin{array}{rl}{f}^{\leftarrow }(f_{!}(A))& =f^{\leftarrow }(f^{\to }(A)\cup (Y\setminus f^{\to }(X)))\\ & =f^{\leftarrow }(f^{\to }(A))\cup f^{\leftarrow }(Y\setminus f^{\to }(X))\\ & =A\cup (f^{\leftarrow }(Y)\setminus f^{\leftarrow }(f^{\to }(X)))\\ & =A\cup (X\setminus X)\\ & =A\cup \mathrm{\varnothing }\\ & =A\\ & ={\mathrm{id}}_{2^X}(A).\end{array}$$
• (3)$\Rightarrow$(2)：$f^{\leftarrow }\circ f_{!}={\mathrm{id}}_{2^X}$の単射性から$f_{!}$の単射性が従う．
• (2)$\Rightarrow$(1)：$x,x^{\prime }\in X$が$f(x)=f(x^{\prime })$を満たすとする．このとき
  $$\begin{array}{rl}{f}_{!}(X\setminus \{x\})& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus (X\setminus \{x\}))\\ & =Y\setminus f^{\to }(\{x\})\\ & =Y\setminus \{f(x)\}\\ & =Y\setminus \{f(x^{\prime })\}\\ & =Y\setminus f^{\to }(\{x^{\prime }\})\\ & =Y\setminus f^{\to }(X\setminus (X\setminus \{x^{\prime }\}))\\ & =f_{!}(X\setminus \{x^{\prime }\})\end{array}$$だから，$f_{!}$の単射性より$X\setminus \{x\}=X\setminus \{x^{\prime }\}$，つまり$x=x^{\prime }$を得る．

まず$f$が全射のとき，$f^{\to }(X)=Y$が成り立つことに注意すれば
$$\begin{array}{rl}{f}_{!}(A)& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus A)\\ & \subset Y\setminus (f^{\to }(X)\setminus f^{\to }(A))\\ & =Y\setminus (Y\setminus f^{\to }(A))\\ & =f^{\to }(A)\end{array}$$を得る．

• (1)$\Rightarrow$(3)：任意の$B\in 2^Y$に対して，次式が成り立つ．
  $$\begin{array}{rl}{f}_{!}(f^{\leftarrow }(B))& =Y\setminus f^{\to }(X\setminus f^{\leftarrow }(B))\\ & \subset Y\setminus (f^{\to }(X)\setminus f^{\to }(f^{\leftarrow }(B)))\\ & =Y\setminus (Y\setminus B)\\ & =B\\ & ={\mathrm{id}}_{2^Y}(B).\end{array}$$
• (3)$\Rightarrow$(2)：$f_{!}\circ f^{\leftarrow }={\mathrm{id}}_{2^Y}$の全射性から$f_{!}$の全射性が従う．
• (2)$\Rightarrow$(4)：$f_{!}$の全射性より$f_{!}(A)=\mathrm{\varnothing }$を満たす$A\in 2^X$が取れる．このとき$\mathrm{\varnothing }\subset A$より
  $$\begin{array}{r}{f}_{!}(\mathrm{\varnothing })\subset f_{!}(A)=\mathrm{\varnothing }.\end{array}$$
• (4)$\Rightarrow$(1)：一般に$f_{!}(\mathrm{\varnothing })=Y\setminus f^{\to }(X)$だから
  $$\begin{array}{rl}{f}_{!}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }& ⟹Y\setminus f^{\to }(X)=\mathrm{\varnothing }⟹Y=f^{\to }(X).\end{array}$$

前2つの命題より，$f$が全単射のとき任意の$A\in 2^X$に対して$f_{!}(A)=f^{\to }(A)$が成り立つから$f_{!}=f^{\to }$を得る．

$f^{\to }(A\cap A^{\prime })\subset f^{\to }(A)\cap f^{\to }(A^{\prime })$は常に成り立つから，逆の包含のみ示す．
$y\in f^{\to }(A)\cap f^{\to }(A^{\prime })$を任意に取ると，$f^{\to }(A)\supset \{y\}$から$A\supset g(\{y\})$が，$f^{\to }(A^{\prime })\supset \{y\}$から$A^{\prime }\supset g(\{y\})$が得られる．よって$A\cap A^{\prime }\supset g(\{y\})$となるから，$f^{\to }(A\cap A^{\prime })\supset \{y\}$，つまり$y\in f^{\to }(A\cap A^{\prime })$を得る．