文献あり

Aとf^{-1}(f(A)), Bとf(f^{-1}(B))の包含関係

332

$\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow$

写像$f:X\to Y$と部分集合$A\subset X$，$B\subset Y$に対して
$$ A\supset f^{-1}(f(A)), \qquad B\subset f(f^{-1}(B))$$が成り立つことはよく知られていますね．像や逆像の定義からこれらの包含関係を示すことは容易いですが，必要になる度に証明を思い出すのも面倒なので，矢印記法による覚え方を紹介します．
以下，集合$X$の冪集合を$\powerset{X}$と書くことにします．

像・逆像（矢印記法）

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$に対して，2つの写像$\pushout{f}:\powerset{X}\to\powerset{Y}$，$\pullback{f}:\powerset{Y}\to\powerset{X}$を
\begin{align*} \pushout{f}(A)&:=\{f(a)\mid a\in A\}:=\{y\in Y\mid{}^\exists a\in A,\ f(a)=y\} & (A\in\powerset{X}), \\ \pullback{f}(B)&:=\{x\in X\mid f(x)\in B\} & (B\in\powerset{Y})\phantom{,} \end{align*}で定める．この$\pushout{f}(A)$を$f$による$A$の像といい，$\pullback{f}(B)$を$f$による$B$の逆像という．

像$\{f(a)\mid a\in A\}$は$f(A)$，逆像$\{x\in X\mid f(x)\in B\}$は$f^{-1}(B)$と書くのが一般的ですが，逆像の記号が（必ずしも存在するとは限らない）逆写像$f^{-1}:Y\to X$と紛らわしかったり，$A\in X$や$B\in Y$であるかのような誤解を招いたりするので，この記事のように$\pushout{f}(A),\pullback{f}(B)$という記号を使うことがあります．
この他に，像を$f_{\ast}(A)$，逆像を$f^{\ast}(B)$と書く流儀もあるようです（cf. Wiki）．

早速ですが本題に移ります．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$に対して，次のことが成り立つ．

$A\subset \pullback{f}(\pushout{f}(A))$.
$B\supset \pushout{f}(\pullback{f}(B))$.

矢印の向きに注目してください．
$f^{\color{red}\leftarrow}(f^{\color{red}\to}(A))$では矢印の向きが${\color{red}\leftarrow\to}$となっているので，なんとなく広がっている感じがします．広がっているということは元々の$A$を含むだろうということで，$A\subset \pullback{f}(\pushout{f}(A))$を思い出すことができます．
逆に$f^{\color{red}\to}(f^{\color{red}\leftarrow}(B))$では矢印の向きが${\color{red}\to\leftarrow}$となっているので，なんとなく縮んでいる感じがします．縮んでいるということは元々の$B$に含まれるだろうということで，$B\supset \pushout{f}(\pullback{f}(B))$を思い出すことができます．
これでもう，これらの包含関係を忘れることはありませんね！　念のため証明もしておきましょう．

$a\in A$を任意に取る．このとき像の定義より$f(a)\in \pushout{f}(A)$なので，逆像の定義から$a\in\pullback{f}(\pushout{f}(A))$となる．したがって$A\subset\pullback{f}(\pushout{f}(A))$が示された．
$y\in\pushout{f}(\pullback{f}(B))$を任意に取る．このとき像の定義より$f(x)=y$を満たす$x\in \pullback{f}(B)$が存在し，逆像の定義から$y=f(x)\in B$となる．したがって$B\supset \pushout{f}(\pullback{f}(B))$が示された．

以上です．
ここまで読んでいただき，ありがとうございました．

.
.
.
.
.

蛇足

ついでに，矢印記法を使ってもう少しいろいろ書いてみようと思います．

像・逆像の性質

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$に対して，次の2条件は同値である．

$A\subset\pullback{f}(B)$.
$\pushout{f}(A)\subset B$.

(1)$\Rightarrow$(2)：$B\supset\pushout{f}(\pullback{f}(B))\supset\pushout{f}(A)$.
(2)$\Rightarrow$(1)：$A\subset\pullback{f}(\pushout{f}(A))\subset\pullback{f}(B)$.

上の命題で包含関係を逆転させた
$$ A\supset\pullback{f}(B)\iff \pushout{f}(A)\supset B$$は成り立たないことがあります．たとえば$X=Y=\mathbb{R}$，$f(x)=x^2$，

$A=B=\mathbb{R}$のとき，$A\supset\pullback{f}(B)$は成り立ちますが，$\pushout{f}(A)\supset B$は成り立ちません．
$A=B=[0,\infty)$のとき，$\pushout{f}(A)\supset B$は成り立ちますが，$A\supset\pullback{f}(B)$は成り立ちません．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$に対して，次のことが成り立つ．

$\pushout{f}(A)=\pushout{f}(\pullback{f}(\pushout{f}(A)))$.
$\pullback{f}(B)=\pullback{f}(\pushout{f}(\pullback{f}(B)))$.

（つまり，$\pushout{f}=\pushout{f}\circ\pullback{f}\circ\pushout{f}$と$\pullback{f}=\pullback{f}\circ\pushout{f}\circ\pullback{f}$が成り立つ．）

冒頭の命題より$\pushout{f}({\color{red}A})\subset\pushout{f}({\color{red}\pullback{f}(\pushout{f}(A))})$と$\pushout{f}(A)\supset{\color{red}\pushout{f}(\pullback{f}(}\pushout{f}(A){\color{red}))}$が成り立つ．
冒頭の命題より$\pullback{f}(B)\subset {\color{red}\pullback{f}(\pushout{f}(}\pullback{f}(B){\color{red}))}$と$\pullback{f}({\color{red}B})\supset\pullback{f}({\color{red}\pushout{f}(\pullback{f}(B))})$が成り立つ．

集合$X,Y,Z$と写像$f:X\to Y$，$g:Y\to Z$について，次のことが成り立つ．

$\pushout{\id_{X}}=\id_{\powerset{X}}=\pullback{\id_X}$.
$\pushout{(g\circ f)}=\pushout{g}\circ\pushout{f}$.
$\pullback{(g\circ f)}=\pullback{f}\circ\pullback{g}$.

任意の$A\in\powerset{X}$に対して次式が成り立つ．
\begin{align*} \pushout{\id_{X}}(A) &=\{\id_X(a)\mid a\in A\} \\ &=\{a\mid a\in A\} \\ &=A=\id_{\powerset{X}}(A) \\ &=\{x\in X\mid x\in A\} \\ &=\{x\in X\mid \id_{X}(x)\in A\} \\ &=\pullback{\id_{X}}(A). \end{align*}
任意の$A\in\powerset{X}$に対して次式が成り立つ．
\begin{align*} \pushout{(g\circ f)}(A) &=\{(g\circ f)(a)\mid a\in A\} \\ &=\{g(f(a))\mid a\in A\} \\ &=\{g(y)\mid y\in\pushout{f}(A)\} \\ &=\pushout{g}(\pushout{f}(A)) \\ &=(\pushout{g}\circ\pushout{f})(A). \end{align*}
任意の$C\in\powerset{Z}$に対して次式が成り立つ．
\begin{align*} \pullback{(g\circ f)}(C) &=\{x\in X\mid (g\circ f)(x)\in C\} \\ &=\{x\in X\mid g(f(x))\in C\} \\ &=\{x\in X\mid f(x)\in\pullback{g}(C)\} \\ &=\pullback{f}(\pullback{g}(C)) \\ &=(\pullback{f}\circ\pullback{g})(C). \end{align*}

集合$X,Y$と写像$f,g:X\to Y$について，次のことが成り立つ．

$\pushout{f}=\pushout{g}$ならば，$f=g$である．
$\pullback{f}=\pullback{g}$ならば，$f=g$である．

$x\in X$を任意に取ると
$$ \{f(x)\}=f^{\to}(\{x\})=g^{\to}(\{x\})=\{g(x)\}$$より$f(x)=g(x)$となるから$f=g$を得る．
$x\in X$を任意に取ると
$$ x \in f^{\leftarrow}(\{f(x)\}) =g^{\leftarrow}(\{f(x)\}) $$より$g(x)\in\{f(x)\}$，つまり$f(x)=g(x)$となるから$f=g$を得る．

$f$が単射であれば，$A\subset\pullback{f}(\pushout{f}(A))$の等号が成り立ちます．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$について，次の4条件は同値である．

$f$は単射である．
$\pushout{f}$は単射である．
$\pullback{f}$は全射である．
任意の$A\in\powerset{X}$に対して，$A=\pullback{f}(\pushout{f}(A))$が成り立つ．（つまり$\pullback{f}\circ\pushout{f}=\id_{\powerset{X}}$である．）

(1)$\Rightarrow$(4)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(1) の順で示す．

(1)$\Rightarrow$(4)：$x\in\pullback{f}(\pushout{f}(A))$を任意に取る．このとき$f(x)\in\pushout{f}(A)$より$f(x)=f(a)$を満たす$a\in A$が取れるから，$f$の単射性より$x=a\in A$を得る．よって$\pullback{f}(\pushout{f}(A))\subset A$であるが，逆の包含は既に示した．
(4)$\Rightarrow$(3)：$\pullback{f}\circ\pushout{f}=\id_{\powerset{X}}$の全射性から$\pullback{f}$の全射性が従う．
(3)$\Rightarrow$(2)：$\pushout{f}(A)=\pushout{f}(A')$を満たす$A,A'\in\powerset{X}$を任意に取り，$A=A'$を示す．$\pullback{f}$の全射性より$\pullback{f}(B)=A$を満たす$B\in\powerset{Y}$が取れるが，このとき
\begin{align*} A &=\pullback{f}(B) \\ &=\pullback{f}(\pushout{f}(\pullback{f}(B))) \\ &=\pullback{f}(\pushout{f}(A)) \\ &=\pullback{f}(\pushout{f}(A')) \\ &\supset A' \end{align*}より$A\supset A'$を得る．$A\subset A'$も同様に示せる．
(2)$\Rightarrow$(1)：$f(x)=f(x')$を満たす$x,x'\in X$を任意に取り，$x=x'$を示す．
$$ \pushout{f}(\{x\})=\{f(x)\}=\{f(x')\}=\pushout{f}(\{x'\}) $$が成り立つから，$\pushout{f}$の単射性より$\{x\}=\{x'\}$，つまり$x=x'$を得る．

$f$が全射であれば，$B\supset\pushout{f}(\pullback{f}(B))$の等号が成り立ちます．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$について，次の4条件は同値である．

$f$は全射である．
$\pushout{f}$は全射である．
$\pullback{f}$は単射である．
任意の$B\in\powerset{Y}$に対して，$B=\pushout{f}(\pullback{f}(B))$が成り立つ．（つまり$\pushout{f}\circ\pullback{f}=\id_{\powerset{Y}}$である．）

(1)$\Rightarrow$(4)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(1) の順で示す．

(1)$\Rightarrow$(4)：$b\in B$を任意に取る．このとき$f$の全射性より$f(x)=b$を満たす$x\in X$が取れるから，$x\in\pullback{f}(B)$となり$b=f(x)\in\pushout{f}(\pullback{f}(B))$を得る．よって$B\subset\pushout{f}(\pullback{f}(B))$であるが，逆の包含は既に示した．
(4)$\Rightarrow$(3)：$\pushout{f}\circ\pullback{f}=\id_{\powerset{X}}$の単射性から$\pullback{f}$の単射性が従う．
(3)$\Rightarrow$(2)：$B\in\powerset{Y}$を任意に取る．このとき$\pullback{f}(\pushout{f}(\pullback{f}(B)))=\pullback{f}(B)$と$f$の単射性より$\pushout{f}(\pullback{f}(B))=B$を得るから，$\pushout{f}$は全射である．
(2)$\Rightarrow$(1)：$y\in Y$を任意に取る．$\pushout{f}$の全射性より$\pushout{f}(A)=\{y\}$を満たす$A\in\powerset{X}$が取れて，$\pushout{f}(\emptyset)=\emptyset\ne\{y\}$より$A$は空でない．よって$a\in A$を取れば$f(a)\in\pushout{f}(A)=\{y\}$より$f(a)=y$を得る．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$について，次の3条件は同値である．

$f$は全単射である．
$\pushout{f}$は全単射である．
$\pullback{f}$は全単射である．

これらの条件が成り立つとき，さらに次式が成り立つ．
$$ (\pushout{f})^{-1}=\pullback{f}=\pushout{(f^{-1})}, \qquad (\pullback{f})^{-1}=\pushout{f}=\pullback{(f^{-1})}. $$

(1), (2), (3) の同値性は既に示した．$f$が全単射のとき，単射性より$\pullback{f}\circ\pushout{f}=\id_{\powerset{X}}$が，全射性より$\pushout{f}\circ\pullback{f}=\id_{\powerset{Y}}$が成り立つから，$\pushout{f}$と$\pullback{f}$は互いに逆写像である．また
\begin{align*} \id_{\powerset{X}} &=\pushout{\id_X} =\pushout{(f^{-1}\circ f)} =\pushout{(f^{-1})}\circ\pushout{f}, \\ \id_{\powerset{Y}} &=\pushout{\id_Y} =\pushout{(f\circ f^{-1})} =\pushout{f}\circ\pushout{(f^{-1})} \end{align*}が成り立つので，$\pushout{(f^{-1})}$は$\pushout{f}$の逆写像である．同様に
\begin{align*} \id_{\powerset{X}} &=\pullback{\id_X} =\pullback{(f^{-1}\circ f)} =\pullback{(f^{-1})}\circ\pullback{f}, \\ \id_{\powerset{Y}} &=\pullback{\id_Y} =\pullback{(f\circ f^{-1})} =\pullback{f}\circ\pullback{(f^{-1})} \end{align*}が成り立つので，$\pullback{(f^{-1})}$は$\pullback{f}$の逆写像である．

余順像

像と逆像については
$$ A\subset\pullback{f}(B) \iff \pushout{f}(A)\subset B $$が成り立ちますが，$A\supset\pullback{f}(B)$と$\pushout{f}(A)\supset B$は同値ではありませんでした．そこで
$$ A\supset\pullback{f}(B)\iff f_{!}(A)\supset B$$を満たす写像$f_{!}:\powerset{X}\to\powerset{Y}$があるかどうかを考えてみます．

$f_{!}$の一意性

$f_{!}$と同じ性質
$$ A\supset\pullback{f}(B)\iff g(A)\supset B$$を満たす写像$g:\powerset{X}\to\powerset{Y}$を満たす写像があれば，$f_{!}=g$であることが次のように示せます：任意の$A\in\powerset{X}$に対して

自明な包含関係$f_{!}(A)\supset f_{!}(A)$から$g(A)\supset f_{!}(A)$が，
自明な包含関係$g(A)\supset g(A)$から$f_{!}(A)\supset g(A)$が得られます．

天下り的ですが，最初に$f_{!}$を定義してから，それが上の性質を満たすことを確かめてみましょう．
ここでは$f_{!}(A)$のことを，ToyExample に倣って余順像とよぶことにします．

余順像

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$に対して，写像$f_{!}:\powerset{X}\to\powerset{Y}$を
$$ f_{!}(A):=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A) \qquad (A\in\powerset{X})$$で定め，この$f_{!}(A)$を$f$による$A$の余順像という．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\subset A'$を満たす$A,A'\in\powerset{X}$に対して，$f_{!}(A)\subset f_{!}(A')$が成り立つ．

\begin{align*} A\subset A' &\Longrightarrow X\setminus A\supset X\setminus A' \\ &\Longrightarrow \pushout{f}(X\setminus A)\supset \pushout{f}(X\setminus A') \\ &\Longrightarrow Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A)\subset Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A') \\ &\Longrightarrow f_{!}(A)\subset f_{!}(A'). \end{align*}

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$に対して，次のことが成り立つ．

$A\supset \pullback{f}(f_{!}(A))$.
$B\subset f_{!}(\pullback{f}(B))$.

\begin{align*} \pullback{f}(f_{!}(A)) &=\pullback{f}(Y\setminus \pushout{f}(X\setminus A)) \\ &=\pullback{f}(Y)\setminus{\color{red}\pullback{f}(\pushout{f}(X\setminus A))} \\ &\subset X\setminus{\color{red}(X\setminus A)} \\ &=A. \end{align*}
\begin{align*} f_{!}(\pullback{f}(B)) &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus\pullback{f}(B)) \\ &=Y\setminus\pushout{f}(\pullback{f}(Y)\setminus\pullback{f}(B)) \\ &=Y\setminus{\color{red}\pushout{f}(\pullback{f}(Y\setminus B))} \\ &\supset Y\setminus{\color{red}(Y\setminus B)} \\ &=B. \end{align*}

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$に対して，次の2条件は同値である．

$A\supset \pullback{f}(B)$.
$f_{!}(A)\supset B$.

(1)$\Rightarrow$(2)：$B\subset f_{!}(\pullback{f}(B))\subset f_{!}(A)$.
(2)$\Rightarrow$(1)：$A\supset\pullback{f}(f_{!}(A))\supset\pullback{f}(B)$.

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$に対して，次のことが成り立つ．

$f_{!}(A)=f_{!}(\pullback{f}(f_{!}(A)))$.
$\pullback{f}(B)=\pullback{f}(f_{!}(\pullback{f}(B)))$.

（つまり，$f_{!}=f_{!}\circ\pullback{f}\circ f_{!}$と$\pullback{f}=\pullback{f}\circ f_{!}\circ\pullback{f}$が成り立つ．）

$f_{!}({\color{red}A})\supset f_{!}({\color{red}\pullback{f}(f_{!}(A))})$と$f_{!}(A)\subset{\color{red}f_{!}(\pullback{f}(}f_{!}(A){\color{red}))}$が成り立つ．
$\pullback{f}(B)\supset {\color{red}\pullback{f}(f_{!}(}\pullback{f}(B){\color{red}))}$と$\pullback{f}({\color{red}B})\subset\pullback{f}({\color{red}f_{!}(\pullback{f}(B))})$が成り立つ．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A\in\powerset{X}$に対して，次のことが成り立つ．

$$ \pushout{f}(\pullback{f}(f_{!}(A)))\subset\left\{\begin{array}{c}\pushout{f}(A)\\f_{!}(A)\end{array}\right\}\subset f_{!}(\pullback{f}(\pushout{f}(A))).$$

$\pushout{f}({\color{red}\pullback{f}(f_{!}(A))})\subset\pushout{f}(A)\subset {\color{red}f_{!}(\pullback{f}(}\pushout{f}(A){\color{red}))}$.
${\color{red}\pushout{f}(\pullback{f}(}f_{!}(A){\color{red}))}\subset f_{!}(A)\subset f_{!}({\color{red}\pullback{f}(\pushout{f}(A))})$.

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$および$A,A'\in\powerset{X}$に対して，次のことが成り立つ．

$f_{!}(A\cap A')=f_{!}(A)\cap f_{!}(A')$.
$f_{!}(A\cup A')\supset f_{!}(A)\cup f_{!}(A')$.
$f_{!}(A\setminus A')=f_{!}(A)\cap f_{!}(X\setminus A')$.

\begin{align*} f_{!}(A\cap A') &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus(A\cap A')) \\ &=Y\setminus\pushout{f}((X\setminus A)\cup (X\setminus A')) \\ &=Y\setminus(\pushout{f}(X\setminus A)\cup\pushout{f}(X\setminus A')) \\ &=(Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A))\cap(Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A')) \\ &=f_{!}(A)\cap f_{!}(A'). \end{align*}
\begin{align*} f_{!}(A\cup A') &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus(A\cup A')) \\ &=Y\setminus\pushout{f}((X\setminus A)\cap (X\setminus A')) \\ &\supset Y\setminus(\pushout{f}(X\setminus A)\cap\pushout{f}(X\setminus A')) \\ &=(Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A))\cup(Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A')) \\ &=f_{!}(A)\cup f_{!}(A'). \end{align*}
$f_{!}(A\setminus A')=f_{!}(A\cap (X\setminus A'))=f_{!}(A)\cap f_{!}(X\setminus A')$.

集合$X,Y,Z$と写像$f:X\to Y$，$g:Y\to Z$に対して，次のことが成り立つ．

$(\id_X)_{!}=\id_{\powerset{X}}$.
$(g\circ f)_{!}=g_{!}\circ f_{!}$.

任意の$A\in\powerset{X}$に対して，次式が成り立つ．
\begin{align*} (\id_X)_{!}(A) &=X\setminus\pushout{\id_X}(X\setminus A) \\ &=X\setminus\id_{\powerset{X}}(X\setminus A) \\ &=X\setminus (X\setminus A) \\ &=A \\ &=\id_{\powerset{X}}(A). \end{align*}
任意の$A\in\powerset{X}$に対して，次式が成り立つ．
\begin{align*} (g\circ f)_{!}(A) &=Z\setminus\pushout{(g\circ f)}(X\setminus A) \\ &=Z\setminus(\pushout{g}\circ\pushout{f})(X\setminus A) \\ &=Z\setminus\pushout{g}(\pushout{f}(X\setminus A)) \\ &=Z\setminus\pushout{g}(Y\setminus f_{!}(A)) \\ &=g_{!}(f_{!}(A)) \\ &=(g_{!}\circ f_{!})(A). \end{align*}

集合$X,Y$と写像$f,g:X\to Y$が$f_{!}=g_{!}$を満たすならば，$f=g$である．

任意の$A\in\powerset{X}$に対して，次式が成り立つ．
\begin{align*} \pushout{f}(A) &=Y\setminus (Y\setminus \pushout{f}(A)) \\ &=Y\setminus (Y\setminus \pushout{f}(X\setminus(X\setminus A))) \\ &=Y\setminus f_{!}(X\setminus A) \\ &=Y\setminus g_{!}(X\setminus A) \\ &=Y\setminus (Y\setminus \pushout{g}(X\setminus(X\setminus A))) \\ &=Y\setminus (Y\setminus \pushout{g}(A)) \\ &=\pushout{g}(A). \end{align*}つまり$\pushout{f}=\pushout{g}$だから，$f=g$を得る．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$に対して，次の3条件は同値である．

$f$は単射である．
$f_{!}$は単射である．
任意の$A\in\powerset{X}$に対して，$\pullback{f}(f_{!}(A))=A$が成り立つ．（つまり$\pullback{f}\circ f_{!}=\id_{\powerset{X}}$である．）

これらの条件が成り立つとき，さらに任意の$A\in\powerset{X}$に対して$f_{!}(A)=\pushout{f}(A)\cup(Y\setminus\pushout{f}(X))$が成り立ち，特に$f_{!}(A)\supset \pushout{f}(A)$である．

(1)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(1) の順で示す．

まず$f$が単射のとき，$\pushout{f}(X\setminus A)=\pushout{f}(X)\setminus\pushout{f}(A)$が成り立つことに注意すれば
\begin{align*} f_{!}(A) &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A) \\ &=Y\setminus(\pushout{f}(X)\setminus\pushout{f}(A)) \\ &=\pushout{f}(A)\cup(Y\setminus\pushout{f}(X)) \end{align*}より$f_{!}(A)=\pushout{f}(A)\cup(Y\setminus\pushout{f}(X))$を得る．

(1)$\Rightarrow$(3)：任意の$A\in\powerset{X}$に対して，次式が成り立つ．
\begin{align*} \pullback{f}(f_{!}(A)) &=\pullback{f}(\pushout{f}(A)\cup(Y\setminus\pushout{f}(X))) \\ &={\color{red}\pullback{f}(\pushout{f}(A))}\cup\pullback{f}(Y\setminus\pushout{f}(X)) \\ &={\color{red}A}\cup(\pullback{f}(Y)\setminus{\color{red}\pullback{f}(\pushout{f}(X))}) \\ &=A\cup(X\setminus{\color{red}X}) \\ &=A\cup\emptyset \\ &=A \\ &=\id_{\powerset{X}}(A). \end{align*}
(3)$\Rightarrow$(2)：$\pullback{f}\circ f_{!}=\id_{\powerset{X}}$の単射性から$f_{!}$の単射性が従う．
(2)$\Rightarrow$(1)：$x,x'\in X$が$f(x)=f(x')$を満たすとする．このとき
\begin{align*} f_{!}(X\setminus\{x\}) &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus(X\setminus\{x\})) \\ &=Y\setminus\pushout{f}(\{x\}) \\ &=Y\setminus\{f(x)\} \\ &=Y\setminus\{f(x')\} \\ &=Y\setminus\pushout{f}(\{x'\}) \\ &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus(X\setminus\{x'\})) \\ &=f_{!}(X\setminus\{x'\}) \end{align*}だから，$f_{!}$の単射性より$X\setminus\{x\}=X\setminus\{x'\}$，つまり$x=x'$を得る．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$に対して，次の4条件は同値である．

$f$は全射である．
$f_{!}$は全射である．
任意の$B\in\powerset{Y}$に対して，$f_{!}(\pullback{f}(B))=B$が成り立つ．（つまり$f_{!}\circ\pullback{f}=\id_{\powerset{Y}}$が成り立つ．）
$f_{!}(\emptyset)=\emptyset$である．

これらの条件が成り立つとき，さらに任意の$A\in\powerset{X}$に対して$f_{!}(A)\subset \pushout{f}(A)$が成り立つ．

(1)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(4)$\Rightarrow$(1) の順で示す．

まず$f$が全射のとき，$\pushout{f}(X)=Y$が成り立つことに注意すれば
\begin{align*} f_{!}(A) &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus A) \\ &\subset Y\setminus(\pushout{f}(X)\setminus\pushout{f}(A)) \\ &=Y\setminus(Y\setminus \pushout{f}(A)) \\ &=\pushout{f}(A) \end{align*}を得る．

(1)$\Rightarrow$(3)：任意の$B\in\powerset{Y}$に対して，次式が成り立つ．
\begin{align*} f_{!}(\pullback{f}(B)) &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus\pullback{f}(B)) \\ &\subset Y\setminus(\pushout{f}(X)\setminus{\color{red}\pushout{f}(\pullback{f}(B))}) \\ &=Y\setminus(Y\setminus{\color{red}B}) \\ &=B \\ &=\id_{\powerset{Y}}(B). \end{align*}
(3)$\Rightarrow$(2)：$f_{!}\circ\pullback{f}=\id_{\powerset{Y}}$の全射性から$f_{!}$の全射性が従う．
(2)$\Rightarrow$(4)：$f_{!}$の全射性より$f_{!}(A)=\emptyset$を満たす$A\in\powerset{X}$が取れる．このとき$\emptyset\subset A$より
\begin{align*} f_{!}(\emptyset)\subset f_{!}(A)=\emptyset. \end{align*}
(4)$\Rightarrow$(1)：一般に$f_{!}(\emptyset)=Y\setminus\pushout{f}(X)$だから
\begin{align*} f_{!}(\emptyset)=\emptyset &\Longrightarrow Y\setminus\pushout{f}(X)=\emptyset \Longrightarrow Y=\pushout{f}(X). \end{align*}

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$に対して，次の2条件は同値である．

$f$は全単射である．
$f_{!}$は全単射である．

これらの条件が成り立つとき，さらに$f_{!}=\pushout{f}$が成り立つ．

前2つの命題より，$f$が全単射のとき任意の$A\in\powerset{X}$に対して$f_{!}(A)=\pushout{f}(A)$が成り立つから$f_{!}=\pushout{f}$を得る．

一般に
$$ A\supset\pullback{f}(B) \iff \pushout{f}(A)\supset B$$は成り立たないということを踏まえて，
$$ A\supset\pullback{f}(B) \iff f_{!}(A)\supset B$$を満たす写像$f_{!}:\powerset{X}\to\powerset{Y}$として余順像を紹介しました．では，
$$ A\supset g(B) \iff \pushout{f}(A)\supset B$$を満たす写像$g:\powerset{Y}\to\powerset{X}$はあるのでしょうか．実は，このような写像$g$は存在しない場合があります．

集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$に対して，次の性質を満たす写像$g:\powerset{Y}\to\powerset{X}$が存在すると仮定する．

$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$について，$A\supset g(B)$と$\pushout{f}(A)\supset B$は同値である．

このとき，任意の$A,A'\in\powerset{X}$に対して$\pushout{f}(A\cap A')=\pushout{f}(A)\cap\pushout{f}(A')$が成り立つ．

$\pushout{f}(A\cap A')\subset\pushout{f}(A)\cap\pushout{f}(A')$は常に成り立つから，逆の包含のみ示す．
$y\in \pushout{f}(A)\cap\pushout{f}(A')$を任意に取ると，$\pushout{f}(A)\supset\{y\}$から$A\supset g(\{y\})$が，$\pushout{f}(A')\supset\{y\}$から$A'\supset g(\{y\})$が得られる．よって$A\cap A'\supset g(\{y\})$となるから，$\pushout{f}(A\cap A')\supset\{y\}$，つまり$y\in\pushout{f}(A\cap A')$を得る．

しかし実際には周知の通り$\pushout{f}(A\cap A')\subsetneqq\pushout{f}(A)\cap\pushout{f}(A')$となり得るので，上のような写像$g$が常に存在するとは限りません．（注：存在することもあります．たとえば$f$が全単射なら$g:=\pullback{f}$と取れば良いです．）

次の性質を満たす写像$g:\powerset{Y}\to\powerset{X}$が存在しないような集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$が存在する．

$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$について，$A\supset g(B)$と$\pushout{f}(A)\supset B$は同値である．

次の性質を満たす写像$h:\powerset{Y}\to\powerset{X}$が存在しないような集合$X,Y$と写像$f:X\to Y$の例を挙げよ．

$A\in\powerset{X}$と$B\in\powerset{Y}$について，$A\subset h(B)$と$f_{!}(A)\subset B$は同値である．

解答例

そのような写像$h$がもしあれば，次の 1, 2, 3, 4 が成り立つ．

任意の$A\in\powerset{X}$に対して，$A\subset h(f_{!}(A))$である．（$\because$ 自明な包含関係$f_{!}(A)\subset f_{!}(A)$と$h$の性質）
任意の$B\in\powerset{Y}$に対して，$f_{!}(h(B))\subset B$である．（$\because$ 自明な包含関係$h(B)\subset h(B)$と$h$の性質）
$B\subset B'$を満たす任意の$B,B'\in\powerset{Y}$に対して，$h(B)\subset h(B')$である．（$\because$ $f_{!}(h(B))\subset B\subset B'$と$h$の性質）
任意の$A,A'\in\powerset{X}$に対して，$f_{!}(A\cup A')\subset f_{!}(A)\cup f_{!}(A')$である．（$\because$ 1, 3 より
$$ \left.\begin{array}{r}A\subset h(f_{!}(A))\\A'\subset h(f_{!}(A'))\end{array}\right\}\subset h(f_{!}(A)\cup f_{!}(A'))$$が成り立つから$A\cup A'\subset h(f_{!}(A)\cup f_{!}(A'))$となり，$h$の性質より$f_{!}(A\cup A')\subset f_{!}(A)\cup f_{!}(A')$を得る．）

しかし実際には 4 は成り立たない場合がある．たとえば$X=\{0,1\}$，$Y=\{2\}$，$f:X\ni x\mapsto 2\in Y$のとき
\begin{align*} f_{!}(\{0\}\cup\{1\}) &=f_{!}(X) \\ &=Y\setminus\pushout{f}(X\setminus X) \\ &=Y\setminus\pushout{f}(\emptyset) \\ &=Y\setminus\emptyset \\ &=Y, \\ f_{!}(\{0\})\cup f_{!}(\{1\}) &=(Y\setminus\pushout{f}(X\setminus\{0\}))\cup(Y\setminus\pushout{f}(X\setminus\{1\})) \\ &=(Y\setminus\pushout{f}(\{1\}))\cup(Y\setminus\pushout{f}(\{0\})) \\ &=(Y\setminus\{2\})\cup(Y\setminus\{2\}) \\ &=\emptyset\cup\emptyset \\ &=\emptyset \end{align*}だから$f_{!}(\{0\}\cup\{1\})\supsetneqq f_{!}(\{0\})\cup f_{!}(\{1\})$である．したがって，この$X,Y,f$に対して問題文の性質を満たす写像$h$は存在し得ない．

誤りや改善点などあればご指摘いただけると幸いです．
改めまして，ここまで読んでいただきありがとうございました．