マルコフ圏，条件付き期待値（メモ）
$\C$をマルコフ圏とする．
条件付き期待値
$R\in\C$は次をみたすときregularであるという:
任意の$X\in\C$と任意の$\psi\colon I\to R\otimes X$に対し，conditional distribution $\psi_{|X}\colon X\to R$(F, Definition 11.1)が存在する．
$R\in\C$をregular objectとし，$X\in\C$, $\mu\colon I\to X$とする．任意の$Y\in\C$と$\varphi\colon X\to Y$および$f\colon X\to R$に対し，$E^\varphi(f)\colon Y\to R$を以下のように定める:
$E^\varphi(f)$はmodulo$\varphi\mu$-a.s.(F, Definition 13.1)で定まる．また，$\mu$-a.s.で等しい$\varphi,\varphi'\colon X\to Y$および$f,f'\colon X\to R$に対して$\varphi\mu$-a.s.で$E^\varphi(f)=E^{\varphi'}(f')$である．
$\varphi\colon X\to Y$, $\psi\colon Y \to Z$に対し，$E^{\psi\varphi}(f)=E^\psi(E^\varphi(f))$ ($\psi\varphi\mu$-a.s.) である．
以下$\C$はcausal(F, Definition 11.31)とする．このとき$\C$の確率空間の圏$\ProbStoch(\C)$ (F, Definition 13.8)が定義される．
regular object $R\in\C$と$(X,\mu)\in\ProbStoch(\C)$に対し，$E(X,\mu)=E_R(X,\mu):=\C(X,R)/\mu$とおく($/\mu$はmodulo $\mu$-a.s. equalとする)．$E$は関手$\ProbStoch(\C)\to\mathsf{Set}$を定める．
regular objectsの部分圏
明らかに$I\in\C$はregularである．$\Reg(\C)$で$\C$のregular objectsからなる部分圏を表す．
$R,S\in\Reg(\C)\Rightarrow R\otimes S\in\Reg(\C)$.
$\psi\colon I\to R\otimes X$がconditional distributionを持つことは，$\psi$ displays the conditional independence $I\perp'R\mid X$ ($\perp'$は縦棒が二本のやつの代わり，出し方わかんない，F, Definition 12.19) と同値であるから，補題はF, Proposition 12.20 (b) から直ちに従う．記事の証明は$A=I$の場合に書き直しただけである．
補題から，$\Reg(\C)$はマルコフ圏であって，またconditional distributionを持つ．
$(X,\mu)\in\ProbStoch(\C)$とする．$\Reg(\C)$の射$\theta\colon R\to S$はpost-compositionによって写像$\theta_{X,\mu}\colon E_R(X,\mu)\to E_S(X,\mu)$を定める．この対応によって関手$\Reg(\C)\to\mathsf{Set}$が定まる．
$\ProbStoch(\C)$の射$\varphi\colon(X,\mu)\to(Y,\nu)$および$\Reg(\C)$の射$\theta\colon R\to S$に対し，下図は可換である:
\begin{xy}\xymatrix{
E_R(X,\mu) \ar[r]^{\theta_{X,\mu}} \ar[d]_{E_R^\varphi} & E_S(X,\mu) \ar[d]^{E_S^\varphi}\\
E_R(Y,\nu) \ar[r]_{\theta_{Y,\nu}} & E_S(Y,\nu).\\
}\end{xy}
よって双関手$E\colon \Reg(\C)\times\ProbStoch(\C)\to\mathsf{Set}$を得る．
$\Stoch$における条件付き期待値
$\Stoch$を可測空間とマルコフ核のなすマルコフ圏とする．$[2]=\setex{0,1}\in\Stoch$を離散可測空間とする．$X\in\Stoch$に対し，射$f\colon X\to[2]$は，$f\mapsto f(\setex{1}\mid\mathchar`-)$により可測写像$X\to[0,1]$と1対1に対応する．
$[2]$はregularである．
より一般にstandard Borel(ポーランド空間の定めるボレル可測空間)はregularであるが一応証明する．
任意の可測空間$X$と$\mu\colon I\to[2]\otimes X$をとる．$\mu_i=\mu(\setex{i},\mathchar`-)$, $i=0,1$, とおき，$\mu$の周辺化を$\bar\mu=\mu_0+\mu_1$とおく．$\mu_i\ll\bar\mu$であるから，Radon-Nikodymにより$\mu_i=f_i\bar\mu$なる$X$上の非負値可測写像が存在する．$\bar\mu=(f_0+f_1)\bar\mu$であるから$\bar\mu$-a.s.で$f_0+f_1=1$である．よって$\Stoch$の射$f\colon X\to[2]$が$f(\setex{i}\mid x)=f_i(x)$ ($\bar\mu$-a.s.) によって定まる．($f_0(x)+f_1(x)\neq1$なる$x$については適当に値を置き換えればよい．) $f$は$\mu$のconditional distributionである．
$(X,\Sigma_X,\mu)$を確率空間，$\mathcal{F}\subset\Sigma_X$をsub$\sigma$-algebraとし，$\varphi$を可測写像$(X,\Sigma_X)\ni x\mapsto x\in(X,\mathcal{F})$に対応するマルコフ核とする．$\Stoch$の射$f\colon(X,\Sigma_X)\to[2]$に対し，$E^\varphi(f)$は通常の条件付き期待値$\mathbb{E}[f\mid\mathcal{F}]$に一致する(記号を濫用して$\Stoch$の射$X\to[2]$と可測写像$X\to[0,1]$を同一視している)．
