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マルコフ圏，条件付き期待値（メモ）

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$C$ をマルコフ圏とする．

条件付き期待値

$R \in C$ は次をみたすときregularであるという:
任意の $X \in C$ と任意の $ψ : I \to R \otimes X$ に対し，conditional distribution $ψ_{| X} : X \to R$ (F, Definition 11.1)が存在する．

$R \in C$ をregular objectとし， $X \in C$ , $μ : I \to X$ とする．任意の $Y \in C$ と $φ : X \to Y$ および $f : X \to R$ に対し， $E^{φ} (f) : Y \to R$ を以下のように定める:

$E^{φ} (f)$ はmodulo $φ μ$ -a.s.(F, Definition 13.1)で定まる．また， $μ$ -a.s.で等しい $φ, φ^{'} : X \to Y$ および $f, f^{'} : X \to R$ に対して $φ μ$ -a.s.で $E^{φ} (f) = E^{φ^{'}} (f^{'})$ である．

(tower property)

$φ : X \to Y$ , $ψ : Y \to Z$ に対し， $E^{ψ φ} (f) = E^{ψ} (E^{φ} (f))$ ( $ψ φ μ$ -a.s.) である．

以下 $C$ はcausal(F, Definition 11.31)とする．このとき $C$ の確率空間の圏 $ProbStoch (C)$ (F, Definition 13.8)が定義される．
regular object $R \in C$ と $(X, μ) \in ProbStoch (C)$ に対し， $E (X, μ) = E_{R} (X, μ) := C (X, R) / μ$ とおく( $/ μ$ はmodulo $μ$ -a.s. equalとする)． $E$ は関手 $ProbStoch (C) \to Set$ を定める．

regular objectsの部分圏

明らかに $I \in C$ はregularである． $Reg (C)$ で $C$ のregular objectsからなる部分圏を表す．

$R, S \in Reg (C) \Rightarrow R \otimes S \in Reg (C)$ .

$ψ : I \to R \otimes X$ がconditional distributionを持つことは， $ψ$ displays the conditional independence $I ⊥^{'} R ∣ X$ ( $⊥^{'}$ は縦棒が二本のやつの代わり，出し方わかんない，F, Definition 12.19) と同値であるから，補題はF, Proposition 12.20 (b) から直ちに従う．記事の証明は $A = I$ の場合に書き直しただけである．
補題から， $Reg (C)$ はマルコフ圏であって，またconditional distributionを持つ．
$(X, μ) \in ProbStoch (C)$ とする． $Reg (C)$ の射 $θ : R \to S$ はpost-compositionによって写像 $θ_{X, μ} : E_{R} (X, μ) \to E_{S} (X, μ)$ を定める．この対応によって関手 $Reg (C) \to Set$ が定まる．

$ProbStoch (C)$ の射 $φ : (X, μ) \to (Y, ν)$ および $Reg (C)$ の射 $θ : R \to S$ に対し，下図は可換である:
$E_{R} (X, μ) θ_{X, μ} E_{R}^{φ} E_{S} (X, μ) E_{S}^{φ} E_{R} (Y, ν) θ_{Y, ν} E_{S} (Y, ν) .$

よって双関手 $E : Reg (C) \times ProbStoch (C) \to Set$ を得る．

$Stoch$ における条件付き期待値

$Stoch$ を可測空間とマルコフ核のなすマルコフ圏とする． $[2] = {0, 1} \in Stoch$ を離散可測空間とする． $X \in Stoch$ に対し，射 $f : X \to [2]$ は， $f \mapsto f ({1} ∣ \mathchar ‘ -)$ により可測写像 $X \to [0, 1]$ と1対1に対応する．

$[2]$ はregularである．

より一般にstandard Borel(ポーランド空間の定めるボレル可測空間)はregularであるが一応証明する．

任意の可測空間 $X$ と $μ : I \to [2] \otimes X$ をとる． $μ_{i} = μ ({i}, \mathchar ‘ -)$ , $i = 0, 1$ , とおき， $μ$ の周辺化を $\bar{μ} = μ_{0} + μ_{1}$ とおく． $μ_{i} ≪ \bar{μ}$ であるから，Radon-Nikodymにより $μ_{i} = f_{i} \bar{μ}$ なる $X$ 上の非負値可測写像が存在する． $\bar{μ} = (f_{0} + f_{1}) \bar{μ}$ であるから $\bar{μ}$ -a.s.で $f_{0} + f_{1} = 1$ である．よって $Stoch$ の射 $f : X \to [2]$ が $f ({i} ∣ x) = f_{i} (x)$ ( $\bar{μ}$ -a.s.) によって定まる．( $f_{0} (x) + f_{1} (x) \neq 1$ なる $x$ については適当に値を置き換えればよい．) $f$ は $μ$ のconditional distributionである．

$(X, Σ_{X}, μ)$ を確率空間， $F \subset Σ_{X}$ をsub $σ$ -algebraとし， $φ$ を可測写像 $(X, Σ_{X}) ∋ x \mapsto x \in (X, F)$ に対応するマルコフ核とする． $Stoch$ の射 $f : (X, Σ_{X}) \to [2]$ に対し， $E^{φ} (f)$ は通常の条件付き期待値 $E [f ∣ F]$ に一致する(記号を濫用して $Stoch$ の射 $X \to [2]$ と可測写像 $X \to [0, 1]$ を同一視している)．