直積に入れる位相について

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はじめに

最近位相空間論を勉強していて気付いたことがあったので記録に残しておく。前提知識として、位相空間、開基、準開基、直積、直積位相の定義を必要とする。この記事では mathpedia 入門テキスト「位相空間論」を参考にしている。直積位相は、任意の射影が連続となる最小の位相であり、各直積因子の開集合の、対応する射影の逆像全体からなる集合を準開基として生成される位相である。この定義における「開集合」の部分を、「準開基の元」に変えても同様な議論をして位相を定めることができ、しかもこの位相は直積位相に一致することを示す。添え字集合は空でないものとする。

準備

$(X, O_{X}), (Y, O_{Y})$ を位相空間、 $S$ を $(Y, O_{Y})$ の準開基、 $f : (X, O_{X}) \to (Y, O_{Y})$ を写像とする。このとき次が成り立つ。
$f$ は連続写像 $⟺$ $\forall S \in S, f^{- 1} (S) \in O_{X}$

mathpedia 位相空間論5:連続写像命題5.15にある。

$(X, O), (X, O^{'})$ を位相空間、 $S$ を $(X, O)$ の準開基とする。このとき
$S \subset O^{'} ⟹ O \subset O^{'}$

mathpedia 位相空間論3:開基注意3.17にある。

$S_{i}$ は位相空間 $(X, O_{i})$ の準開基とする $(i = 1, 2)$ 。このとき
$S_{1} \subset S_{2} ⟹ O_{1} \subset O_{2}$

$S_{1} \subset S_{2} \subset O_{2}$ と命題2より分かる。

主張

$(X_{λ}, O_{λ})$ を位相空間、 $(\prod_{λ \in Λ} X_{λ}, O)$ を直積位相、 $S_{λ}$ を $(X_{λ}, O_{λ})$ の準開基、 $λ \in Λ$ に対し $p_{λ} : \prod_{μ \in Λ} X_{μ} \to X_{λ}$ とする。このとき $S^{'} = {p_{λ}^{- 1} (S_{λ}) | S_{λ} \in S_{λ}}$ は $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ の準開基となり、 $(\prod_{λ \in Λ} X_{λ}, O^{'})$ を $S$ を準開基とする位相空間とすれば $O^{'} = O$ が成り立つ。

まず $S^{'}$ が $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ の準開基となることを示す。そのために任意に $x \in \prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ をとる。 $Λ \neq \emptyset$ より $λ \in Λ$ をとると $p_{λ} (x) \in X_{λ}$ であり、 $S_{λ}$ が $(X_{λ}, O_{λ})$ の準開基であることから $p_{λ} (x) \in S_{λ}$ となる $S_{λ} \in S_{λ}$ が存在する。このとき $x \in p_{λ}^{- 1} (S_{λ})$ となり $S^{'}$ は $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ の準開基である。
次に $O^{'} = O$ を示す。直積位相の定義より $S = {p_{λ}^{- 1} (U_{λ}) | U_{λ} \in O_{λ}}$ とおけばこれは $(\prod_{λ \in Λ} X_{λ}, O)$ の準開基である。また、準開基の定義より $S_{λ} \subset O_{λ}$ であるから $S^{'} \subset S$ となり、命題3より $O^{'} \subset O$ が成り立つ。あとは $O \subset O^{'}$ だが、命題2より $S \subset O^{'}$ を示せば十分であり、これは、任意の $λ \in Λ$ に対し射影 $p_{λ} : (\prod_{μ \in Λ} X_{μ}, O^{'}) \to (X_{λ}, O_{λ})$ が連続であることと同値である。これは命題1より $\forall λ \in Λ, \forall S_{λ} \in S_{λ}, p_{λ}^{- 1} (S_{λ}) \in O^{'}$ と同値であるが、 $S^{'} \subset O^{'}$ より明らかに成り立つ。以上で題意が示された。 $◻$