距離空間における被覆のプチ命題

記号の定義
・「点$p$を中心とする半径$r$のボール」:$r\in \mathbb{R},p\in X$について、$B_r(p):=\{x\in X|d(x,p)<r\}$

距離空間 プチ命題1
・どんな$p\in X$についても、${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)=X}$である。

距離空間 プチ命題1 証明
${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)\subseteq X}$かつ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)\supseteq X}$を示せば良い。
(i) ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)\subseteq X}$は$\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},B_i(p)\subseteq X$が成り立つので、集合論プチ命題1より成り立つ。
(ii) ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)\supseteq X}$を示す。その為には$x\in X$ならば$x\in {\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)}$を示せば良い。
$x\in X$とすると$d(x,p)<N$を満たす自然数$N$を取れる。
すると$x\in B_N(p)$。よって「ある$N\in \mathbb{N}$が存在して$x\in B_N(p)$」が成立するので、${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}}$の定義より${\displaystyle x\in \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)}$
よって、(i)(ii)を合わせて${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_i(p)=X}$ $◻$