距離空間における被覆のプチ命題

記号の定義
・「点$p$を中心とする半径$r$のボール」:$r\in \mathbb{R},p\in X$について、$ B_r(p):=\{x\in X\ |\ d(x,p)< r\}$

距離空間 プチ命題1
・どんな$p\in X$についても、$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) = X$である。

距離空間 プチ命題1 証明
$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) \subseteq X$かつ$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) \supseteq X$を示せば良い。
(i) $\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) \subseteq X$は$\forall i \in \mathbb{N},B_i(p) \subseteq X$が成り立つので、集合論プチ命題1より成り立つ。
(ii) $\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) \supseteq X$を示す。その為には$x\in X$ならば$x\in \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) $を示せば良い。
$x\in X$とすると$d(x,p) \lt N$を満たす自然数$N$を取れる。
すると$ x \in B_N(p)$。よって「ある$N\in \mathbb{N}$が存在して$ x \in B_N(p)$」が成立するので、$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}$の定義より$\displaystyle x \in \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) $
よって、(i)(ii)を合わせて$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i(p) = X$ $\square $