商写像の制限が商写像になる条件とならない反例

$X, Y$ を位相空間とし，$f: X→Y$ は連続全射で open map とする.
$f$ が商写像であることを示すには，$B \subset Y$ に対して $B: \text{open} \Leftrightarrow f^{-1}(B): \text{open}$ を示せばよい．

$\Rightarrow$ は $f$ の連続性から従う．
$\Leftarrow$ は $f^{-1}(B)$ が open なら $B=f(f^{-1}(B))$ も ($f$ が open map だから) open となり従う．

後半の主張は，今の証明中の open を全て closed に変えると得られる．

上から1番目を証明する.
$g: A \to f(A)$ は連続全射なので，$B\subset f(A)$ に対し $g^{-1}(B)$ が $A$ の開集合とするとき，$B$ が $f(A)$ の開集合となることを示せば十分 (逆は連続性より明らか)．
$g^{-1}(B)$ は $A$ の開集合で $A$ は $X$ の開集合だから，$g^{-1}(B)$ は $X$ の開集合でもある．
ここで $g^{-1}(B) = \{a \in A: f(a)\in B\} =f^{-1}(B) \cap A$ だが，$A$ が saturated なので $B \subset f(A)$ から $f^{-1}(B) \subset f^{-1}(f(A))=A$ が得られ，結局 $g^{-1}(B) = f^{-1}(B)$ となる．
この $g^{-1}(B) = f^{-1}(B)$ は $X$ の開集合だったから，$f$ が商写像なので $B$ は $Y$ の開集合となり，$B \subset f(A) $ より $B$ は $f(A)$ の開集合でもある．よって示された．

上から2番目を証明する.
$g: A \to f(A)$ は連続全射なので，直前の補題から $g$ が open map であることを示せばよい．$A$ の開集合 $C$ をとると，ある $X$ の開集合 $U$ により $C=A\cap U$ とかける．$A$ は saturated なので $f(C)=f(A\cap U) = f(A) \cap f(U)$ となる ($\subset$ は明らか， $\supset$ は $f(u) \in f(A), u \in U$ のとき $u\in f^{-1}(f(A))=A$ より $f(u)\in f(A \cap U)$ となって示される) ．
$f$ は open map なので $f(U)$ は $Y$ の開集合だから，$f(C)= f(A) \cap f(U)$ により $f(C)$ は $f(A)$ の開集合となる．よって示された．

上から3番目を証明する.
$g: A \to f(A)$ は連続全射なので，直前の補題から $g$ が open map であることを示せばよい．$A$ の開集合 $U$ をとると，$A$ が $X$ の開集合だから $U$ は $X$ の開集合でもある．$f$ は open map なので $f(U)=g(U) $ は $Y$ の開集合．$g(U) \subset f(A) $ より $g(U)$ は $f(A)$ の開集合でもある．よって示された．
上から4, 5, 6番目の主張は，今の証明中の open (開) を全て closed (閉) に変えると得られる．

対偶命題「全単射な商写像は同相」を示せばよいが，これは商写像の定義を見れば明らか．

前半を示す．像を取る操作は和集合を取る操作と可換なので，$X\times Y$ の開基の元 $U \times V$ について $p(U\times V)$ が開であることを示せばよいが，$p(U\times V)=U \text{ または } \emptyset$ なので明らか．

後半を示す．$F \subset X \times K$ を閉集合とする．$p(F)^c$ が開集合であることを示せばよい (補集合を$^c$で表す)．$x \in p(F)^c$ をとる．任意の $k \in K$ に対して $(x, k) \notin F$ なので，ある開集合 $U_k, V_k$ により $(x, k) \subset U_k \times V_k \subset (X \times K) \subset F^c$ とできる．
$K=\bigcup_{k\in K} V_k$ より，$K$ のコンパクト性からある $k_1, ..k_n$ があって $K=\bigcup_{i} V_{k_i}$ とできる．$U=\bigcap_{i} U_{k_i}$ とおくとこれは開集合で，$U \times K \subset F^c$ が成り立つ．ゆえに $x \in U \subset p(F)^c $ となり，$x$ は $p(F)^c$ の内点．よって $p(F)^c$ は開集合．

各々の反例を構成する．なお，特に断らなければ $\mathbb{R}$ や $[0, 1]$ などには通常の位相を入れるものとする．

1. 集合として $Y=\mathbb{Q} \cup \{ \infty \}$ とおき，$Y$ に写像 $f: \mathbb{R} \to Y, f(x)=\begin{cases} x & (x \in \mathbb{Q}) \\ \infty & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$ による商位相をいれる．$X=\mathbb{R}, A=\mathbb{Q}\subset X$ とおくと $A$ は $f$ について saturated．$g: A \to f(A)$ は全単射なので，補題3から $A$ と $f(A)$ が同相でないことを示せばよい．
   $Y$に密着位相が入っていることを示す (特に $f(A)$ も密着位相で，$A$ と同相でない)．$U \subset Y$ を空でない開集合とする．空でない開集合 $f^{-1}(U) \subset \mathbb{R}$ は $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ の点を1つは含むから $\infty \in U$．ゆえに $f^{-1}(U)$ は $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ の点を全て含み，$f^{-1}(U)=\mathbb{R}$ となる．よって $U=\mathbb{R}$ となり$Y$は密着位相．
2. $X = [0,1]$ とし，$0$と$1$を同一視する同値関係 $\sim$ で割った $X$ の商空間を $Y=X/\sim$ とおく．$f: X \to Y$ を自然な商写像とする．$X$ はコンパクト，$Y$ はハウスドルフなので $f$ は closed map．$A = [0,1) \subset X$ とおくと，これは開集合．
   このとき $f(A) = Y$ で，$g: A \to Y$ は全単射なので，補題3から $A$と$Y$が同相でないことを示せばよいが，$A$ はコンパクトでなく $Y$ はコンパクトなので同相でない．
3. $X=\mathbb{R}^2, Y=\mathbb{R}$ とし，$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\ f(x, y)=x$ とおく．$f$ は直積空間の射影なので，直前の補題より open map (特に補題1より商写像)．
   $A=\{(x, 0): x\leq0\}\cup\{(x, 1/x): x>0\}$ とおくと $A$ は $\mathbb{R}^2$ の閉集合．$f(A) = \mathbb{R}$ であり $g: A \to \mathbb{R}$ は全単射なので，補題3から $A$ と $\mathbb{R}$ が同相でないことを示せばよいが，$A$ は非連結で $\mathbb{R}$ は連結なので同相でない．
4. $X=[0, 1) \cup [2, 3]$ とし，集合として $Y=[0, 1)$ とおく．写像 $f: X \to Y, f(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x < 1) \\ x-2 & (2 \leq x < 3) \\ 0 & (x=3) \end{cases}$ と定め，$f$ による商位相を $Y$ に入れる．
   $A=[0, 1) \subset X$ とおくとこれは開かつ閉で，$f(A)=Y$ となり $g: A \to Y $ は全単射．ゆえに補題3から $A$ と $Y$ が同相でないことを示せばよいが，$A$ はコンパクトでなく $Y$ はコンパクト ($\because$ $Y=f([2, 3])$: コンパクトの連続像) なので同相でない．
5. $X=\mathbb{R}\times [0, 1], Y=\mathbb{R}$ とし，$f: \mathbb{R}\times [0, 1] \to \mathbb{R},\ f(x, y)=x$ とおく．$f$ はコンパクトを潰す直積空間の射影なので，直前の補題より open map かつ closed map (特に補題1より商写像)．
   $A=\{(x, 0): x\leq0\}\cup\{(x, 1): x>0\}$ とおく．$f(A) = \mathbb{R}$ であり $g: A \to \mathbb{R}$ は全単射なので，補題3から $A$ と $\mathbb{R}$ が同相でないことを示せばよいが，$A$ は非連結で $\mathbb{R}$ は連結なので同相でない．