ここでは東大数理の修士課程の院試の2013B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
写像f:R2→R3をf(u,v)=(vcosu,vsinu,eu)で定義する。ここでfの像をSとおく。曲面S上の滑らかな曲線γ(t)が漸近曲線であるとは、任意のtに対してベクトルγ″(t)がSに接していることを指す。(1) 関数u(t),v(t)を用いてf(u(t),v(t))と表されるS上の滑らかな曲線が漸近曲線であるための必要充分条件をu,vに関する微分方程式で表しなさい。(2) 任意のp∈Sについて、pを通る2つの漸近曲線で、pに於ける速度ベクトルが互いに一次独立であるようなものが存在することを示せ。またp=(1,0,1)についてこのような曲線を求めなさい。
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