定数係数2階線形同次微分方程式$ay''+by'+cy=0$の導入学習

問１．次の(1)$\sim$(3)を確かめよ.
(1) 関数$y=e^{-2x}$,$y=e^{\frac{x}{3}}$は共に$3y''+5y'-2y=0$をみたす.
(2) 関数 $y=e^{\frac{x}{\sqrt3}}$,$y=xe^{\frac{x}{\sqrt3}}$は共に$3y''-2\sqrt3y'+y=0$をみたす.
(3) 関数$y=e^{-\frac{x}{2}}\sin\dfrac{\sqrt3}{2}x$,$y=e^{-\frac{x}{2}}\cos\dfrac{\sqrt3}{2}x$は共に$y''+y'+y=0$
をみたす.

問２．微分方程式 $ay''+by'+cy=0 \cdots\text{(i)}$ に対してその係数を用いて作った2次方程式 $at^2+bt+c=0\cdots\text{(ii)}$ を$\text{(i)}$の特性方程式と呼ぶ.（ただし$a$,$b$,$c$は実数とする.）このとき次の(1)$\sim$(3)を確かめよ.
(1)$\text{(ii)}$が異なる２つの実数解$t=\alpha,\; \beta$を持つとき$y=e^{\alpha x}$,$y=e^{\beta x}$は共に$\text{(i)}$をみたす.
(2)$\text{(ii)}$が２重解$t=\alpha$を持つとき$y=e^{\alpha x}$,$y=xe^{\alpha x}$は共に$\text{(i)}$をみたす.
(3)$\text{(ii)}$が虚数解$t=\lambda\pm i\mu$を持つとき$y=e^{\lambda x}\sin{\mu x}$,$y=e^{\lambda x}\cos{\mu x}$は共に$\text{(i)}$をみたす.