定数係数2階線形同次微分方程式$ay''+by'+cy=0$の導入学習

問１．次の(1)$\sim$(3)を確かめよ.
(1) 関数$y=e^{-2x}$,$y=e^{\frac{x}{3}}$は共に$3y^{″}+5y^{\prime }-2y=0$をみたす.
(2) 関数 $y=e^{\frac{x}{\sqrt{3}}}$,$y=x{e}^{\frac{x}{\sqrt{3}}}$は共に$3y^{″}-2\sqrt{3}{y}^{\prime }+y=0$をみたす.
(3) 関数$y=e^{-\frac{x}{2}}\sin {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x$,$y=e^{-\frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x$は共に$y^{″}+y^{\prime }+y=0$
をみたす.

問２．微分方程式 $a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0\cdots \text{(i)}$ に対してその係数を用いて作った2次方程式 $a{t}^2+bt+c=0\cdots \text{(ii)}$ を$\text{(i)}$の特性方程式と呼ぶ.（ただし$a$,$b$,$c$は実数とする.）このとき次の(1)$\sim$(3)を確かめよ.
(1)$\text{(ii)}$が異なる２つの実数解$t=\alpha ,\beta$を持つとき$y=e^{\alpha x}$,$y=e^{\beta x}$は共に$\text{(i)}$をみたす.
(2)$\text{(ii)}$が２重解$t=\alpha$を持つとき$y=e^{\alpha x}$,$y=x{e}^{\alpha x}$は共に$\text{(i)}$をみたす.
(3)$\text{(ii)}$が虚数解$t=\lambda \pm i\mu$を持つとき$y=e^{\lambda x}\sin \mu x$,$y=e^{\lambda x}\cos \mu x$は共に$\text{(i)}$をみたす.