二変数関数の極値の判定法

一変数関数において極値が求められたように、二変数関数においても極値を考えることができる。

極値をとりうる点

関数$z=f(x,y)$を考える。
$z=f(x,y)$が$C^1$関数であるとき、$z=f(x,y)$が点$(a,b)$で極値をとるならば、
$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$
が成り立つ。
極値をとりうる点は連立方程式　$f_x(x,y)=0$ $f_y(x,y)=0$　を解くことで求めることができる。
ただしこれらの点は極値をとりうるだけであって、必ずとるわけではない。

どのようにして極値をとるかどうか判定するか

求めた点が極値をとるかどうか判定する方法を考える。
$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$を満たす点$(a,b)$のまわりの$f_x(x,y)$($f_x$は$C^2関数$)の値を調べるために、$h^2+k^2=1$を満たす定数$h,k$（すなわち$h,k$は$sin\theta$と$cos\theta$の関係にある）に対して、$z(t)=f(a+ht,b+kt)$とおく。
$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$であるとき、
$\begin{array}{rcl}{z}^{\prime }(t)& =& f_x(a+ht,b+kt)\frac{dx}{dt}+f_y(a+ht,b+kt)\frac{dy}{dt}\\ z^{\prime }(0)& =& f_x(a,b)h+f_y(a,b)k=0\end{array}$
である。$z(t)$にマクローリンの定理を適用すると $(0<c<x)$
$\begin{array}{rcl}z(t)& =& z(0)+\frac{z^{\prime }(0)}{1!}t+\frac{z^{″}(0)}{2!}{t}^2+\frac{z^{‴}(c)}{3!}{t}^3\\ z(t)-z(0)& =& \frac{z^{″}(0)}{2!}{t}^2+\frac{z^{‴}(c)}{3!}{t}^3\\ f(a+ht,b+kt)-f(a,b)& =& t^2(\frac{z^{″}(0)}{2}+\frac{z^{‴}(c)}{6}t)\end{array}$
となる。
ここで、$h,k$の値によらず$z^{″}(0)>0$が成り立てば、$|t|(t\ne 0)$を十分小さくとれば$t^3$の項は無視できるので、
$f(a+ht,b+kt)-f(a,b)>0$
が成り立つ。すなわち、$z=f(x,y)$は$(a,b)$で極小値をとる。
同様に任意の$h,k$に対して$z^{″}(0)<0$ならば、$(a,b)$で極大値をとる。
また、$h,k$の値によって$z^{″}(0)$の符号が変化するならば、極値をとらない。
これらのことから、$z^{″}(0)$の符号を調べれば$z=f(x,y)$は$(a,b)$で極値をとるかどうかを判定することができる。

判定法導出

ここで、$A=f_{xx}(a,b)$ , $B=f_{xy}(a,b)$ , $C=f_{yy}(a,b)$とおけば、
$\begin{array}{rcl}{z}^{″}(0)& =& f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2\\ & =& A{h}^2+2Bhk+C{k}^2\end{array}$
である。
（１）$A\ne 0$のとき、
$$$\begin{array}{rcl}{z}^{″}(0)& =& A{h}^2+2Bhk+C{k}^2\\ & =& A(h^2+\frac{2B}{A}hk+\frac{C}{A}{k}^2)\\ & =& A((h+\frac{B}{A}k{)}^2-(\frac{B}{A}k{)}^2+\frac{C}{A}{k}^2)\\ & =& A((h+\frac{B}{A}k{)}^2-\frac{AC-B^2}{A^2}{k}^2)\end{array}$
$$となる。$H(a,b)=AC-B^2$（これをヘシアンという）とおくと以下が成り立つ。
①$H(a,b)=AC-B^2>0$のとき
$$・$A>0$ならば、任意の$h,k$にたいして$z^{″}(0)>0$となるから極小である。
$$・$A<0$ならば、任意の$h,k$にたいして$z^{″}(0)<0$となるから極大である。
②$H(a,b)=AC-B^2<0$のとき
$$$h,k$の値によって$z^{″}(0)$の符号が変化するので、極値はとらない。
③$H(a,b)=AC-B^2=0$のとき
$$個々の関数によって極値の有無が異なる。そのため判断できない。
（２）$A=0$のとき
$$$z^{″}(0)=(2Bh+Ck)k$
$$となる。
①$B\ne 0$の時、$z^{″}(0)$の値は$h,k$によるので極値ではなく、ヘシアンに代入してみても$H(a,b)<0$である。
②$B=0$の時、極値かどうかは判断できない。ヘシアンに代入してみても$H(a,b)=0$である。
以上より以下のことが成り立つ。

まとめ

関数$z=f(x,y)$が
$$$$$C^2$級$$かつ$$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$
を満たすとき、$A=f_{xx}(a,b)$ , $B=f_{xy}(a,b)$ , $C=f_{yy}(a,b)$とおけば、次が成り立つ。
（ただし$H(y,x)=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$である。）
①$H(a,b)=AC-B^2>0$のとき
$$・$A>0$ならば、$z=f(x,y)$は点$(a,b)$で極小値をとる。
$$・$A<0$ならば、$z=f(x,y)$は点$(a,b)$で極大値をとる。
②$H(a,b)=AC-B^2<0$のとき
$$$z=f(x,y)$は点$(a,b)$で極値をとらない。
③$H(a,b)=AC-B^2=0$のとき
$$この方法では判別不可