積分botさんの積分解説5 ∫[0,∞]((x-1)/(log^2x)-1/logx)/(x^2+1)dx

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この記事では, 積分botさんのツイートされていた 以下の積分 の解説を書こうと思います.
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なんか面白いなと思いました.
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(証明)

$$\beq &&\int_0^\infty\left(\frac{x-1}{\ln^2x}-\frac{1}{\ln x}\right)\frac{dx}{x^2+1}\\[5pt] &=&\int_0^\infty\int_0^1\frac{x^t-1}{\ln x}\,dt\frac{dx}{1+x^2}\\[5pt] &=&\int_0^\infty\int_0^1\int_0^t\frac{x^s}{1+x^2}\,dsdtdx\\[5pt] &=&\frac12\int_0^1\int_0^t\int_0^\infty\frac{x^{\frac{s-1}2}}{1+x}\,dxdsdt\\[5pt] &=&\frac12\int_0^1\int_0^tB\left(\frac{1+s}2,\frac{1-s}2\right)\,dsdt\\[5pt] &=&\frac12\int_0^1\int_0^t\frac{\pi}{\cos\frac{\pi s}2}\,dsdt\\[5pt] &=&\frac\pi2\int_0^1\frac{1-t}{\cos\frac{\pi s}{2}}\,dt\\[5pt] &=&\frac{2}{\pi}\int_0^{\hp}\frac{t}{\sin t}\,dt\\[5pt] &=&\frac{4\b(s)}{\pi} \eeq$$

示すことができました. ただし, 6行目から7行目の変形は部分積分によります.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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※ 6行目から7行目の具体的な式変形

$$\beq &&\int_0^1\int_0^t\frac{1}{\cos\frac{\pi s}2}\,dsdt\\[5pt] &=&-\int_0^1(1-t)'\int_0^t\frac{1}{\cos\frac{\pi s}2}\,ds\,dt\\[5pt] &=&-\left[(1-t)\int_0^t\frac{1}{\cos\frac{\pi s}2}\,ds\right]_0^1 \\[5pt] &&\hspace{40pt}+\int_0^1(1-t)\left(\int_0^t\frac{1}{\cos\frac{\pi s}2}\,ds\right)'\,dt\\[5pt] &=&\int_0^1\frac{1-t}{\cos\frac{\pi s}2}\,dt \eeq$$

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