積分botさんの積分解説5 ∫[0,∞]((x-1)/(log^2x)-1/logx)/(x^2+1)dx

この記事では, 積分botさんのツイートされていた 以下の積分 の解説を書こうと思います.
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なんか面白いなと思いました.
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(証明)

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{x-1}{{\ln }^{2}x}-\frac{1}{\ln x})\frac{dx}{x^2+1}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1\frac{x^t-1}{\ln x}dt\frac{dx}{1+x^2}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1{\int }_0^t\frac{x^s}{1+x^2}dsdtdx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1{\int }_0^t{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\frac{s-1}{2}}}{1+x}dxdsdt\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1{\int }_0^{t}B(\frac{1+s}{2},\frac{1-s}{2})dsdt\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1{\int }_0^t\frac{\pi }{\cos \frac{\pi s}{2}}dsdt\\ & =& \frac{\pi }{2}{\int }_0^1\frac{1-t}{\cos \frac{\pi s}{2}}dt\\ & =& \frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{t}{\sin t}dt\\ & =& \frac{4\beta (s)}{\pi }\end{array}$$

示すことができました. ただし, 6行目から7行目の変形は部分積分によります.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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※ 6行目から7行目の具体的な式変形

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1{\int }_0^t\frac{1}{\cos \frac{\pi s}{2}}dsdt\\ & =& -{\int }_0^1(1-t{)}^{\prime }{\int }_0^t\frac{1}{\cos \frac{\pi s}{2}}dsdt\\ & =& -{[(1-t){\int }_0^t\frac{1}{\cos \frac{\pi s}{2}}ds]}_0^1\\ & & +{\int }_0^1(1-t){\left({\int }_0^t\frac{1}{\cos \frac{\pi s}{2}}ds\right)}^{\prime }dt\\ & =& {\int }_0^1\frac{1-t}{\cos \frac{\pi s}{2}}dt\end{array}$$