図形と複素数１

複素数と図形

線分の内分点・外分点

複素数平面での内分点・外分点はベクトルと同様に考えるとよい。$\mathrm{A}(\alpha ),\mathrm{B}(\beta ),\mathrm{C}(\gamma )$とする。

内分点

$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}(p)$をベクトルで表すと，

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{n+m}$$

となる。複素数では次のように表す。

** $$p=\frac{n\alpha +m\beta }{n+m}$$ **

外分点

$\mathrm{AB}$を$m:n$に外分する点$\mathrm{Q}(q)$をベクトルで表すと，

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{n\overrightarrow{\mathrm{OA}}-m\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{n-m}$$

となる。複素数では次のように表す。

$$q=\frac{n\alpha -m\beta }{n-m}$$

中点，重心

$\mathrm{AB}$の中点は${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$，${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{ABC}}$の重心を表す複素数は${\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}}$である。

問題

点$\mathrm{A}(3+2i)$，$\mathrm{B}(-2+i)$，$\mathrm{C}(-7-5i)$について，$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$と$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$を表す複素数を求めよ。

等式の表す図形

様々な図形を表す複素数の関係式を考えてみる。点$\mathrm{P}(z)$が図形上の点と考える。$\mathrm{A}(\alpha ),\mathrm{B}(\beta )$とする。

円

点$\mathrm{A}$を中心とする半径$r$の円周上に点$\mathrm{P}$があるとする。

$$|z-\alpha |=r$$

直線

$\mathrm{AB}$の垂直2等分線上に点$\mathrm{P}$があるとする。

$$|z-\alpha |=|z-\beta |$$

問題

次の等式を満たす点$z$全体を図示せよ。

1. $|z-2-2i|=2$

2. $|z-i|=|z+1|$

問題

等式$|z+3|=2|z|$を満たす点z全体はどのような図形を表すか。