図形と複素数１
複素数と図形
線分の内分点・外分点
複素数平面での内分点・外分点はベクトルと同様に考えるとよい。$\mathrm{A}(\alpha),\,\mathrm{B}(\beta),\,\mathrm{C}(\gamma)$とする。
内分点
$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}(p)$をベクトルで表すと，
$${{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}}=\frac{n{{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}}+m{{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}}}{n+m}$$
となる。複素数では次のように表す。
** $${p=\frac{n\alpha+m\beta}{n+m}}$$ **
外分点
$\mathrm{AB}$を$m:n$に外分する点$\mathrm{Q}(q)$をベクトルで表すと，
$${{\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}}=\frac{n{{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}}-m{{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}}}{n-m}$$
となる。複素数では次のように表す。
$${q=\frac{n\alpha-m\beta}{n-m}}$$
中点，重心
$\mathrm{AB}$の中点は$\displaystyle{\frac{\alpha+\beta}2}$，$\displaystyle{\triangle{\mathrm{ABC}}}$の重心を表す複素数は$\displaystyle{\frac{\alpha+\beta+\gamma}3}$である。
問題
点$\mathrm{A}(3+2i)$，$\mathrm{B}(-2+i)$，$\mathrm{C}(-7-5i)$について，$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$と$\triangle{\mathrm{ABC}}$の重心$\mathrm{G}$を表す複素数を求めよ。
等式の表す図形
様々な図形を表す複素数の関係式を考えてみる。点$\mathrm{P}(z)$が図形上の点と考える。$\mathrm{A}(\alpha),\,\mathrm{B}(\beta)$とする。
円
点$\mathrm{A}$を中心とする半径$r$の円周上に点$\mathrm{P}$があるとする。
$$|z-\alpha|=r$$
直線
$\mathrm{AB}$の垂直2等分線上に点$\mathrm{P}$があるとする。
$$|z-\alpha|=|z-\beta|$$
問題
次の等式を満たす点$z$全体を図示せよ。
$|z-2-2i|=2$
$|z-i|=|z+1|$
等式$|z|=2|z-i|$を満たす点$z$全体はどのような図形を表すかを考える。
** 解答 **
$|z|=2|z-i|$の両辺は$0$以上である。両辺を2乗して，
$$|z|^2=4|z-i|^2$$
$$z\overline{z}=4(z-i)\overline{(z-i)}$$
$$z\overline{z}=4(z-i)(\overline z+i)$$
$$z\overline{z}=4(z\overline z+iz-i\overline z+1)$$
$$3z\overline z+4iz-4i\overline z+4=0$$
$$z\overline z+\frac43iz-\frac43i\overline z+\frac43=0$$
$$\left(z-\frac43i\right)\left(\overline z+\frac43i\right)-\frac{16}9+\frac{12}9=0$$
$$\left(z-\frac43i\right)\overline{\left(z-\frac43i\right)}=\frac49$$
$$\left|z-\frac43i\right|^2=\frac49$$
$$\left|z-\frac43i\right|=\frac23$$
よって，** 点$\displaystyle{\frac43i}$を中心，半径$\displaystyle{\frac23}$の円** を表す。
別解
$z=x+yi$とおいて，$x$と$y$の関係式を作ってもよい。
$$|z|^2=4|z-i|^2$$
$$x^2+y^2=4\{x^2+(y-1)^2\}$$
$$x^2+y^2=4(x^2+y^2-2y+1)$$
$$3x^2+3y^2-8y+4=0$$
$$x^2+y^2-\frac83y+\frac43=0$$
$$x^2+\left(y-\frac43\right)^2-\frac{16}9+\frac{12}9=0$$
$$x^2+\left(y-\frac43\right)^2=\frac{4}9$$
よって，** 点$\displaystyle{\frac43i}$を中心，半径$\displaystyle{\frac23}$の円** を表す。
問題
等式$|z+3|=2|z|$を満たす点z全体はどのような図形を表すか。
