ガウスの消去法の幾何的解釈

325

はじめに

線形代数の最初のゴールである連立方程式の解は，幾何的には複数の直線（一般には超平面）の交点であることは有名かと思います．

では，その解法であるガウスの消去法は，幾何的にはどんな操作をしているのでしょうか？「きっと誰かは解説しているだろう」と思い，
googleで画像を検索してみたのですが，意外にもそれらしい絵は見つかりませんでした．

そこで，本記事では，ガウスの消去法を幾何的に解釈してみることにしました．普段は数値的にしか扱わないガウスの消去法に新しい解釈を加えることで，より深く理解する手助けにもなると思います．

なお，本記事では簡単のために，2変数の場合を扱いますが， $n$ 変数の場合にも容易に拡張できます．

ガウスの消去法

まずは，ガウスの消去法を復習しましょう．ガウスの消去法は，一言でいえば，「式を足し引きして，変数を消していく」アルゴリズムです．詳細はこちら[1]を参照ください．本記事では，アルゴリズムの挙動の例を一つ見てみます．

以下の問題を扱います．

$\begin{array}{r} f_{1} (x, y) = 2 x + y - 3 = 0 \\ f_{2} (x, y) = x + 2 y - 3 = 0 \end{array}$

行列表記すると以下になります．

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) \end{array}$

まずは，式 $f_{2}$ から変数 $x$ を消してみましょう．式 $f_{1}$ を $1 / 2$ 倍して，式 $f_{2}$ から引いてみます： $f_{2} (x, y) - 0.5 f_{1} (x, y) = 0$ ．

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 3 / 2 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 / 2 \end{array}) \end{array}$

次に，式 $f_{1}$ から変数 $y$ を消してみましょう．式 $f_{2}$ を $2 / 3$ 倍して，式 $f_{1}$ から引いてみます： $f_{1} (x, y) - 2 / 3 f_{2} (x, y) = 0$ ．

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & 3 / 2 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 / 2 \end{array}) \end{array}$

最後に，係数を1に直して終わりです．

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) \end{array}$

解は $x = 1, y = 1$ となりました．

幾何的解釈

では，ガウスの消去法を幾何的に解釈してみましょう．

まずは，連立方程式の絵を描いてみます．表示しているベクトルは各直線に対応している行ベクトルで，これは各直線に垂直なベクトル（法線ベクトル）となります．

連立方程式の解

では，ガウスの消去法における「式の足し引き」は何を意味するのでしょうか？これは，「二つの直線の交点を通ったまま，直線を回転させること」に相当します．一般に，二つの直線 $f_{1}, f_{2}$ に対して，実数 $k$ を用いて表される直線 $f (x, y) = k f_{1} (x, y) + f_{2} (x, y) = 0$ は，二つの直線 $f_{1}, f_{2}$ の交点を通ることが知られています[2]．これは，高校数学での「二つの直線の交点を通る直線」に相当します．以下の図では， $k$ の値をいくつか変えたときの直線を示しています．いずれも元々の二つの直線の交点を通っていることが分かります．