単純加群の零化イデアルは極大イデアルとは限らない

題名の通りの反例を挙げます. (当然非可換環です.)

$M=\mathbb{C}[X]$とし, $L,R\in {\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\mathbb{C}}(M)$を次を満たすように定義する:
$R(X^i)=X^{i+1},L(X^i)=X^{i-1}$(ただし$X^{-1}=0$とする)
ここで, 非可換環$A\subset {\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\mathbb{C}}(M)$を$L,R$で生成される$\mathbb{C}$代数とする. $M$は自然に$A$加群とみなせる。これが単純であることは次のようにわかる:
$A{1}_M=M$はすぐわかるので, $0\ne f\in M$を任意にとり, $Af\ni 1_M$を示せばよい. これは$f$の最高次の項が$c{X}^n$の時, $c^{-1}{L}^n(f)=1$となるのでわかる.
次に, $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(M)=0$を示す.$0\ne g\in A$を任意にとると, $LR=1$より,$g=\sum c_{i,j}{R}^i{L}^j$と書ける. $c_{i,j}\ne 0$となる最大の$j$を$n$とすると,$g{X}^n=\sum c_{i,n}{X}^i\ne 0$より, $g\notin \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(M)$となる.
最後に$A$が体でないことを示す. これは$L$を$M$から$M$への写像と見たとき, 単射でないので$A$内で左逆元が存在しないことからわかる.