
<div style="padding: 0.5em 1em; margin: 2em 0; background: white; border-top: solid 5px #fbe6ff; box-shadow: 0 3px 5px rgba(0, 0, 0, 0.22)">
\begin{align*}
\TextCenter \int_0^{\frac12} \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx~=~?
\end{align*}
</div>

<div style="position: relative; margin: 2em auto; padding: 1.2em; width: 90%; color: ; background-color: #F5F8FA; border: 5px solid #fbe6ff">

<span style="font-weight: bold; font-size: 1.2rem;  position: absolute; padding: 0 .5em; left: 20px; top: -15px; color: #999999; background-color: #F5F8FA">解説</span>
\begin{align*}
\TextCenter \int_0^{\frac12} \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} t \sin t dt &(x=\sin t)\\
    &=\Biggr[ -t\cos t \Biggl]_0^{\frac{\pi}{6}} + \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos t dt \\
    &= -\frac{\pi \sqrt{3}}{12} + \Biggr[\sin t \Biggl]_0^{\frac{\pi}{6}} \\
    &=\frac12 - \frac{\pi \sqrt{3}}{12}
\end{align*}
また，置換せずに部分積分で解くことも出来る．
</div>

積分の技法演習問題1の解説

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