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大学数学基礎解説

積分の技法演習問題1の解説

積分
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\begin{align*} \int_0^{\frac12} \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx~=~? \end{align*}


解説
\begin{align*} \int_0^{\frac12} \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} t \sin t dt &(x=\sin t)\\ &=\Biggr[ -t\cos t \Biggl]_0^{\frac{\pi}{6}} + \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos t dt \\ &= -\frac{\pi \sqrt{3}}{12} + \Biggr[\sin t \Biggl]_0^{\frac{\pi}{6}} \\ &=\frac12 - \frac{\pi \sqrt{3}}{12} \end{align*}
また，置換せずに部分積分で解くことも出来る．
投稿日：2020年11月7日

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Re_menal
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