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大学数学基礎解説
文献あり

Landen 変換

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$$$$
第1種不完全楕円積分

$$\int_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}$$

母数と補母数

$k,k'$をそれぞれ母数、補母数とよぶ。$k'=\sqrt{1-k^2}$

Landen 変換

$$\lambda=\frac{1-k'}{1+k'} , k'=\frac{1-\lambda}{1+\lambda}$$
とするとき、以下の式は同値である。
$$(1)\sin(2\varphi-\varphi_1)=\lambda\sin\varphi_1$$
$$(2)\tan(\varphi_1-\varphi)=k'\tan\varphi$$
$$(3)\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{1+\lambda}{2}\frac{d\varphi_1}{\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}}$$

(1)⇔(2)
$$k'=\frac{1-\lambda}{1+\lambda}=\frac{\sin\varphi_1-\sin(2\varphi-\varphi_1)}{\sin\varphi_1+\sin(2\varphi-\varphi_1)}=\frac{\cos\varphi \sin(\varphi_1-\varphi)}{\sin\varphi \cos(\varphi_1-\varphi)}=\frac{\tan(\varphi_1-\varphi)}{\tan\varphi}$$
(1,2)⇒(3)
$$\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}=\cos(2\varphi-\varphi_1)$$
$$\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}=\sqrt{1-(1-(k')^2)\frac{\tan^2\varphi}{1+\tan^2\varphi}}=\sqrt{\frac{1+(k'\tan\varphi)^2}{1+\tan^2\varphi}}=\frac{\cos\varphi}{\cos(\varphi_1-\varphi)}$$
$$\frac{1+\lambda}{2}=\frac{\sin\varphi_1+\sin(2\varphi-\varphi_1)}{2\sin\varphi_1}=\frac{\sin\varphi \cos(\varphi_1-\varphi)}{\sin\varphi_1}$$
$$\frac{1+\lambda}{2}\frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}}=\frac{\sin \varphi \cos \varphi}{\sin \varphi_1 \cos(2\varphi-\varphi_1)}=\frac{\sin2\varphi}{\sin2\varphi+\sin2(\varphi_1-\varphi)}$$
ここで$(1)\sin(2\varphi-\varphi_1)=\lambda\sin\varphi_1$の両辺を$\varphi_1$で微分すると、
$$\left(2\frac{d\varphi}{d\varphi_1}-1 \right)\cos(2\varphi-\varphi_1)=\lambda\cos\varphi_1=\frac{\sin(2\varphi-\varphi_1)\cos\varphi_1}{\sin\varphi_1}$$
より
$$2\frac{d\varphi}{d\varphi_1}=\frac{\sin2\varphi +\sin2(\varphi-\varphi_1)}{\sin2\varphi+\sin2(\varphi_1-\varphi)}+1=\frac{2\sin2\varphi}{\sin2\varphi+\sin2(\varphi_1-\varphi)}$$
したがって
$$(3)\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{1+\lambda}{2}\frac{d\varphi_1}{\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}}$$
を得る。

参考文献

投稿日:2021329

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DIO
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