Landen 変換

（１）⇔（２）
$$k'=\frac{1-\lambda}{1+\lambda}=\frac{\sin\varphi_1-\sin(2\varphi-\varphi_1)}{\sin\varphi_1+\sin(2\varphi-\varphi_1)}=\frac{\cos\varphi \sin(\varphi_1-\varphi)}{\sin\varphi \cos(\varphi_1-\varphi)}=\frac{\tan(\varphi_1-\varphi)}{\tan\varphi}$$
（１,２）⇒（３）
$$\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}=\cos(2\varphi-\varphi_1)$$
$$\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}=\sqrt{1-(1-(k')^2)\frac{\tan^2\varphi}{1+\tan^2\varphi}}=\sqrt{\frac{1+(k'\tan\varphi)^2}{1+\tan^2\varphi}}=\frac{\cos\varphi}{\cos(\varphi_1-\varphi)}$$
$$\frac{1+\lambda}{2}=\frac{\sin\varphi_1+\sin(2\varphi-\varphi_1)}{2\sin\varphi_1}=\frac{\sin\varphi \cos(\varphi_1-\varphi)}{\sin\varphi_1}$$
$$\frac{1+\lambda}{2}\frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}}=\frac{\sin \varphi \cos \varphi}{\sin \varphi_1 \cos(2\varphi-\varphi_1)}=\frac{\sin2\varphi}{\sin2\varphi+\sin2(\varphi_1-\varphi)}$$
ここで$（１）\sin(2\varphi-\varphi_1)=\lambda\sin\varphi_1$の両辺を$\varphi_1$で微分すると、
$$\left(2\frac{d\varphi}{d\varphi_1}-1 \right)\cos(2\varphi-\varphi_1)=\lambda\cos\varphi_1=\frac{\sin(2\varphi-\varphi_1)\cos\varphi_1}{\sin\varphi_1}$$
より
$$2\frac{d\varphi}{d\varphi_1}=\frac{\sin2\varphi +\sin2(\varphi-\varphi_1)}{\sin2\varphi+\sin2(\varphi_1-\varphi)}+1=\frac{2\sin2\varphi}{\sin2\varphi+\sin2(\varphi_1-\varphi)}$$
したがって
$$（３）\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{1+\lambda}{2}\frac{d\varphi_1}{\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}}$$
を得る。