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大学数学基礎解説
文献あり

Landen 変換

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第1種不完全楕円積分

0φdθ1k2sin2θ

母数と補母数

k,kをそれぞれ母数、補母数とよぶ。k=1k2

Landen 変換

λ=1k1+k,k=1λ1+λ
とするとき、以下の式は同値である。

  1. sin(2φφ1)=λsinφ1
  2. tan(φ1φ)=ktanφ
  3. dφ1k2sin2φ=1+λ2dφ11λ2sin2φ1

(1)⇔(2)
k=1λ1+λ=sinφ1sin(2φφ1)sinφ1+sin(2φφ1)=cosφsin(φ1φ)sinφcos(φ1φ)=tan(φ1φ)tanφ
(1,2)⇒(3)
1λ2sin2φ1=cos(2φφ1)
1k2sin2φ=1(1(k)2)tan2φ1+tan2φ=1+(ktanφ)21+tan2φ=cosφcos(φ1φ)
1+λ2=sinφ1+sin(2φφ1)2sinφ1=sinφcos(φ1φ)sinφ1
1+λ21k2sin2φ1λ2sin2φ1=sinφcosφsinφ1cos(2φφ1)=sin2φsin2φ+sin2(φ1φ)
ここで(1) sin(2φφ1)=λsinφ1の両辺をφ1で微分すると、
(2dφdφ11)cos(2φφ1)=λcosφ1=sin(2φφ1)cosφ1sinφ1
より
2dφdφ1=sin2φ+sin2(φφ1)sin2φ+sin2(φ1φ)+1=2sin2φsin2φ+sin2(φ1φ)
したがって(3)
dφ1k2sin2φ=1+λ2dφ11λ2sin2φ1
を得る。

参考文献

投稿日:2021329
更新日:219
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