∫0φdθ1−k2sin2θ
k,k′をそれぞれ母数、補母数とよぶ。k′=1−k2
λ=1−k′1+k′,k′=1−λ1+λとするとき、以下の式は同値である。
(1)⇔(2)k′=1−λ1+λ=sinφ1−sin(2φ−φ1)sinφ1+sin(2φ−φ1)=cosφsin(φ1−φ)sinφcos(φ1−φ)=tan(φ1−φ)tanφ(1,2)⇒(3)1−λ2sin2φ1=cos(2φ−φ1)1−k2sin2φ=1−(1−(k′)2)tan2φ1+tan2φ=1+(k′tanφ)21+tan2φ=cosφcos(φ1−φ)1+λ2=sinφ1+sin(2φ−φ1)2sinφ1=sinφcos(φ1−φ)sinφ11+λ21−k2sin2φ1−λ2sin2φ1=sinφcosφsinφ1cos(2φ−φ1)=sin2φsin2φ+sin2(φ1−φ)ここで(1) sin(2φ−φ1)=λsinφ1の両辺をφ1で微分すると、(2dφdφ1−1)cos(2φ−φ1)=λcosφ1=sin(2φ−φ1)cosφ1sinφ1より2dφdφ1=sin2φ+sin2(φ−φ1)sin2φ+sin2(φ1−φ)+1=2sin2φsin2φ+sin2(φ1−φ)したがって(3)dφ1−k2sin2φ=1+λ2dφ11−λ2sin2φ1を得る。
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