多項式関数を0における微分係数で展開する

多項式,代数学,微分

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どうも

こんにちは　ごててんという者です　クッパに句読点を奪われました　よろしくおねがいします
Mathlogの練習にと実際に記事を書いてみることにしました　雑記事です

多項式関数を $0$ における微分係数で展開したいとおもいます

準備と具体例

この記事の前提知識は数Ⅱです　※嘘です
中途半端に定義をします　多項式環と次数と斉次式は定義されているとします
あとは偏微分の定義を知っていれば読めるとおもいます
$0$ は任意の非負整数 $d$ に対しても $d$ 次斉次式であるとします

多項式と多項式関数はかなり適当に同一視しています

$f (x_{1}, \dots, x_{n})$ を次数が $l$ の実数係数の多項式とするとき, $m (= 0, 1, \dots, l)$ 次の斉次式 $f_{m}$ によって $f = f_{0} + f_{1} + \dots + f_{l}$ と書いたときの成分 $f_{m}$ を $m$ 次成分と呼ぶ.

例を書きます　例があるとこの記事を見つけたその日たまたま調子が悪い人にブラウザバックをされない確率が上がると思ったので（そんなこと書くな）

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} + 3$ とするなら $5$ 次成分が $x^{4} y$ , $3$ 次成分が $x^{3}$ , $0$ 次成分が $3$ で、それ以外の成分はすべて $0$ です

さて　上の例を用いてタイトルを回収していきましょう　いっぱい偏微分すると
$f_{x x x x y} (0) = 24$ , $f_{x x x} (0) = 6$ , $f (0) = 3$ を得ます

このとき！なんと！ $f (x, y) = \frac{f_{x x x x y} (0)}{4! 1!} x^{4} y + \frac{f_{x x x} (0)}{3! 0!} x^{3} + f (0)$ という式が成立します！！！　偏微分した回数と分母の階乗が対応しています！！！とても不思議ですね！！！！！　不思議なので　不思議です　絶対に不思議です　限りなく不思議です　不思議が発散しました　もはや不思議ではないです

はい　これはアレですね　 $0$ を代入して手に入る情報というのは定数項の情報であるので　偏微分によりいろいろな項を定数項にまで持ち込み　ズレを補正する形ですべての項の値を把握しようとする営みであったわけです

真面目にやる

目隠し状態でやってみましょう　まずは1変数です　 $f (x)$ を実数係数の1変数多項式とします
まず定数項の情報は $f (0)$ で得られます　 $n$ 次成分の情報を取り出してみましょう

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots$ とするとき $f^{(n)} (x)$ の定数項を考えます
$n$ 回の微分により定数となるのは $n$ 次の項 $a_{n}$ でありさらにその項は微分により $n$ 倍, $(n - 1)$ 倍, $\dots$ , $1$ 倍となっています　つまり $n!$ 倍であるということなので　その定数項は $n! a_{n}$ であるはずです　よって $f^{(n)} (0) = n! a_{n}$ から $a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}$ がわかります

したがって, $f (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{‴} (0)}{3!} x^{3} + \dots$ を得ることができます！　ふー
まったく見たことがない珍しい見た目の式ですね　まったく見たことがない

多変数がんばるぞ

面倒であることはすでに確定していますが　少しずつ片付けていきましょう　多分面倒ではないですし（どっちだよ） $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum a_{i_{1}, \dots, i_{n}} x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}}$ を実数係数の $n$ 変数多項式とします　定数項の情報は $f (0, \dots, 0)$ で得られます　さて　次は $x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}}$ の項の係数を調べます

かんたんです　いっぱい偏微分しましょう　 $\frac{\partial^{i_{1} + \dots + i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} f (0, \dots, 0) = i_{1}! \dots i_{n}! a_{i_{1}, \dots, i_{n}}$ であることからすぐわかります　この等式を証明します

$f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum a_{i_{1}, \dots, i_{n}} x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}}$ を実数係数の $n$ 変数多項式とするとき, 以下が成立.

$\frac{\partial^{i_{1} + \dots + i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} f (0, \dots, 0) = i_{1}! \dots i_{n}! a_{i_{1}, \dots, i_{n}} .$

非負整数の組 $(i_{1}, \dots, i_{n}), (j_{1}, \dots, j_{n})$ が等しくないとする. すると整数 $m (1 \leq m \leq n)$ があり $i_{m} \neq j_{m}$ である.
$i_{m} > j_{m}$ であるなら, $x_{m}$ について $i_{m}$ 回偏微分したものは $0$ となる.
$i_{m} < j_{m}$ であるなら, $a_{j_{1}, \dots, j_{n}} x_{1}^{j_{1}} \dots x_{n}^{j_{n}}$ を $x_{m}$ について $i_{m}$ 回偏微分したものを多項式としてみると $x_{m}^{j_{m} - i_{m}}$ を因数にもつことから, 最終的な代入により $0$ となる.

すると, 項 $a_{i_{1}, \dots, i_{n}} x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}}$ を除きすべての項が偏微分により $0$ となることとかんたんな微分の計算よりわかる.

さて　具体的な項の計算が終わったところで　結果をまとめるフェーズに入っていきます
はじめに多項式の $m$ 次部分を定義していたのでした　 $m$ 次部分ごとに考えていきます

$i_{1} + \dots + i_{n} = m$ とすると, 命題1より
$a_{i_{1}, \dots, i_{n}} = \frac{1}{i_{1}! \dots i_{n}!} \frac{\partial^{i_{1} + \dots + i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} f (0, \dots, 0) = \frac{1}{m!} \frac{m!}{i_{1}! \dots i_{n}!} \frac{\partial^{m}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} f (0, \dots, 0) .$

ここで　多項係数 $(\binom{m}{i_{1}, \dots, i_{n}}) = \frac{m!}{i_{1}! \dots i_{n}!}$

を導入すると

$a_{i_{1}, \dots, i_{n}} = \frac{1}{m!} (\binom{m}{i_{1}, \dots, i_{n}}) \frac{\partial^{m}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} f (0, \dots, 0) .$

とかけて　少しすっきりします　次に $i_{1} + \dots + i_{n} = m$ を条件に総和をとってみます

$\sum_{i_{1} + \dots + i_{n} = m} a_{i_{1}, \dots, i_{n}} = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1} + \dots + i_{n} = m} (\binom{m}{i_{1}, \dots, i_{n}}) \frac{\partial^{m}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} f (0, \dots, 0) .$

暴力的な右辺に直感を入れるため　多項定理の主張を書いておきます

多項定理

$(x_{1} + \dots + x_{n})^{m} = \sum_{i_{1} + \dots + i_{n} = m} (\binom{m}{i_{1}, \dots, i_{n}}) x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}} .$

じーーーっと式を眺めてやると視力が低下... ではなく, $x_{i}$ と $\frac{\partial}{\partial x_{i}}$ が対応してみえ視力が低下します

視力を犠牲にして手に入れたこの直感を微分演算子に落とし込みましょう

正の整数 $m$ に対して, 微分演算子 ${(\frac{\partial}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}})}^{m}$ を以下のように定める.
${(\frac{\partial}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}})}^{m} = \sum_{i_{1} + \dots + i_{n} = m} (\binom{m}{i_{1}, \dots, i_{n}}) \frac{\partial^{m}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} .$

また, $m = 0$ のときはなにもしない演算子（恒等写像）とする.

さて　この定義2を使って結果を書き直してみます

$f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum a_{i_{1}, \dots, i_{n}} x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}}$ を実数係数の $n$ 変数多項式とするとき, 以下が成立.

$\sum_{i_{1} + \dots + i_{n} = m} a_{i_{1}, \dots, i_{n}} = \frac{1}{m!} {(\frac{\partial}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}})}^{m} f (0, \dots, 0) .$

　最後に　全ての項を並べて書いてあげましょう

$f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum a_{i_{1}, \dots, i_{n}} x_{1}^{i_{1}} \dots x_{n}^{i_{n}}$ を実数係数の $k$ 次 $n$ 変数多項式とするとき, 以下が成立.

$f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{m = 0}^{k} \frac{1}{m!} {(\frac{\partial}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}})}^{m} f (0, \dots, 0) .$