どうも
こんにちは ごててんという者です クッパに句読点を奪われました よろしくおねがいします
Mathlogの練習にと実際に記事を書いてみることにしました 雑記事です
多項式関数をにおける微分係数で展開したいとおもいます
準備と具体例
この記事の前提知識は数Ⅱです ※嘘です
中途半端に定義をします 多項式環と次数と斉次式は定義されているとします
あとは偏微分の定義を知っていれば読めるとおもいます
は任意の非負整数に対しても次斉次式であるとします
多項式と多項式関数はかなり適当に同一視しています
を次数がの実数係数の多項式とするとき, 次の斉次式によって と書いたときの成分を次成分と呼ぶ.
例を書きます 例があるとこの記事を見つけたその日たまたま調子が悪い人にブラウザバックをされない確率が上がると思ったので(そんなこと書くな)
とするなら 次成分が,次成分が,次成分がで、それ以外の成分はすべてです
さて 上の例を用いてタイトルを回収していきましょう いっぱい偏微分すると
, , を得ます
このとき!なんと! という式が成立します!!! 偏微分した回数と分母の階乗が対応しています!!!とても不思議ですね!!!!! 不思議なので 不思議です 絶対に不思議です 限りなく不思議です 不思議が発散しました もはや不思議ではないです
はい これはアレですね を代入して手に入る情報というのは定数項の情報であるので 偏微分によりいろいろな項を定数項にまで持ち込み ズレを補正する形ですべての項の値を把握しようとする営みであったわけです
真面目にやる
目隠し状態でやってみましょう まずは1変数です を実数係数の1変数多項式とします
まず定数項の情報は で得られます 次成分の情報を取り出してみましょう
とするときの定数項を考えます
回の微分により定数となるのは次の項であり さらにその項は微分により倍, 倍,, 倍 となっています つまり倍であるということなので その定数項は であるはずです よって から がわかります
したがって, を得ることができます! ふー
まったく見たことがない珍しい見た目の式ですね まったく見たことがない
多変数がんばるぞ
面倒であることはすでに確定していますが 少しずつ片付けていきましょう 多分面倒ではないですし(どっちだよ)を実数係数の変数多項式とします 定数項の情報は で得られます さて 次は の項の係数を調べます
かんたんです いっぱい偏微分しましょう であることからすぐわかります この等式を証明します
非負整数の組 が等しくないとする. すると整数があり である.
であるなら, について回偏微分したものはとなる.
であるなら, をについて回偏微分したものを多項式としてみると を因数にもつことから, 最終的な代入によりとなる.
すると, 項 を除きすべての項が偏微分によりとなることとかんたんな微分の計算よりわかる.
さて 具体的な項の計算が終わったところで 結果をまとめるフェーズに入っていきます
はじめに多項式の次部分を定義していたのでした 次部分ごとに考えていきます
とすると, 命題1より
ここで 多項係数
を導入すると
とかけて 少しすっきりします 次にを条件に総和をとってみます
暴力的な右辺に直感を入れるため 多項定理の主張を書いておきます
じーーーっと式を眺めてやると 視力が低下... ではなく, と が対応してみえ 視力が低下します
視力を犠牲にして手に入れたこの直感を微分演算子に落とし込みましょう
正の整数に対して, 微分演算子 を以下のように定める.
また, のときはなにもしない演算子(恒等写像)とする.
さて この定義2を使って結果を書き直してみます
最後に 全ての項を並べて書いてあげましょう
を実数係数の次変数多項式とするとき, 以下が成立.
ここまで読んでいただきありがとうございました~~~ 多項式関数のマクローリン展開でした(