文献あり

ガンマ関数が入った積分

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ガンマ関数が入った積分を列挙しようと思います. 成立する範囲は一応書きましたが, もしかしたら正しくないかもしれないし, もっと拡張できるかもしれないです><
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$$\int_{-\infty}^\infty\G{a+ix}\G{b-ix}e^{cx}\,dx=\frac{2\pi\G{a+b}e^{i\frac{a-b}2c}}{(2\cos\frac c2)^{a+b}}$$
$\hspace{10pt}for\space 0<\Re a,\Re b,\ |\Re c|<\pi$

$$\int_{-\infty}^\infty\G{a+ix}\G{b+ix}\G{c-ix}\G{d-ix}\,dx=2\pi\frac{\G{a+c}\G{a+d}\G{b+c}\G{b+d}}{\G{a+b+c+d}}$$
$\hspace{10pt}for\space 0<\Re a,\Re b,\Re c,\Re d$

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\G{c+ix}\G{a-c-ix}\G{b-c-ix}}{\G{1+a-b-c-ix}}\,dx=\pi\frac{\G{\frac a2}\G{b}}{\G{1+\frac a2-b}}$$
$\hspace{10pt}for\space 0<\Re a,\Re b,\Re(1+\frac a2-b),\ 0<\Re c<\mathrm{min}(\Re a,\Re b, \Re(1+a-b))$

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$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{icx}}{\G{a+x}\G{b-x}}\,dx=\frac{(2\cos\frac{c}2)^{a+b-2}e^{i\frac{b-a}2c}}{\G{a+b-1}}$$
$\hspace{10pt}for\space 0<\Re(a+b),\ c\in\R,|c|<\pi$

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{\G{a+x}\G{b+x}\G{c-x}\G{d-x}}=\frac{\G{a+b+c+d-3}}{\G{a+c-1}\G{a+d-1}\G{b+c-1}\G{b+d-1}}$$
$\hspace{10pt}for\space$(右辺の$\Gamma$関数の中身の実部が全て正となるような$a,b,c,d$)

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これらの証明は今後書こうと思います.

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