級数botさんの積分

初めて記事らしい記事を書かせていただきます。
TeXの練習として書かせていただいているので、内容の厳密さには少々目をつむってください…

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos bx}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi e^{-ab}}{a} $$

留数定理の力を使ってごり押します。

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos bx}{x^2+a^2}dx=Re \left( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ibx}}{x^2+a^2}dx \right) \\ として、右辺のReの中身を解く。\\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ibx}}{x^2+a^2}dx\\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ibx}}{(x-ai)(x+ai)}dx\\ =2\pi iRes(ai)\\ =2\pi i\left(\frac{e^{-ab}}{2ai}\right)\\ =\frac{\pi e^{-ab}}{a}\\ これの実部をとって(今回はすでに実数)、答えは\ \frac{\pi e^{-ab}}{a} $$

ミス等があったら何なりとお申し付けください。

級数botさん、ありがとうございました。

投稿日：2021年3月30日

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投稿者

ぜっとばー

1430

アールフォルス博士の『複素解析』をのんびり進めています。難しいことがあったらここで質問させていただきます。ご容赦ください。

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