級数botさんの積分

初めて記事らしい記事を書かせていただきます。
TeXの練習として書かせていただいているので、内容の厳密さには少々目をつむってください…

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos b x}{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{π e^{- a b}}{a}$

留数定理の力を使ってごり押します。

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos b x}{x^{2} + a^{2}} d x = R e (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i b x}}{x^{2} + a^{2}} d x) として、右辺の R e の中身を解く。 \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i b x}}{x^{2} + a^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i b x}}{(x - a i) (x + a i)} d x = 2 π i R e s (a i) = 2 π i (\frac{e^{- a b}}{2 a i}) = \frac{π e^{- a b}}{a} これの実部をとって (今回はすでに実数) 、答えは \frac{π e^{- a b}}{a}$

ミス等があったら何なりとお申し付けください。

級数botさん、ありがとうございました。

投稿日：2021年3月30日

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投稿者

ぜっとばー

1867

アールフォルス博士の『複素解析』をのんびり進めています。難しいことがあったらここで質問させていただきます。ご容赦ください。

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