n^16-n^4を割り切る数

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問題　～今回は比較的軽い出題です～

n^{16} - n^{4} \equiv 0 (m o d 2^{16} - 2^{4})

を示せ。

本問は UC Berkeley Preliminary Exam (Spring 1990, Problem 16)で出題されたものの拡張になっている。とはいえ、作問時(高校2年生当時)にはそんなことを知らず、つい数日前に先行研究(？)を発見した次第である。

解答　～フェルマーさんに多大なる感謝を～

　フェルマーの小定理より、任意の

n \in N

に対して

n^{p} - n \equiv 0 (m o d p)

が成り立つ(ただし

p

は素数)。

\begin{array}{rcl} n^{16} - n^{4} & = & (n^{5} - n) (n^{11} + n^{7} + n^{3}) \\ = & (n^{7} - n) (n^{9} + n^{3}) \\ = & (n^{13} - n) n^{3} \end{array}

であるから、

n^{16} - n^{4} \equiv 0 (m o d 5 \cdot 7 \cdot 13)

となる。
　また、任意の

m \in N

に対して

(2 m)^{4} = 2^{4} m^{4} \equiv 0 (m o d 2^{4})

かつ

(2 m + 1)^{4} = 2^{4} m^{2} (m + 1)^{2} + 2^{3} m (m + 1) + 1 \equiv 1 (m o d 2^{4})

なので(

∵

連続

2

整数の積は

2

の倍数)、

n = 2 m

のとき

n^{16} - n^{4} = {((2 m)^{4})}^{4} - (2 m)^{4} \equiv 0^{4} - 0 = 0 (m o d 2^{4})

、

n = 2 m + 1

のとき

n^{16} - n^{4} = {((2 m + 1)^{4})}^{4} - (2 m + 1)^{4} \equiv 1^{4} - 1 = 0 (m o d 2^{4})

であり、結局任意の

n \in N

に対して

n^{16} - n^{4} \equiv 0 (m o d 2^{4})

とわかる。
　

m o d 2^{4}

の場合と同様に考えると

n^{16} - n^{4} \equiv 0 (m o d 3^{2})

も判明するので、ここまでの議論を統合して

n^{16} - n^{4} \equiv 0 (m o d 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13)

となる。

2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 65520 = 2^{16} - 2^{4}

であるから示された。

あとがき　～別名：考察の丸投げ～

a, b \in N, a > b

とし、

f (n) = n^{a} - n^{b}

と定める。また、任意の

n \in N

に対して

f (n) \equiv 0 (m o d f (2))

となるような

(a, b)

の集合を

X

とする。このとき、

X

の要素にはどんな法則性があるだろうか。
　具体的に要素を列挙すると、

(2, 1), (3, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 3), (6, 2), (7, 3), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (14, 2), (15, 3), (16, 4)

がある。つまり、上の問題は筆者の知っている

(a, b)

の組の中で最大のものである。この13個以外に

X

の要素が存在するかどうか、筆者は無いと予想しているが、未だ解決していない。誰か心優しいお方が現れて、解決策を提示してくださることを期待する。

　追記(2022/05/02)： kkkaaa さんが上記の予想を証明してくださいました。8ヶ月前に。更新が遅れてしまい申し訳ございません……。証明はこちらから読めます。

投稿日：2021年3月31日

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主に初等幾何・レムニスケート。時々偏差値・多重根号。「たとえ作曲家が忘れ去られた日であっても、彼の旋律が街並みを縫って美しく流れていますように。」

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解答　～フェルマーさんに多大なる感謝を～
あとがき　～別名：考察の丸投げ～

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