バ先で質問された整数問題

皆さんこんにちはこんばんは, おじゃ飯です. この記事が mathlog 初投稿なわけなのですが, 何卒よろしくお願いします！

さて今回なのですが, 「バ先で質問された問題」をツイートしたところ, 様々な解答が押し寄せてきたので, それについてまとめた記事を書こうと思います. 昨年末にツイートしたことを今更書くわけですが, 最後まで読んでくだされば嬉しいです.

該当のツイートは こちら

バ先で質問された問題

まずは, その問題です.

まだ解いていない方は, 一度方針を立ててみてから下記の説明を読んでみても面白いかもしれません.

では, 寄せられた解法をいくつか説明していこうと思います！

$y$についての二次方程式とみる.

(解答)
与式を変形すると
$$\begin{equation} y^2-2(x+1)y+3x^2-8x+13=0 \end{equation}$$

これを$y$についての二次方程式とみて, まずは実数解をもつ条件を考えてみます. いま, 判別式を$D$とおくと

$$\begin{eqnarray} \dfrac{D}{4} &=& (x+1)^2-(3x^2-8x+13) \\ &=& -2(x-2)(x-3) \end{eqnarray}$$

であり, 実数解をもつためには$D \geq 0$, つまり $2 \leq x \leq 3$でなければなりません. 特に, いま求めたいのは整数の組$(x,y)$ なのですから, $x=2,3$のみが考えられるということになります.

では, $x$に値を代入し$y$が整数になるかを確かめていきましょう. ここで, はじめ与えられた式に代入してもよいのですが, $x=2,3$のとき$D=0$であることを用いて二次方程式の解の公式を整理することにより, $y=x+1$ がすぐにわかります. したがって, $x=2$のとき$y=3$, $x=3$のとき$y=4$であり, $y$は整数です.

以上より, 求める答えは $(x,y)=(2,3),(3,4)$ とわかりました.

(個人的コメント)
何だかんだこれが一番オーソドックスな気がします.

平方完成

(解答)
与式を平方完成して整理すると
$$\begin{equation} \{y-(x+1)\}^2=-2(x-2)(x-3) \end{equation}$$
となります. ここで左辺は常に$0$以上なので右辺も非負の値をとらなくては等式が成立しません. したがって, $x=2,3$のみがありうることになります.あとは上記と同じです.

(個人的コメント)
自分もこの方法で解きました. とはいえ, やってることは先ほどの解答と何ら変わりません()

ここからは少々技巧的(？)な解法です.

うまいこと変形する(part1)

(解答)
与式を変形すると
$$\begin{equation} (x-y+1)^2+2(x-\frac{5}{2})^2=\frac{1}{2} \end{equation}$$
$(x-y+1)^2 \geq 0$より, $(x-\frac{5}{2})^2 \leq \frac{1}{4}$なので$x=2,3$のみが考えられる. これを上式に代入すると$(x,y)=(2,3),(3,4)$を得ます.

(個人的コメント)
まぁ, おそらく$2xy$や$2y$が出てくるようにくくってあとは$x$に関してくくって出てきたのでしょうが, なかなか思いつきませんよこんなの……(個人の感想です)

うまいこと変形する(part2)

(解答)
与式を変形すると
$$\begin{equation} (2x-y)^2+(y-2)^2+2(x-4)^2=10 \end{equation}$$

左辺の3項はいずれも非負なので, 特に$2(x-4)^2=0,2,8$のいずれかであることがわかります.

(ア) $2(x-4)^2=0$ のとき, つまり$x=4$ のとき
与式を整理すると, $(y-8)^2+(y-2)^2=10$
しかし, これを満たす整数$y$は存在しないので不適.

(イ) $2(x-4)^2=2$ のとき, つまり$x=3,5$ のとき
$8$の平方数の和による表し方が $2^2+2^2=8$ のみであることに注意すると$(x,y)=(3,4)$ のみが妥当であることがわかります.

(ウ) $2(x-4)^2=8$ のとき, つまり$x=4,6$ のとき
$2$の平方数の和による表し方が $1^2+1^2=2$ のみであることに注意すると$(x,y)=(2,3)$ のみが妥当であることがわかります.

以上より, 求める答えは$(x,y)=(2,3),(3,4)$ です.

(個人的コメント)
この変形をなさった方曰く, 「まず二乗してまとめようとして, 失敗したら2倍する風潮ない？」だそうです. 知らなかったので精進します……

最後に

今回はバ先で質問された問題といくつかの解法を書いてみました！ いろいろな意見が寄せられて, 僕個人としても非常に勉強になりました. これからも精進していこうと思います.

また, 今後も気が向いたときに mathlog の記事を書いていこうと思いますので, そのときはよろしくお願いします！

(最後の最後に : 記事内の誤植やミス, この記事に対する感想や意見などがありましたら, 気軽に教えてくださるとうれしいです.)