間違えない語呂合わせの方法
語呂合わせとは、例えば
野菜⇒831
鳴くよ⇒794
893⇒ヤクザ、薬味
810⇒野獣、野党
と、読み方を数字に置き換えたり、数字を日本語の読み方に変えたりすることを言います。
ここでは、数字を一度日本語に変換し、正確に数字に復元する操作を考えます。
例えば、$ \sqrt{2} $は
$$1.41421356→一夜一夜に人見ごろ$$
と覚えた後
$$一夜一夜に人見ごろ→1.41421356$$
と正確に復元する方法を考えます。
同じ読み方の数字が存在しない⇒語呂合わせで日本語から数字に正確に復元できる
例えば、$2$を「じ」と読み、$4$も「じ」と読むなど、同じ読み方をする数字があると復元不可
次の写像を考える。
$$f：A=\lbrace 1,2,3,・・・,10 \rbrace→J(J：Japanese つまり、日本語全体の集合)$$
ここで、$2$を「に」と呼ぶか、「じ」と呼ぶかで遷移先が異なるので、$2$を「に」と呼ぶ写像を$f$とし、「じ」と呼ぶ写像を$f_{1}$というように、$1$つの数字につき$1$つの読みとなるように考える。
すなわち
$$f_{i}：A→J (1 \le i \le n)$$
$f_{i}$が単射の場合
$$f_{i}において、Aの要素の行き先はすべて異なるので$$
$$|A|=|f_{i}(A)|=11 となり$$
$$\exists g：f_{i}(A)→A s.t. g：全単射$$
$f_{i}$で変換した読みをそのまま数字に当てはめれば$gは全単射$となり、日本語を数字に復元できる。$f_{i}$が単射でない場合
$$f_{i}において、同じ行き先となるAの要素が存在するので$$
$$|A|=11>|f_{i}(A)| となり$$
$$\nexists g：f_{i}(A)→A s.t. g：全単射$$
例えば、2を「じ」と読み、4も「じ」と読んでしまうと、日本語から数字に復元ができない。
よって
同じ読み方の数字が存在しない⇒語呂合わせで日本語から数字に正確に復元できる
上記は、$1$つの数字に対して$1$つの読みが対応していたが、次は、1つの数字に対して複数の読みが対応している場合を考えます。
$例えば、1の読みは\lbrace い,いち,ひと,ひ \rbrace など$
単射$f_{i}(1 \le i \le n)$において、数字の読みをすべて集めた物は$\bigcup_{i = 0}^nf_{i}(A)$と表せます。
$$写像 \exists f：A → K$$
$$ k \mapsto J_{k}$$
$$写像 \exists g：K → A$$
$$ J_{k} \mapsto k$$
$$s.t. f,g：全単射, J_{k} ≠ \varnothing \subset K= \bigcup_{i = 0}^nf_{i}(A) \subset J (0 \le k \le 10), J_{n} \cap J_{m}=\varnothing (0 \le n,m \le 10, n≠m)$$
例えば、$g(\lbrace い,いち,ひと,ひ \rbrace)=1の場合、\lbrace い,いち,ひと,ひ \rbrace$のどれかと読む数字が他に存在しなければ復元可能。
$g(\lbrace に,じ,ふ,つ \rbrace)=2、g(\lbrace よ,し,じ \rbrace)=4は、J_{2} \cap J_{4} = \lbrace じ \rbrace$なので復元不可能。
他の数字でも同様。
$$\forall k,k' \in A, k=k' ⇒ f(k)=J_{k}=J_{k'}=f(k')$$
$$\therefore fは単射$$
$$\exists k \in A s.t. \forall J_{k} \in K, f(k)=J_{k}$$
$$\therefore fは全射$$
$$\therefore fは全単射$$
$$\lbrace x_{nm}|J_{n} \cap J_{m}, n≠m \rbrace について$$
$$x_{nm} \in J_{n}より、g(x_{nm})=n$$
$$x_{nm} \in J_{m}より、g(x_{nm})=m$$
$$J_{n} \cap J_{m}=\varnothing (0 \le n,m \le 10, n≠m)のとき$$
$$k≠k' ⇒ J_{k}≠J_{k'} が成り立つ$$
$$\therefore gは単射$$
$$\exists J_{k} \in K s.t. \forall k \in A, g(J_{k})=k$$
$$\therefore gは全射$$
$$\therefore gは全単射$$
結論
語呂合わせをするときは、数字の読みが他の数字の読みと被らないように設定する必要がある。
