間違えない語呂合わせの方法

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語呂合わせとは、例えば
野菜⇒831
鳴くよ⇒794
893⇒ヤクザ、薬味
810⇒野獣、野党
と、読み方を数字に置き換えたり、数字を日本語の読み方に変えたりすることを言います。
ここでは、数字を一度日本語に変換し、正確に数字に復元する操作を考えます。
例えば、 $\sqrt{2}$ は
$1.41421356 \to 一夜一夜に人見ごろ$
と覚えた後
$一夜一夜に人見ごろ \to 1.41421356$
と正確に復元する方法を考えます。

同じ読み方の数字が存在しない⇒語呂合わせで日本語から数字に正確に復元できる

例えば、 $2$ を「じ」と読み、 $4$ も「じ」と読むなど、同じ読み方をする数字があると復元不可

次の写像を考える。
$f ： A = {1, 2, 3, ・・・, 10} \to J (J ： J a p a n e s e つまり、日本語全体の集合)$
ここで、 $2$ を「に」と呼ぶか、「じ」と呼ぶかで遷移先が異なるので、 $2$ を「に」と呼ぶ写像を $f$ とし、「じ」と呼ぶ写像を $f_{1}$ というように、 $1$ つの数字につき $1$ つの読みとなるように考える。
すなわち
$f_{i} ： A \to J (1 \leq i \leq n)$

$f_{i}$ が単射の場合
$f_{i} において、 A の要素の行き先はすべて異なるので$
$| A | = | f_{i} (A) | = 11 となり$
$\exists g ： f_{i} (A) \to A s . t . g ：全単射$
$f_{i}$ で変換した読みをそのまま数字に当てはめれば $g は全単射$ となり、日本語を数字に復元できる。
$f_{i}$ が単射でない場合
$f_{i} において、同じ行き先となる A の要素が存在するので$
$| A | = 11 > | f_{i} (A) | となり$
$∄ g ： f_{i} (A) \to A s . t . g ：全単射$
例えば、2を「じ」と読み、4も「じ」と読んでしまうと、日本語から数字に復元ができない。

よって
同じ読み方の数字が存在しない⇒語呂合わせで日本語から数字に正確に復元できる

上記は、 $1$ つの数字に対して $1$ つの読みが対応していたが、次は、1つの数字に対して複数の読みが対応している場合を考えます。
$例えば、 1 の読みは {い, いち, ひと, ひ} など$
単射 $f_{i} (1 \leq i \leq n)$ において、数字の読みをすべて集めた物は $⋃_{i = 0}^{n} f_{i} (A)$ と表せます。

$写像 \exists f ： A \to K$
$k \mapsto J_{k}$
$写像 \exists g ： K \to A$
$J_{k} \mapsto k$
$s . t . f, g ：全単射, J_{k} \neq \emptyset \subset K = ⋃_{i = 0}^{n} f_{i} (A) \subset J (0 \leq k \leq 10), J_{n} \cap J_{m} = \emptyset (0 \leq n, m \leq 10, n \neq m)$

例えば、 $g ({い, いち, ひと, ひ}) = 1 の場合、 {い, いち, ひと, ひ}$ のどれかと読む数字が他に存在しなければ復元可能。
$g ({に, じ, ふ, つ}) = 2 、 g ({よ, し, じ}) = 4 は、 J_{2} \cap J_{4} = {じ}$ なので復元不可能。
他の数字でも同様。

$\forall k, k^{'} \in A, k = k^{'} \Rightarrow f (k) = J_{k} = J_{k^{'}} = f (k^{'})$
$∴ f は単射$
$\exists k \in A s . t . \forall J_{k} \in K, f (k) = J_{k}$
$∴ f は全射$
$∴ f は全単射$

${x_{n m} | J_{n} \cap J_{m}, n \neq m} について$
$x_{n m} \in J_{n} より、 g (x_{n m}) = n$
$x_{n m} \in J_{m} より、 g (x_{n m}) = m$
$J_{n} \cap J_{m} = \emptyset (0 \leq n, m \leq 10, n \neq m) のとき$
$k \neq k^{'} \Rightarrow J_{k} \neq J_{k^{'}} が成り立つ$
$∴ g は単射$
$\exists J_{k} \in K s . t . \forall k \in A, g (J_{k}) = k$
$∴ g は全射$
$∴ g は全単射$