ζ(s)=∑k=0∞1ks (Res>1)で表されるリーマンゼータ関数に対し以下の公式が成り立ちます。
ζ(s)=∑k=1n1ks−11−sn1−s−12n−s+∑j=1mB2j(2j)!(s)2j−1n−s−2j+1+O(nRe(−s)−2m−1)ここで、(s)n=s(s+1)(s+2)⋯(s+n−1)(上昇階乗冪)です。
証明には以下のオイラー・マクローリンの公式を使います。
∑k=1Nf(x)=∫0Nf(x)dx+f(N)2−f(0)2+∑j=1mB2j(2j)!(f(2j−1)(N)−f(2j−1)(0))+R2m+1
Rm=(−1)(m+1)∫0NBn(x−⌊x⌋)m!f(m)(x)dxただしBnはベルヌーイ数、Bn(x)はベルヌーイ多項式です
mを1大きくとってとおいてf(x)=1(n+x)s,N→∞とし、Bn(x−⌊x⌋)が有界であることに注意して積分を評価すると示すことができます。この公式を使うことで定義通りにゼータ関数を計算するよりも速く計算することができます。
例としてζ(2)=π26=1.644934066⋯を計算することを考えます。定義通りに計算すると1.6449に達するまで約3万項足す必要がありますが、ζ(2)≃∑k=1n1ks−1n−12n2+16n3(上の公式でm=1としたもの)とすると、まで足した段階でn=10まで足した段階で近似値が1.64493439⋯となり少ない項である程度精度のよい値が求まります。
mが大きいと急激に精度が良くなるように見えますがnが小さすぎるとむしろ精度が悪化します。特にnを固定してm→∞とすると収束しません。
証明は省略しますがこの公式は解析接続されたゼータ関数に対しても成り立ち、そこからゼータ関数の定義域を拡張した表示
ζ(s)=limn→∞(∑k=1n1ks−11−sn1−s−12n−s+∑j=1mB2j(2j)!(s)2j−1n−s−2j+1)(s≠1,Res>−2m−1)
が得られます。(ここで証明は省略します)
例としてs≠1,Res>−3で成り立つ表示ζ(s)=limn→∞(∑k=1n1ks−11−sn1−s−12n−s+s12n−1−s)を使っていくつかの値を計算してみると、ζ(0)=limn→∞(∑k=1n1−n−12)=−12ζ(−1)=limn→∞(∑k=1nk−12n2−12n−112)=−112ζ′(0)=lims→0limn→∞(−∑k=1nlogkks−1(1−s)2n1−s+logn1−sn1−s+logn2n−s+112n−1−s−slogn12n−1−s)=limn→∞(−logn!−n+nlogn+logn2+112n−1)=limn→∞(lognnnenn!+112n−1)=log2π2ζ′(−1)=lims→−1limn→∞(−∑k=1nlogkks−1(1−s)2n1−s+logn1−sn1−s+logn2n−s+112n−1−s−slogn12n−1−s)=limn→∞(−logK(n+1)−n24+n2logn2+nlogn2+112+logn12)=limn→∞(lognn2/2+n/2+1/12en2/4K(n+1)+112)=112−logA(K(n)=∏k=1n−1kkはK関数、A=limn→∞K(n+1)en2/4nn2/2+n/2+1/12はグレイシャー・キンケリンの定数)などの値を求めることができます。
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