少し変わったMZVの和公式

今回は末尾に制限のついたMZVの和公式について考える。

証明
左辺はhoffman代数上で $y(x+y{)}^{n-1}yx$ と表すことが出来る。この式を双対性を使うと $yx(x+y{)}^{n-1}x$ となる。これをMZVで表すと ${\displaystyle \sum _{wt(k)=n+2,k_1\geqq 2}\zeta (k)}$ となります。${\displaystyle \sum _{wt(k)=n+2,k_1\geqq 2}\zeta (k)={\zeta }^{\ast }(2,}${$1$}${}^{n-2},2)$
より示された。

この定理の一般化は以下のようになる

hoffman代数上で上記と同様に示される。左辺は $y(x+y{)}^{n-1}{y}^{a+1}x$ となる。双対性を使い $y{x}^{a+1}(x+y{)}^{n-1}x$ と変形でき、この式はMZVを使うことにより、${\zeta }^{\ast }(a+2,${$1$}${}^{n-2},2)$ となる。
より示された。

この式を更に一般化するアイデアは今のところ思いついていません。これから思いついたら更新していきます。