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いろいろな不等式

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三角不等式

$| | x | - | y | | \leq | x + y | \leq | x | + | y |$
左側の等号成立条件は $x y \leq 0$ であり，右側の等号成立条件は $x y \geq 0$ である。

$(| | x | - | y | |)^{2} - (| x + y |)^{2} = (x^{2} - 2 | x y | + y^{2}) - (x^{2} + 2 x y + y^{2}) = - 2 (| x y | + x y) \leq 0$

$(| x + y |)^{2} - (| x | + | y |)^{2} = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - (x^{2} + 2 | x y | + y^{2}) = 2 (x y - | x y |) \leq 0$

イェンセンの不等式（凸不等式）

凸関数

関数 $f (x)$ が区間 $I$ 上で凸関数（下に凸な関数；上に凹な関数）であるとは，区間 $I$ 上の任意の $x, y$ と $0 \leq λ \leq 1$ に対し， $\begin{matrix} (*) & λ f (x) + (1 - λ) f (y) \geq f (λ x + (1 - λ) y) \end{matrix}$ となることである。また，式 $(*)$ の不等号の向きが逆である関数を凹関数（上に凸な関数；下に凹な関数）と呼ぶ。

関数 $f (x) = x^{2}$ や $f (x) = e^{x}$ は凸関数である。関数 $f (x) = \sqrt{x}$ や $f (x) = \log x$ は凹関数である。

イェンセンの不等式

関数 $f (x)$ の区間 $I$ 上の任意の $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ と $λ_{i} \geq 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1$ に対し，
$\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} f (x_{i}) \geq f (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i})$
となる。

$n = 2$ のときは定義そのものである。 $n = k$ で成り立つと仮定して， $S = \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} f (x_{i})$ とする。
$\sum_{i = 1}^{k + 1} λ_{i} f (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} f (x_{i}) + λ_{k + 1} f (x_{k + 1}) = S \sum_{i = 1}^{k} \frac{λ_{i}}{S} f (x_{i}) + (1 - S) f (x_{k + 1}) \geq S \sum_{i = 1}^{k} f (\frac{λ_{i}}{S} x_{i}) + (1 - S) f (x_{k + 1}) \geq f (\sum_{i = 1}^{k + 1} λ_{i} x_{i})$

$λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n} = \frac{1}{n}$ とすると，
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} f (x_{i}) \geq f (\sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}}{n})$

平均に関する不等式

相加相乗平均の不等式（AM≧GM）

相加相乗平均の不等式

$n$ を正整数， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を非負数とするとき，
$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \geq \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} a_{i}}$
となる。
等号成立条件は $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ である。

$\log x$ は凹関数であるから，イェンセンの不等式により
$\log \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} a_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \log x_{i} \leq \log \sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}}{n} = \log \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$
となるので対数の中を比べると示される。

二乗相加平均の不等式(RM≧AM)

二乗相加平均の不等式

$n$ を正整数， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を非負数とするとき，
$\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} \geq \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$
となる。
等号成立条件は $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ である。

$x^{2}$ は凸関数であるから，イェンセンの不等式により示される。

相乗調和平均の不等式(GM≧HM)

相乗調和平均の不等式

$n$ を正整数， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を正数とするとき，
$\sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} a_{i}} \geq n (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{- 1})^{- 1}$
となる。
等号成立条件は $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ である。

相加相乗平均の不等式の $a_{i}$ を $a_{i}^{- 1}$ に置き換えると得られる。

重み付き相加相乗平均の不等式

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を非負数， $w_{i} > (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1$ とするとき，
$\sum_{i = 1}^{n} w_{i} a_{i} \geq \prod_{i = 1}^{n} a_{i}^{w_{i}}$
となる。
等号成立条件は $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ である。

イェンセンの不等式を用いて，相加相乗の不等式と同様に示すことができる。

コーシー・シュワルツの不等式

$(\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) \geq {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2}$
等号成立条件はベクトル $a = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ とベクトル $b = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ が平行であることである。

ラグランジュの恒等式

$(\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i}^{2} b_{j}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} b_{i} a_{j} b_{j} = \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} \geq 0$

ベクトルの内積

$| a |^{2} | b |^{2} \geq | a |^{2} | b |^{2} \cos^{2} θ = (a \cdot b)^{2}$
から得られる。

シュールの不等式

非負数 $x, y, z$ と正数 $t$ に対し
$x^{t} (x - y) (x - z) + y^{t} (y - z) (y - x) + z^{t} (z - x) (z - y) \geq 0$
等号成立条件は $x = y = z$ または $x, y, z$ のいずれかが0で残り2つが等しいとき。