いろいろな不等式
三角不等式
$$
\big||x|-|y|\big| \leq |x+y| \leq |x|+|y|
$$
左側の等号成立条件は$xy \leq 0$であり，右側の等号成立条件は$xy \geq 0$である。
$$ (\big||x|-|y|\big|)^2-(|x+y|)^2 \\ = (x^2-2|xy|+y^2)-(x^2+2xy+y^2) \\ = -2(|xy|+xy) \\ \leq 0 $$
$$ (|x+y|)^2-(|x|+|y|)^2 \\ = (x^2+2xy+y^2) - (x^2+2|xy|+y^2) \\ = 2(xy-|xy|) \\ \leq 0 $$
イェンセンの不等式（凸不等式）
関数$f(x)$が区間$I$上で凸関数（下に凸な関数；上に凹な関数）であるとは，区間$I$上の任意の$x, y$と$0\leq\lambda\leq1$に対し，$$\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \geq f(\lambda x+(1-\lambda)y)\tag{*}$$となることである。また，式$(*)$の不等号の向きが逆である関数を凹関数（上に凸な関数；下に凹な関数）と呼ぶ。
関数$f(x)=x^2$や$f(x)=e^x$は凸関数である。関数$f(x)=\sqrt x$や$f(x)=\log x$は凹関数である。
関数$f(x)$の区間$I$上の任意の$x_1, x_2,\cdots, x_n$と$\lambda_i\geq0(i=1, 2, \cdots, n), \sum_{i=1}^n\lambda_i=1$に対し，
$$\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i) \geq f(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i)$$
となる。
$n=2$のときは定義そのものである。$n=k$で成り立つと仮定して，$S=\sum_{i=1}^{k}\lambda_if(x_i)$とする。
$$
\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_if(x_i) \\
=\sum_{i=1}^{k}\lambda_if(x_i)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) \\
=S\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}Sf(x_i)+(1-S)f(x_{k+1}) \\
\geq S\sum_{i=1}^{k}f(\frac{\lambda_i}Sx_i)+(1-S)f(x_{k+1}) \\
\geq f(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_ix_i)
$$
$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n=\frac1n$とすると，
$$\sum_{i=1}^n\frac1nf(x_i) \geq f(\sum_{i=1}^n\frac{x_i}n)$$
平均に関する不等式
相加相乗平均の不等式（AM≧GM）
$n$を正整数，$a_1, a_2, \cdots, a_n$を非負数とするとき，
$$
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i
\geq
\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}
$$
となる。
等号成立条件は$a_1=a_2=\cdots=a_n$である。
$\log x$は凹関数であるから，イェンセンの不等式により
$$
\log \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}
= \sum_{i=1}^n\frac 1n \log x_i
\leq \log\sum_{i=1}^n\frac{x_i}n
= \log\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
$$
となるので対数の中を比べると示される。
二乗相加平均の不等式(RM≧AM)
$n$を正整数，$a_1, a_2, \cdots, a_n$を非負数とするとき，
$$
\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i^2}
\geq
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i
$$
となる。
等号成立条件は$a_1=a_2=\cdots=a_n$である。
$x^2$は凸関数であるから，イェンセンの不等式により示される。
相乗調和平均の不等式(GM≧HM)
$n$を正整数，$a_1, a_2, \cdots, a_n$を正数とするとき，
$$
\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}
\geq
n(\sum_{i=1}^{n}a_i^{-1})^{-1}
$$
となる。
等号成立条件は$a_1=a_2=\cdots=a_n$である。
相加相乗平均の不等式の$a_i$を$a_i^{-1}$に置き換えると得られる。
重み付き相加相乗平均の不等式
$a_1, a_2, \cdots, a_n$を非負数，$w_i>(i=1, 2, \cdots, n), \sum_{i=1}^nw_i=1$とするとき，
$$
\sum_{i=1}^{n}w_ia_i
\geq
\prod_{i=1}^{n}a_i^{w_i}
$$
となる。
等号成立条件は$a_1=a_2=\cdots=a_n$である。
イェンセンの不等式を用いて，相加相乗の不等式と同様に示すことができる。
コーシー・シュワルツの不等式
$$
\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2
$$
等号成立条件はベクトル$\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$とベクトル$\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, \cdots, b_n)$が平行であることである。
$$ \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right) - \left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2 \\ = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_i^2b_j^2 - \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ib_ia_jb_j \\ = \sum_{1\leq i< j\leq n}^{n}(a_ib_j-a_jb_i)^2 \\ \geq 0 $$
$$|\boldsymbol{a}|^2 |\boldsymbol{b}|^2
\geq |\boldsymbol{a}|^2 |\boldsymbol{b}|^2 \cos^2\theta
= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2$$
から得られる。
シュールの不等式
非負数$x, y, z$と正数$t$に対し
$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y) \geq 0$
等号成立条件は$x=y=z$または$x, y, z$のいずれかが0で残り2つが等しいとき。
対称性より，$x \geq y \geq z$としても一般性を失わないので，
$(x-y)(x^t(x-z)-y^t(y-z))+z^t(z-x)(z-y) \geq 0$と変形することにより示される。
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