SGL_Exercise4.15(e)の反例

恒等射$\mathcal{P}\stackrel{id}{\to }\mathcal{P}$に対して, $\mathcal{P}$が射影的であることの定義から題意の$s$を取ることができる.

エピ射$\mathcal{G}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }\mathcal{F}$と射$\mathcal{P}\stackrel{f}{\to }\mathcal{F}$を任意にとる. pullback
$$\mathcal{P}{\times }_{\mathcal{F}}\mathcal{G}{p}^{\prime }{f}^{\prime }\mathcal{G}p\mathcal{P}f\mathcal{F}$$
をとる. 各$x\in X$についてのstalkをとる.
$${\mathcal{P}}_x{\times }_{{\mathcal{F}}_x}{\mathcal{G}}_x{p}_x^{\prime }{f}_x^{\prime }{\mathcal{G}}_x{p}_x{\mathcal{P}}_x{f}_x{\mathcal{F}}_x$$
stalkを取る操作は有限極限を保つので, これは集合の圏におけるpullback図式となり, $p_x$が全射であることから$p_x^{\prime }$は全射である. ゆえに$p^{\prime }$はエピ射である. よって仮定より$p^{\prime }\circ s=id$を満たす射$\mathcal{P}\stackrel{s}{\to }\mathcal{P}{\times }_{\mathcal{F}}\mathcal{G}$がとれるが, 可換図式
$$\mathcal{P}{\times }_{\mathcal{F}}\mathcal{G}{p}^{\prime }{f}^{\prime }\mathcal{G}p\mathcal{P}sid\mathcal{P}f\mathcal{F}$$
により$\mathcal{P}$が射影的であることが示された.

${\mathcal{P}}_{\mathcal{i}}\stackrel{f_i}{\to }\mathcal{F}$から定まる射$\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_{\mathcal{i}}\stackrel{f}{\to }\mathcal{F}$と, エピ射$\mathcal{G}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }\mathcal{F}$を任意にとる. 各$i\in I$に対して, ${\mathcal{P}}_i$が射影的であることから$p\circ g_i=f_i$なる射${\mathcal{P}}_i\stackrel{g_i}{\to }\mathcal{G}$がとれる. すると, $(g_i{)}_{i\in I}$が定める射$\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_{\mathcal{i}}\stackrel{g}{\to }\mathcal{G}$は$p\circ g=f$を満たす.

$i_0\in I$とエピ射$\mathcal{F}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }{\mathcal{P}}_{i_0}$を任意にとる. 射$\mathcal{F}\coprod (\coprod _{i\ne i_0}{\mathcal{P}}_i)\stackrel{p\coprod id}{⟶}{\mathcal{P}}_{i_0}\coprod (\coprod _{i\ne i_0}{\mathcal{P}}_i)=\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_i$を考え, 可換図式
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathcal{F}p{\mathcal{P}}_{i_0}\mathcal{F}\coprod (\coprod _{i\ne i_0}{\mathcal{P}}_i)p\coprod id\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_i\end{array}$$
を考える. ただし, 縦方向の射は余積への入射である. stalkをとる操作は余極限を保つので, 各$x\in X$についてのstalkをとると,
$${\mathcal{F}}_x{p}_x{\mathcal{P}}_{i_0,x}{\mathcal{F}}_x\coprod (\coprod _{i\ne i_0}{\mathcal{P}}_{i,x})p_x\coprod id\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_{i,x}$$
となる. これは集合の圏におけるpullback図式となっているので, 可換図式(1)は圏$\mathrm{S}\mathrm{h}(X)$におけるpullback図式である. また, $p_x\coprod id$は全射なので$p\coprod id$はエピ射である.
$\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_i$が射影的という仮定から, $(p\coprod id)\circ s=id$となる射$\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_i\stackrel{s}{⟶}\mathcal{F}\coprod (\coprod _{i\ne i_0}{\mathcal{P}}_i)$がとれる.
$${\mathcal{P}}_{i_0}id{\mathcal{P}}_{i_0}\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_{i}s\mathcal{F}\coprod (\coprod _{i\ne i_0}{\mathcal{P}}_i)p\coprod id\coprod _{i\in I}{\mathcal{P}}_i$$
は可換なので, pullback図式(1)の普遍性により射${\mathcal{P}}_{i_0}\stackrel{t}{\to }\mathcal{F}$がとれる. $p\circ t=id$なので, 補題1より${\mathcal{P}}_{i_0}$は射影的である.

上の注意(2)から, $U_i\subset U$の場合だけを考えれば良いことが分かる.
一般に, $yV$の$x\in X$についてのstalkは
$$(yV{)}_x=\{\begin{array}{ll}1点集合& (x\in V)\\ \varnothing & (x\notin V)\end{array}$$
である. さらに, 一般にstalkをとる操作は余極限を保つ. したがって$p$の$x\in X$についてのstalkは, $x\notin U$なら空射像(特に全射)であり, $x\in U$なら
$$\{i\in I|x\in U_i\}=\coprod _{i\in I,x\in U_i}1点集合\stackrel{p_x}{⟶}1点集合$$
したがって, (2)$\iff$任意の$x\in U$に対し$p_x$が全射$\iff$(1).

$V:=\{x\in U|{\mathcal{F}}_x\ne \varnothing \}$とおく. stalkの定義から, 各$x\in V$に対し, 開近傍$U_x\subset U$と$s_x\in \mathcal{F}(U_x)$をとれる. すると,$V\subset \bigcup _{x\in V}{U}_x\subset V$より$V=\bigcup _{x\in V}{U}_x$. 特に$V$は開集合である. また, $\mathcal{F}\subset yU$ゆえ切断$\mathcal{F}(W)$は1点集合か空集合かのどちらかなので, 任意の$x,y\in V$に対し$s_x{|}_{U_x\cap U_y}=s_y{|}_{U_x\cap U_y}$. $\mathcal{F}$は層なので$(s_x{)}_{x\in V}$の貼り合わせが存在し, 特に$\mathcal{F}(V)\ne \varnothing$. よって
$$\mathcal{F}(W)=\{\begin{array}{ll}1点集合& (W\subset V)\\ \varnothing & (otherwise)\end{array}$$

$\mathcal{F}\in \mathrm{S}\mathrm{h}(X)$を任意にとる. $A:=\{(U,s)|yU:射影的,s\in \mathcal{F}(U)\}$とおく. 族$\{yU\stackrel{s}{\to }\mathcal{F}{\}}_{(U,s)\in A}$が定める射$\coprod _{(U,s)\in A}yU\stackrel{p}{\to }\mathcal{F}$を考える. 補題2より$\coprod _{(U,s)\in A}yU$は射影的. $p$の$x\in X$についてのstalkは, stalkをとる操作が余極限を保つことから次の自然な写像となる.
$$\coprod _{(U,s)\in A}(yU{)}_x=\coprod _{(U,s)\in A,U\ni x}1点集合=\{(U,s)\in A|x\in U\}\stackrel{p_x}{⟶}{\mathcal{F}}_x$$
仮定よりこれは全射であるから, pはエピ射である.

開集合$U_0$を任意にとる. 仮定より, 射影的層からのエピ射$\mathcal{P}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }y{U}_0$がある. $A:=\{(U,s)|s\in \mathcal{P}(U)\}$とおく. 族$\{yU\stackrel{s}{\to }\mathcal{P}{\}}_{(U,s)\in A}$が定める射$\coprod _{(U,s)\in A}yU\stackrel{q}{\to }\mathcal{P}$を考える. $(2)\Rightarrow (1)$の証明と同様の議論から, $q$はエピ射である. $\mathcal{P}$が射影的より, $q\circ m=id$となる射$\mathcal{P}\stackrel{m}{\to }\coprod _{(U,s)\in A}yU$がとれる. 各入射$yU\stackrel{i_{(U,s)}}{\to }\coprod _{(U,s)\in A}yU$ごとにpullback
$${\mathcal{F}}_{(U,s)}{f}_{(U,s)}{m}_{(U,s)}yU{i}_{(U,s)}\mathcal{P}m\coprod _{(U,s)\in A}yU$$
をとる. $m$がモノ射より$m_{(U,s)}$はモノ射なので, 補題4から開集合$V_{(U,s)}$により${\mathcal{F}}_{(U,s)}=y{V}_{(U,s)}$となる. また, 一般に圏$\mathrm{S}\mathrm{h}(X)$におけるbase changeは余極限を保つので, $\{y{V}_{(U,s)}\stackrel{f_{(U,s)}}{\to }\mathcal{P}{\}}_{(U,s)\in A}$は余積図式となる. このことはstalkをとることで直接示すこともできる.

今, $\coprod _{(U,s)\in A}y{V}_{(U,s)}=\mathcal{P}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }y{U}_0$となっているので, 補題3から$\bigcup _{(U,s)\in A}{V}_{(U,s)}=U_0$であり, しかも補題2より各$y{V}_{(U,s)}$は射影的である.

$\mathrm{S}\mathrm{h}(X)$における余積は, 前層としての(各点的な)余積に層化を施したものによって与えられる. また, 一般に前層$\mathcal{F}$の層化${\mathcal{F}}^{+}$は次で与えられるのであった.
$$\begin{gathered} {\mathcal{F}}^{+}(V):=\{写像V\stackrel{\tau }{\to }\coprod _{x\in V}{\mathcal{F}}_x|\tau は次の(a)(b)を満たす\} \\ (a)任意のx\in Vに対し,\tau (x)\in {\mathcal{F}}_x \\ (b)各x\in Vに対し,開近傍W\subset Vとs\in \mathcal{F}(W)があり,任意のy\in Wに対し\tau (y)=s_y \end{gathered}$$
このことから, 主張を示すことができる.

$U$の開被覆$\{U_i{\}}_{i\in I}$を任意にとる. 補題3よりエピ射$\coprod _{i\in I}y{U}_i\stackrel{}{\twoheadrightarrow }yU$があるので, $yU$が射影的であることから射$yU\to \coprod _{i\in I}y{U}_i$がとれる. 特に$(\coprod _{i\in I}y{U}_i)(U)\ne \varnothing$である. すなわち, 補題6から, 連続関数$U\stackrel{\tau }{\to }I$であって$\mathrm{\forall }x\in U,x\in U_{\tau (x)}$を満たすものが存在する. $V_i:={\tau }^{-1}(i)$とおけば$\{V_i{\}}_{i\in I}$は$\{U_i{\}}_{i\in I}$の細分であり, $i\ne i^{\prime }\Rightarrow V_i\cap V_{i^{\prime }}=\varnothing$を満たす.

エピ射$\mathcal{F}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }yU$を任意にとる. $A:=\{(V,s)|s\in \mathcal{F}(V)\}=\{(U_i,s_i){\}}_{i\in I}$とおく. 族$\{y{U}_i\stackrel{s_i}{\to }\mathcal{F}{\}}_{i\in I}$が定める射$\coprod _{i\in I}y{U}_i\stackrel{q}{\to }\mathcal{F}$を考える. 定理5の証明と同様の議論から, $q$はエピ射である. よってエピ射$\coprod _{i\in I}y{U}_i\stackrel{q}{\twoheadrightarrow }\mathcal{F}\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }yU$を得たので, 補題3より$\bigcup _{i\in I}{U}_i=U$. $U$がD.R.より, $\{U_i{\}}_{i\in I}$の細分$\{V_j{\}}_{j\in J}$であって$j\ne j^{\prime }\Rightarrow V_j\cap V_{j^{\prime }}=\varnothing$を満たすものがとれる.

補題3よりエピ射$\coprod _{j\in J}y{V}_j\stackrel{}{\twoheadrightarrow }yU$があるが, この射の各点のstalkに誘導する写像は, $j\ne j^{\prime }\Rightarrow V_j\cap V_{j^{\prime }}=\varnothing$であることから単射でもあり, すなわち全単射となる.
したがって, $\coprod _{j\in J}y{V}_j=yU$を得た.

さて, $\{V_j{\}}_{j\in J}$が$\{U_i{\}}_{i\in I}$の細分であることから, 余積の普遍性によって射$yU=\coprod _{j\in J}y{V}_j\stackrel{r}{\to }\coprod _{i\in I}y{U}_i$がある. 次の図式は, $yU$から$yU$への射が一意的であることから可換である.
$$\coprod _{i\in I}y{U}_{i}q\mathcal{F}pyUyUrid$$
したがって, 補題1より$yU$は射影的である.

$X$を$T_1$かつD.R.な位相空間とする. 開集合$U$と$x\in U$を任意にとる. $X$が$T_1$より$V:=X\mathrm{\setminus }\{x\}$は開集合であり, $X=U\cup V$.

$X$がD.R.より, $\{U,V\}$の細分$\{U_i{\}}_{i\in I}$であって$i\ne i^{\prime }\Rightarrow U_i\cap U_{i^{\prime }}=\varnothing$を満たすものがとれる. ある$i_0\in I$が存在して$x\in U_{i_0}$となるが, 細分であることから$U_{i_0}\subset U$となるしかない. さらに$U_{i_0}=X\mathrm{\setminus }\bigcup _{i\ne i_0}{U}_i$より, $U_{i_0}$は$X$の開かつ閉集合である.

$yX=1$であることに注意すると, 定理7から,
$1$が射影的$\iff$$X$がD.R.
よって, 補題8より主張が従う.

$X$を第2可算空間とし, $X$の開被覆$\{U_i{\}}_{i\in I}$を任意にとる. $A$が可算集合であるような開基$\{B_a{\}}_{a\in A}$がとれる. 開基の定義から, 部分集合$A^{\prime }\subset A$であって, $\{B_a{\}}_{a\in A^{\prime }}$が$\{U_i{\}}_{i\in I}$の細分となるものが存在する. すなわち, 写像$A^{\prime }\stackrel{\tau }{\to }I$であって$\mathrm{\forall }a\in A^{\prime },B_a\subset U_{\tau (a)}$を満たすものがとれる. $J:=\tau (A^{\prime })\subset I$とおけば, $J$は$I$の可算部分集合であり, $X=\bigcup _{j\in J}{U}_j$を満たす.

$X$をLindelöfかつ0-次元な位相空間とする. $X$の開被覆$\{U_i{\}}_{i\in I}$を任意にとる. $X$が0-次元より, 開かつ閉集合からなる族$\{V_j{\}}_{j\in J}$であって, $\{U_i{\}}_{i\in I}$の細分であるものが存在する. $X$がLindelöfであることから, $J=\mathbb{N}$としてしまって良い. $W_n:=V_n\mathrm{\setminus }\{V_0\cup \cdots \cup V_{n-1}\}$とおくと, $\{W_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$は$\{U_i{\}}_{i\in I}$の細分であり, $m\ne n\Rightarrow U_m\cap U_n=\varnothing$を満たしている.

D.R.空間$X$の開かつ閉集合$U$に対し, $U$がD.R.となることが定義から分かる. そして, 0-次元であることの定義から, このような$U$は$X$の開基を成す.

$\mathbb{X}={\iota }_0(\mathbb{Q})\cup {\iota }_1(\mathbb{Q})$は開被覆であり, $\mathbb{Q}\simeq {\iota }_i(\mathbb{Q})$は$T_1$かつL.D.R.である. このことから主張が従う.

$\mathbb{X}$が0-次元であると仮定する. ${\iota }_0(0)\in U\subset {\iota }_0(\mathbb{Q})$となる$\mathbb{X}$の開かつ閉集合$U$がとれる. ある正の実数$\epsilon$が存在して${\iota }_0((-\epsilon ,\epsilon )\cap \mathbb{Q})\subset U$となる. 一方${\iota }_1(0)\notin U$なので, ある正の実数$\delta$が存在して${\iota }_1((-\delta ,\delta )\cap \mathbb{Q})\cap U=\varnothing$となる. 特に${\iota }_0((-\epsilon ,\epsilon )\cap \mathbb{Q})\cap {\iota }_1((-\delta ,\delta )\cap \mathbb{Q})=\varnothing$となっているが, $max\{-\epsilon ,-\delta \}<q<0$なる有理数$q\in \mathbb{Q}$をとると${\iota }_0(q)\in {\iota }_0((-\epsilon ,\epsilon )\cap \mathbb{Q})\cap {\iota }_1((-\delta ,\delta )\cap \mathbb{Q})$なので, これは矛盾である.

位相空間$X$に対して, $\mathrm{S}\mathrm{h}(X)$が充分射影的対象をもつこととL.D.R.であることは同値であったので, 主張が従う.