SGL_Exercise4.15(e)の反例

恒等射$\mathcal{P}\arrow{id}\mathcal{P}$に対して, $\mathcal{P}$が射影的であることの定義から題意の$s$を取ることができる.

エピ射$\mathcal{G}\epi{p}\mathcal{F}$と射$\mathcal{P}\arrow{f}\mathcal{F}$を任意にとる. pullback
\begin{xy} \xymatrix{ \mathcal{P}\times_{\mathcal{F}}\mathcal{G}\ar[d]^-{p'}\ar[r]^-{f'}&\mathcal{G}\ar@{->>}[d]^-{p}\\ \mathcal{P}\ar[r]_-{f}&\mathcal{F} } \end{xy}
をとる. 各$x\in X$についてのstalkをとる.
\begin{xy} \xymatrix{ \mc{P}_x\times_{\mc{F}_x}\mc{G}_x\ar[d]^-{p'_x}\ar[r]^-{f'_x} & \mc{G}_x\ar@{->>}[d]^-{p_x}\\ \mc{P}_x\ar[r]_-{f_x} & \mc{F}_x } \end{xy}
stalkを取る操作は有限極限を保つので, これは集合の圏におけるpullback図式となり, $p_x$が全射であることから$p'_x$は全射である. ゆえに$p'$はエピ射である. よって仮定より$p'\circ s=id$を満たす射$\mathcal{P}\arrow{s}\mathcal{P}\times_{\mathcal{F}}\mathcal{G}$がとれるが, 可換図式
\begin{xy} \xymatrix{ & \mc{P}\times_{\mc{F}}\mc{G}\ar[d]^-{p'}\ar[r]^-{f'} & \mc{G}\ar@{->>}[d]^-{p}\\ \mc{P}\ar[ru]^-{s}\ar[r]_-{id} & \mc{P}\ar[r]_-{f} & \mc{F} } \end{xy}
により$\mathcal{P}$が射影的であることが示された.

$\mc{P_i}\arrow{f_i}\mc{F}$から定まる射$\coprod_{i\in I}\mc{P_i}\arrow{f}\mc{F}$と, エピ射$\mathcal{G}\epi{p}\mathcal{F}$を任意にとる. 各$i\in I$に対して, $\mc{P}_i$が射影的であることから$p\circ g_i=f_i$なる射$\mc{P}_i\arrow{g_i}\mc{G}$がとれる. すると, $(g_i)_{i\in I}$が定める射$\coprod_{i\in I}\mc{P_i}\arrow{g}\mc{G}$は$p\circ g=f$を満たす.

$i_0\in I$とエピ射$\mc{F}\epi{p}\mc{P}_{i_0}$を任意にとる. 射$\mc{F}\coprod (\coprod_{i\neq i_0}\mc{P}_i)\longarrow{p\coprod id}\mc{P}_{i_0}\coprod (\coprod_{i\neq i_0}\mc{P}_i)= \coprod_{i\in I}\mc{P}_i$を考え, 可換図式
$$ \begin{xy} \xymatrix{ \mc{F}\ar[d]\ar@{->>}[r]^-{p} & \mc{P}_{i_0}\ar[d]\\ \mc{F}\coprod(\coprod_{i\neq i_0}\mc{P}_i)\ar[r]^-{p\coprod id} & \coprod_{i\in I}\mc{P}_i } \end{xy}\tag{1} $$
を考える. ただし, 縦方向の射は余積への入射である. stalkをとる操作は余極限を保つので, 各$x\in X$についてのstalkをとると,
\begin{xy} \xymatrix{ \mc{F}_x\ar[d]\ar@{->>}[r]^-{p_x} & \mc{P}_{i_0,x}\ar[d]\\ \mc{F}_x\coprod(\coprod_{i\neq i_0}\mc{P}_{i,x})\ar[r]^-{p_x\coprod id} & \coprod_{i\in I}\mc{P}_{i,x} } \end{xy}
となる. これは集合の圏におけるpullback図式となっているので, 可換図式(1)は圏$\sh$におけるpullback図式である. また, $p_x\coprod id$は全射なので$p\coprod id$はエピ射である.
$\coprod_{i\in I}\mathcal{P}_i$が射影的という仮定から, $(p\coprod id)\circ s=id$となる射$\coprod_{i\in I}\mc{P}_i\longarrow{s}\mc{F}\coprod (\coprod_{i\neq i_0}\mc{P}_i)$がとれる.
\begin{xy} \xymatrix{ \mc{P}_{i_0}\ar[d]\ar@{->>}[rr]^-{id} && \mc{P}_{i_0}\ar[d]\\ \coprod_{i\in I}\mc{P}_i\ar[r]^-{s} & \mc{F}\coprod(\coprod_{i\neq i_0}\mc{P}_i)\ar[r]^-{p\coprod id} & \coprod_{i\in I}\mc{P}_i } \end{xy}
は可換なので, pullback図式(1)の普遍性により射$\mc{P}_{i_0}\arrow{t}\mc{F}$がとれる. $p\circ t=id$なので, 補題1より$\mc{P}_{i_0}$は射影的である.

上の注意(2)から, $U_i\subset U$の場合だけを考えれば良いことが分かる.
一般に, $yV$の$x\in X$についてのstalkは
$$ (yV)_x=\begin{cases} 1点集合~&(x\in V)\\ \varnothing~&(x\notin V) \end{cases} $$
である. さらに, 一般にstalkをとる操作は余極限を保つ. したがって$p$の$x\in X$についてのstalkは, $x\notin U$なら空射像(特に全射)であり, $x\in U$なら
$$ \{i\in I~|~x\in U_i\}=\coprod_{i\in I,x\in U_i}1点集合\longarrow{p_x}1点集合 $$
したがって, (2)$\Leftrightarrow$任意の$x\in U$に対し$p_x$が全射$\Leftrightarrow$(1).

$V:=\{x\in U~|~\mc{F}_x\neq\varnothing\}$とおく. stalkの定義から, 各$x\in V$に対し, 開近傍$U_x\subset U$と$s_x\in\mc{F}(U_x)$をとれる. すると,$V\subset\bigcup_{x\in V}U_x\subset V$より$V=\bigcup_{x\in V}U_x$. 特に$V$は開集合である. また, $\mc{F}\subset yU$ゆえ切断$\mc{F}(W)$は1点集合か空集合かのどちらかなので, 任意の$x,y\in V$に対し$s_x|_{U_x\cap U_y}=s_y|_{U_x\cap U_y}$. $\mc{F}$は層なので$(s_x)_{x\in V}$の貼り合わせが存在し, 特に$\mc{F}(V)\neq\varnothing$. よって
$$ \mc{F}(W)=\begin{cases} 1点集合~&(W\subset V)\\ \varnothing~&(otherwise) \end{cases} $$

$\mc{F}\in\sh$を任意にとる. $A:=\{(U,s)~|~yU:射影的, s\in\mc{F}(U)\}$とおく. 族$\{yU\arrow{s}\mc{F}\}_{(U,s)\in A}$が定める射$\coprod_{(U,s)\in A}yU\arrow{p}\mc{F}$を考える. 補題2より$\coprod_{(U,s)\in A}yU$は射影的. $p$の$x\in X$についてのstalkは, stalkをとる操作が余極限を保つことから次の自然な写像となる.
$$ \coprod_{(U,s)\in A}(yU)_x=\coprod_{(U,s)\in A,U\ni x}1点集合=\{(U,s)\in A~|~x\in U\}\longarrow{p_x}\mc{F}_x $$
仮定よりこれは全射であるから, pはエピ射である.

開集合$U_0$を任意にとる. 仮定より, 射影的層からのエピ射$\mc{P}\epi{p}yU_0$がある. $A:=\{(U,s)~|~s\in\mc{P}(U)\}$とおく. 族$\{yU\arrow{s}\mc{P}\}_{(U,s)\in A}$が定める射$\coprod_{(U,s)\in A}yU\arrow{q}\mc{P}$を考える. $(2)\Rightarrow (1)$の証明と同様の議論から, $q$はエピ射である. $\mc{P}$が射影的より, $q\circ m=id$となる射$\mc{P}\arrow{m}\coprod_{(U,s)\in A}yU$がとれる. 各入射$yU\arrow{i_{(U,s)}}\coprod_{(U,s)\in A}yU$ごとにpullback
\begin{xy} \xymatrix{ \mc{F}_{(U,s)}\ar[d]^-{f_{(U,s)}}\ar[r]^-{m_{(U,s)}} & yU\ar[d]^-{i_{(U,s)}}\\ \mc{P}\ar[r]^-{m} & \coprod_{(U,s)\in A}yU } \end{xy}
をとる. $m$がモノ射より$m_{(U,s)}$はモノ射なので, 補題4から開集合$V_{(U,s)}$により$\mc{F}_{(U,s)}=yV_{(U,s)}$となる. また, 一般に圏$\sh$におけるbase changeは余極限を保つので, $\{yV_{(U,s)}\arrow{f_{(U,s)}}\mc{P}\}_{(U,s)\in A}$は余積図式となる. このことはstalkをとることで直接示すこともできる.

今, $\coprod_{(U,s)\in A}yV_{(U,s)}=\mc{P}\epi{p}yU_0$となっているので, 補題3から$\bigcup_{(U,s)\in A}V_{(U,s)}=U_0$であり, しかも補題2より各$yV_{(U,s)}$は射影的である.

$\sh$における余積は, 前層としての(各点的な)余積に層化を施したものによって与えられる. また, 一般に前層$\mc{F}$の層化$\mc{F}^+$は次で与えられるのであった.
$$ \mc{F}^+(V):=\{写像V\arrow{\tau}\coprod_{x\in V}\mc{F}_x~|~\tauは次の(a)(b)を満たす\}\\ (a)~任意のx\in Vに対し, \tau(x)\in\mc{F}_x\\ (b)~各x\in Vに対し, 開近傍W\subset Vとs\in\mc{F}(W)があり, 任意の y\in Wに対し\tau(y)=s_y $$
このことから, 主張を示すことができる.

$U$の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$を任意にとる. 補題3よりエピ射$\coprod_{i\in I}yU_i\epi{}yU$があるので, $yU$が射影的であることから射$yU\rightarrow\coprod_{i\in I}yU_i$がとれる. 特に$(\coprod_{i\in I}yU_i)(U)\neq\varnothing$である. すなわち, 補題6から, 連続関数$U\arrow{\tau}I$であって$\forall x\in U,x\in U_{\tau(x)}$を満たすものが存在する. $V_i:=\tau^{-1}(i)$とおけば$\{V_i\}_{i\in I}$は$\{U_i\}_{i\in I}$の細分であり, $i\neq i'\Rightarrow V_i\cap V_{i'}=\varnothing$を満たす.

エピ射$\mc{F}\epi{p}yU$を任意にとる. $A:=\{(V,s)~|~s\in\mc{F}(V)\}=\{(U_i,s_i)\}_{i\in I}$とおく. 族$\{yU_i\arrow{s_i}\mc{F}\}_{i\in I}$が定める射$\coprod_{i\in I}yU_i\arrow{q}\mc{F}$を考える. 定理5の証明と同様の議論から, $q$はエピ射である. よってエピ射$\coprod_{i\in I}yU_i\epi{q}\mc{F}\epi{p}yU$を得たので, 補題3より$\bigcup_{i\in I}U_i=U$. $U$がD.R.より, $\{U_i\}_{i\in I}$の細分$\{V_j\}_{j\in J}$であって$j\neq j'\Rightarrow V_j\cap V_{j'}=\varnothing$を満たすものがとれる.

補題3よりエピ射$\coprod_{j\in J}yV_j\epi{}yU$があるが, この射の各点のstalkに誘導する写像は, $j\neq j'\Rightarrow V_j\cap V_{j'}=\varnothing$であることから単射でもあり, すなわち全単射となる.
したがって, $\coprod_{j\in J}yV_j=yU$を得た.

さて, $\{V_j\}_{j\in J}$が$\{U_i\}_{i\in I}$の細分であることから, 余積の普遍性によって射$yU=\coprod_{j\in J}yV_j\arrow{r}\coprod_{i\in I}yU_i$がある. 次の図式は, $yU$から$yU$への射が一意的であることから可換である.
\begin{xy} \xymatrix{ \coprod_{i\in I}yU_i\ar@{->>}[r]^-{q} & \mc{F}\ar@{->>}[r]^-{p} & yU \\ & yU\ar[lu]^-{r}\ar[ru]_-{id} } \end{xy}
したがって, 補題1より$yU$は射影的である.

$X$を$T_1$かつD.R.な位相空間とする. 開集合$U$と$x\in U$を任意にとる. $X$が$T_1$より$V:=X\backslash\{x\}$は開集合であり, $X=U\cup V$.

$X$がD.R.より, $\{U,V\}$の細分$\{U_i\}_{i\in I}$であって$i\neq i'\Rightarrow U_i\cap U_{i'}=\varnothing$を満たすものがとれる. ある$i_0\in I$が存在して$x\in U_{i_0}$となるが, 細分であることから$U_{i_0}\subset U$となるしかない. さらに$U_{i_0}=X\backslash\bigcup_{i\neq i_0}U_i$より, $U_{i_0}$は$X$の開かつ閉集合である.

$yX=1$であることに注意すると, 定理7から,
$1$が射影的$~\Leftrightarrow~$$X$がD.R.
よって, 補題8より主張が従う.

$X$を第2可算空間とし, $X$の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$を任意にとる. $A$が可算集合であるような開基$\{B_a\}_{a\in A}$がとれる. 開基の定義から, 部分集合$A'\subset A$であって, $\{B_a\}_{a\in A'}$が$\{U_i\}_{i\in I}$の細分となるものが存在する. すなわち, 写像$A'\arrow{\tau}I$であって$\forall a\in A',~B_a\subset U_{\tau(a)}$を満たすものがとれる. $J:=\tau(A')\subset I$とおけば, $J$は$I$の可算部分集合であり, $X=\bigcup_{j\in J}U_j$を満たす.

$X$をLindelöfかつ0-次元な位相空間とする. $X$の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$を任意にとる. $X$が0-次元より, 開かつ閉集合からなる族$\{V_j\}_{j\in J}$であって, $\{U_i\}_{i\in I}$の細分であるものが存在する. $X$がLindelöfであることから, $J=\mathbb{N}$としてしまって良い. $W_n:=V_n\backslash\{V_0\cup\dots\cup V_{n-1}\}$とおくと, $\{W_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は$\{U_i\}_{i\in I}$の細分であり, $m\neq n\Rightarrow U_m\cap U_n=\varnothing$を満たしている.

D.R.空間$X$の開かつ閉集合$U$に対し, $U$がD.R.となることが定義から分かる. そして, 0-次元であることの定義から, このような$U$は$X$の開基を成す.

$\mathbb{X}=\iota_{0}(\mathbb{Q})\cup\iota_{1}(\mathbb{Q})$は開被覆であり, $\mathbb{Q}\simeq\iota_{i}(\mathbb{Q})$は$T_1$かつL.D.R.である. このことから主張が従う.

$\mathbb{X}$が0-次元であると仮定する. $\iota_0(0)\in U\subset\iota_0(\mathbb{Q})$となる$\mathbb{X}$の開かつ閉集合$U$がとれる. ある正の実数$\varepsilon$が存在して$\iota_0((-\varepsilon,\varepsilon)\cap\mathbb{Q})\subset U$となる. 一方$\iota_1(0)\notin U$なので, ある正の実数$\delta$が存在して$\iota_1((-\delta,\delta)\cap\mathbb{Q})\cap U=\varnothing$となる. 特に$\iota_0((-\varepsilon,\varepsilon)\cap\mathbb{Q})\cap\iota_1((-\delta,\delta)\cap\mathbb{Q})=\varnothing$となっているが, $\max\{-\varepsilon,-\delta\}< q<0$なる有理数$q\in\mathbb{Q}$をとると$\iota_0(q)\in\iota_0((-\varepsilon,\varepsilon)\cap\mathbb{Q})\cap\iota_1((-\delta,\delta)\cap\mathbb{Q})$なので, これは矛盾である.

位相空間$X$に対して, $\sh$が充分射影的対象をもつこととL.D.R.であることは同値であったので, 主張が従う.