二重大野関係式とコネクター
手抜きです．
多重ゼータ値の関係式である，双対関係式，大野関係式，二重大野関係式の3つの関係式のコネクターを用いた証明を紹介します．
なお，煩雑さを回避するために以下では級数の収束性の議論を省いている箇所があります．気になるかたは自分の手で補完してみてください．
多重ゼータ値
非負整数の有限組$\boldsymbol{k}=(k_1, \cdots, k_r)$をインデックス(index)という．
$k_1+\cdots+k_r$を$\boldsymbol{k}$の重さ(weight)といい$\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})$で表す．
$r$を$\boldsymbol{k}$の深さ(depth)といい，$\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})$で表す．
深さ$0$のインデックスがただ一つ存在すると考え，これを$\varnothing$で表し空のインデックスという．$\mathrm{wt}(\varnothing)=\mathrm{dep}(\varnothing)=0$である．
$k_r\geq 2$のとき，$\boldsymbol{k}$を許容インデックスという．
許容インデックス$\boldsymbol{k}$に対し，$$ \zeta(\boldsymbol{k}) = \sum_{m_1<\cdots < m_r} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} $$で定まる実数を，$\boldsymbol{k}$に対する多重ゼータ値という．
空でないインデックス$\boldsymbol{k}=(k_1, \cdots, k_r)$に対し，$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{k}_{\rightarrow} &=& (k_1, \cdots, k_r, 1) \\ \boldsymbol{k}_{\uparrow} &=& (k_1, \cdots, k_r+1)\end{eqnarray}$$と定める．矢印が複数ついた場合には $$\begin{eqnarray} \boldsymbol{k}_{\rightarrow\uparrow} &=& (\boldsymbol{k}_\rightarrow)_\uparrow \\ \boldsymbol{k}_{\rightarrow\uparrow\uparrow} &=& ((\boldsymbol{k}_\rightarrow)_\uparrow)_\uparrow\end{eqnarray}$$などと解釈する．また，$\varnothing_{\rightarrow}=(1), \varnothing_\uparrow = \varnothing$とする．
許容インデックス$\boldsymbol{k}$は，正整数$a_1, \cdots, a_s, b_1, \cdots, b_s$を用いた次のような一意的な表示を持つ
^1
．
$$\boldsymbol{k} = \varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\rightarrow^{a_s}\uparrow^{b_s}}$$ここで，$\rightarrow^a, \uparrow^b$はそれぞれ$\underbrace{\rightarrow\cdots\rightarrow}_{a \text{ times}}, \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{b \text{ times}}$の省略記法である．この表示に対して定まる許容インデックス，$$\boldsymbol{k}^\dagger = \varnothing_{\rightarrow^{b_s}\uparrow^{a_s}\cdots\rightarrow^{b_1}\uparrow^{a_1}}$$
^2
を$\boldsymbol{k}$の双対インデックスという．
許容インデックス$\boldsymbol{k}$が$2d+1$個の非負整数$n_0, \cdots, n_{2d}$を用いて，$$\boldsymbol{k}=(1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}\uparrow}$$と書けるとき，$\boldsymbol{k}$をBBBL型のインデックスという ^3 ．このとき，$\boldsymbol{k}$の双対は，$$\boldsymbol{k}^\dagger = (1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d-2}}\cdots\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\uparrow}$$で与えられる ^4 ．
許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1, \cdots, k_r)$と非負整数$e$に対して定まる和
$$O_e(\boldsymbol{k}) = \sum_{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=e} \zeta(\boldsymbol{k} \oplus \boldsymbol{e})$$を大野和という．和は$\mathrm{dep}(\boldsymbol{e})=r$となるインデックスを亙り，$\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e}$は成分どうしの和を表す．
許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1, \cdots, k_r)$と非負整数$e_1, e_2$に対して定まる和
$$O_{e_1, e_2}(\boldsymbol{k}) = \sum_{\substack{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e}_1)=e_1\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{e}_2)=e_2}} \zeta(\boldsymbol{k} \oplus \boldsymbol{e}_1 \oplus \boldsymbol{e}_2)$$を二重大野和という．和は$\mathrm{dep}(\boldsymbol{e}_1)=\mathrm{dep}(\boldsymbol{e}_2)=r$となるインデックスを亙る．
双対関係式
双対関係式に関する証明は，大野関係式のそれとほとんど同様にできるので省略する．
$\boldsymbol{k}$を許容インデックスとするとき，以下の関係式が成り立つ．
$$\zeta(\boldsymbol{k}) = \zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger})$$
双対関係式のコネクター$c(m, n)$を次で定義する．
$$c(m, n) = \frac{m!n!}{(m+n)!}$$
双対関係式の連結和$Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l})$を次で定義する．
$$Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}) = \sum_{\substack{0=m_0< m_1 < \cdots < m_r\\0= n_0 < n_1 < \cdots < n_s}}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\cdot c(m_r, n_s) \cdot \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}}$$明らかに$Z$は$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$について対称である．
許容インデックス$\boldsymbol{k}$に対し以下が成り立つ．
$$Z(\boldsymbol{k}; \varnothing) = Z(\varnothing; \boldsymbol{k}) = \zeta(\boldsymbol{k})$$
インデックス$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$に対し，以下の関係式が成り立つ．
$$\begin{eqnarray}
Z(\boldsymbol{k}_\rightarrow; \boldsymbol{l}) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_\uparrow) \\
Z(\boldsymbol{k}_\uparrow; \boldsymbol{l}) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_\rightarrow)\end{eqnarray}$$ただし，(1)では$\boldsymbol{l}$は空でなく，(2)では$\boldsymbol{k}$は空でない．
大野関係式
$\boldsymbol{k}$を許容インデックス，$e$を非負整数とするとき，以下の関係式が成り立つ．
$$O_e(\boldsymbol{k}) = O_e(\boldsymbol{k}^\dagger)$$
$|x|<1$に対し，$Z(\boldsymbol{k}; x)$を
$$Z(\boldsymbol{k}; x) = \sum_{0=m_0< m_1 < \cdots < m_r}\prod_{i=1}^r{\frac{1}{(n_i-x)n_i^{k_i-1}}}$$と定義する．これは大野和の母関数である．すなわち，$$Z(\boldsymbol{k}; x) = \sum_{e=0}^\infty{O_e(\boldsymbol{k})x^e}$$が成り立つ．
無限等比級数の公式より，$$\sum_{c_i=0}^\infty\frac{x^{c_i}}{n_i^{k_i+c_i}} = \frac{1}{(n_i-x)n_i^{k_i-1}}$$であるから， $$\begin{eqnarray} Z(\boldsymbol{k}; x) &=& \sum_{0=m_0 < m_1 < \cdots < m_r}\prod_{i=1}^r{\frac{1}{(n_i-x)n_i^{k_i-1}}} \\ &=& \sum_{0=m_0 < m_1 < \cdots < m_r}\prod_{i=1}^r\sum_{c_i=0}^\infty\frac{x^{c_i}}{n_i^{k_i+c_i}} \\ &=& \sum_{0=m_0 < m_1 < \cdots < m_r}\sum_{e=0}^\infty\sum_{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=e}\left(\prod_{i=1}^r\frac{1}{n_i^{k_i+e_i}}\right)x^e \\ &=& \sum_{e=0}^\infty\left(\sum_{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=e}\sum_{0=m_0 < m_1 < \cdots < m_r}\left(\prod_{i=1}^r\frac{1}{n_i^{k_i+e_i}}\right)\right)x^e \\ &=& \sum_{e=0}^\infty{O_e(\boldsymbol{k})x^e}\end{eqnarray}$$ となる．
大野関係式のコネクター$c(m, n; x)$を次で定義する．
$$c(m, n; x) = \frac{(1-x)_m(1-x)_n}{(1-x)_{m+n}}$$
大野関係式の連結和$Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}; x)$を次で定義する．
$$Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}; x) = \sum_{\substack{0=m_0 < m_1 < \cdots < m_r\\0=n_0 < n_1 < \cdots < n_s}}\left(\prod_{i=1}^r{\frac{1}{(m_i-x)m_i^{k_i-1}}}\right)\cdot c(m_r, n_s; x) \cdot \left(\prod_{j=1}^s{\frac{1}{(n_j-x)n_j^{l_j-1}}}\right)$$明らかに$Z$は$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$について対称である．
許容インデックス$\boldsymbol{k}$に対し以下が成り立つ．
$$Z(\boldsymbol{k}; \varnothing; x) = Z(\varnothing; \boldsymbol{k} ; x) = Z(\boldsymbol{k}; x)$$
インデックス$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$に対し，以下の関係式が成り立つ．
$$\begin{eqnarray}
Z(\boldsymbol{k}_\rightarrow; \boldsymbol{l}; x) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_\uparrow; x) \\
Z(\boldsymbol{k}_\uparrow; \boldsymbol{l}; x) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_\rightarrow; x)\end{eqnarray}$$ただし，(3)では$\boldsymbol{l}$は空でなく，(4)では$\boldsymbol{k}$は空でない．
望遠鏡和を考えることで，$$\sum_{a=m+1}^\infty\frac{1}{a-x}\frac{(1-x)_a(1-x)_n}{(1-x)_{a+n}} = \frac{1}{m}\frac{(1-x)_m(1-x)_n}{(1-x)_{m+n}}$$が成り立つ．$a=m_{r+1}, m=m_r, n=n_s$としたものを考えればよい．
$\boldsymbol{k} = \varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\rightarrow^{a_s}\uparrow^{b_s}}$とするとき，輸送関係式を繰り返し用いることで，$$\begin{eqnarray} Z(\boldsymbol{k}; x) &=& Z(\boldsymbol{k};\varnothing;x) \\ &=& Z(\varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\uparrow^{b_{s-1}}\rightarrow^{a_s}\uparrow^{b_s}};\varnothing;x) \\ &=& Z(\varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\uparrow^{b_{s-1}}\rightarrow^{a_s}\uparrow^{b_s-1}}; \varnothing_{\rightarrow}; x) \\ &=& \cdots \\ &=& Z(\varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\uparrow^{b_{s-1}}\rightarrow^{a_s}}; \varnothing_{\rightarrow^{b_s}}, 1); x) \\ &=& Z(\varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\uparrow^{b_{s-1}}\rightarrow^{a_s-1}}; \varnothing_{\rightarrow^{b_s}\uparrow}; x) \\ &=& \cdots \\ &=& Z(\varnothing_{\rightarrow^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\uparrow^{b_{s-1}}}; \varnothing_{\rightarrow^{b_s}\uparrow^{a_s}}; x) \\ &=& \cdots \\ &=& Z(\varnothing; \varnothing_{\rightarrow^{b_s}\uparrow^{a_s}\cdots\rightarrow^{b_1}\uparrow^{a_1}}; x) \\ &=& Z(\varnothing; \boldsymbol{k}^\dagger; x) \\ &=& Z(\boldsymbol{k}^\dagger; x)\end{eqnarray}.$$
二重大野関係式
$\boldsymbol{k}$をBBBL型のインデックス，$e_1, e_2$を非負整数とするとき，以下の関係式が成り立つ．
$$O_{e_1, e_2}(\boldsymbol{k}) = O_{e_1, e_2}(\boldsymbol{k}^\dagger)$$
$|x|<1, |y|<1$に対し，$Z(\boldsymbol{k}; x, y)$を
$$Z(\boldsymbol{k}; x, y) = \sum_{0 = m_0 < m_1 < \cdots < m_r}\prod_{i=1}^r{\frac{1}{(n_i-x)(n_i-y)n_i^{k_i-2}}}$$と定義する．これは二重大野和の母関数である．すなわち，$$Z(\boldsymbol{k}; x, y) = \sum_{e_1,e_2=0}^\infty{O_{e_1, e_2}(\boldsymbol{k})x^{e_1}y^{e_2}}$$が成り立つ．
証明は大野関係式の場合と同様である．
二重大野関係式のコネクター$c(m, n; x, y)$を次で定義する．
$$c(m, n; x, y) = \frac{(1-x)_m(1-y)_m(1-x)_n(1-y)_n}{m!n!(1-x-y)_{m+n}}$$
二重大野関係式の連結和$Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}; x, y)$を次で定義する．
$$Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}; x, y) = \sum_{\substack{0= m_0 < m_1 < \cdots < m_r\\0 = n_0 < n_1 < \cdots < n_s}}\left(\prod_{i=1}^r{\frac{1}{(m_i-x)(m_i-y)m_i^{k_i-2}}}\right)\cdot c(m_r, n_s; x, y) \cdot \left(\prod_{j=1}^s{\frac{1}{(n_j-x)(n_j-y)n_j^{l_j-2}}}\right)$$明らかに$Z$は$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$について対称である．
空でないインデックス$\boldsymbol{k}$に対し，以下が成り立つ．
$$Z(\boldsymbol{k}; (1); x, y) = Z((1); \boldsymbol{k} ; x, y) = \frac{\Gamma(1-x-y)}{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)} \cdot Z(\boldsymbol{k}_\uparrow; x, y)$$
$m$を正整数とする．Gaussの超幾何定理より，
$$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(n-x)(n-y)}\cdot c(m, n; x, y) &= \frac{(1-x)_m(1-y)_m}{m!(1-x-y)_{m+1}}\sum_{n=1}^\infty\frac{(1-x)_{n-1}(1-y)_{n-1}}{(m+2-x-y)_{n-1}(n-1)!} \\
&= \frac{(1-x)_m(1-y)_m}{m!(1-x-y)_{m+1}} {}_2F_1(1-x,1-y;m+2-x-y;1) \\ &= \frac{(1-x)_m(1-y)_m}{m!(1-x-y)_{m+1}} \frac{\Gamma(m+1-x-y)\Gamma(m)}{\Gamma(m+1-y)\Gamma(m+1-x)} \\ &= \frac{1}{m}\frac{\Gamma(1-x-y)}{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}\end{align}
$$
である．$n=n_1, m=m_r$としたものを考えればよい．
空でないインデックス$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$に対し，以下の関係式が成り立つ．
$$\begin{eqnarray}
Z(\boldsymbol{k}_\rightarrow; \boldsymbol{l}; x, y) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_\uparrow; x, y) + xyZ(\boldsymbol{k}_{\rightarrow\uparrow}; \boldsymbol{l}_\uparrow; x, y) \\
Z(\boldsymbol{k}_\uparrow; \boldsymbol{l}; x, y) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_\rightarrow; x, y) - xyZ(\boldsymbol{k}_\uparrow; \boldsymbol{l}_{\rightarrow\uparrow};x, y)\end{eqnarray}$$
望遠鏡和を考えることで，$$\sum_{a=m+1}^\infty\frac{c(a, n; x, y)}{(a-x)(a-y)}\left(a-\frac{xy}{m}\right) = \frac{1}{n}c(m, n; x, y)$$が成り立つ．$a=m_{r+1}, m=m_r, n=n_s$としたものを考えればよい．
空でないインデックス$\boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$に対し，以下の関係式が成り立つ．
$$\begin{eqnarray}
Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow\uparrow}; \boldsymbol{l}; x, y) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_{\rightarrow\uparrow}; x, y) \\
Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow\rightarrow}; \boldsymbol{l}; x, y) &=& Z(\boldsymbol{k}; \boldsymbol{l}_{\uparrow\rightarrow}; x, y)\end{eqnarray}$$
$$c_{x, y} = \frac{\Gamma(1-x-y)}{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}$$とおく．$\boldsymbol{k}=(1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}\uparrow}$とするとき，境界条件と輸送関係式を用いることで，$$\begin{eqnarray} c_{x, y} Z(\boldsymbol{k}; x, y) &=& Z((1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}}; (1); x, y) \\ &=& Z((1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}-1}}; (1)_{\uparrow\rightarrow}; x, y) \\ &=& \cdots \\ &=& Z((1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d-2}}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}}; (1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}}; x, y) \\ &=& Z((1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d-2}}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}-1}}; (1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}\rightarrow\uparrow}; x, y) \\ &=& \cdots \\ &=& Z((1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_2}\cdots\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d-2}}}; (1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}}; x, y) \\ &=& \cdots \\ &=& Z((1); (1)_{\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d}}\{\rightarrow\uparrow\}^{n_{2d-1}}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_{2d-2}}\cdots\{\rightarrow\uparrow\}^{n_1}\{\uparrow\rightarrow\}^{n_0}}; x, y) \\ &=& c_{x, y} Z(\boldsymbol{k}^\dagger; x, y)\end{eqnarray}$$ が成り立つ．
参考文献
- S. Seki, S. Yamamoto, A new proof of the duality of multiple zeta values and its generalizations，
arXiv:1806.04679
.
[2] M. Hirose, N. Sato, S. Seki, The connector for Double Ohno relation, arXiv:2006.09036 .
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