【疑問】 weak parametrized NNO について。

助けて。

以下、terminalとbinary productをすべて持つcategoryで考える。

Notation

binary product $A\times B$ について、 $A$への射影を$p_{A,B}$、$B$への射影を$q_{A,B}$で表すことにする。またterminal object を$T$、$A$から$T$へのuniqueな射を$!_A$と書く。

weak parametrized NNO

\begin{CD} T @>{z}>> N @>{S}>> N \end{CD}
がweak parametrized NNOであるとは、任意の
\begin{CD} A @>{g}>> B @>{f}>> B \end{CD}
に対し次のような$k:N\times A\rightarrow B$が少なくとも1本存在することを言う。
\begin{CD} A @>{\langle z!_A,\mathsf{id}_A\rangle}>> N\times A @>{\langle Sp_{N,A},q_{N,A}\rangle}>> N\times A \\ @|{\circlearrowright} @VV{k}V{\circlearrowright} @VV{k}V \\ A @>{g}>> B @>{f}>> B \end{CD}

本題

\begin{CD} T @>{z}>> N @>{S}>> N \end{CD}
をweak parametrized NNOとする。

このとき任意に固定した$g:X\times A\rightarrow B$と$f:X\times B\rightarrow B$に対し、次のような$\beta:N\times(X\times A)\rightarrow B$は存在するか？
\begin{CD} X\times A @>{\langle z!_{X\times A},\mathsf{id}_{X\times A}\rangle}>> N\times (X\times A) @>{\langle Sp_{N,X\times A},q_{N,X\times A}\rangle}>> N\times (X\times A) \\ @|{\circlearrowright} @VV{\langle p_{X,A}q_{N,X\times A},\beta\rangle}V{\circlearrowright} @VV{\langle p_{X,A}q_{N,X\times A},\beta\rangle}V \\ X\times A @>{\langle p_{X,A},g\rangle}>> X\times B @>{\langle p_{X,B},f\rangle}>> X\times B \end{CD}

わかってること

weak parametrized NNOの定義に現れる$k$にuniquenessを課せば、条件を満たす$\beta$がuniqueに存在することが言える。定義を見つめるとわかる。

categoryがcartesian closedなら条件を満たす$\beta$が存在することが言える。わさわさ書いてみるとできる。

零対象を持つ圏においてweak parametrized NNOが存在するための必要十分条件は、すべてのobjectが同型、つまり1点からなる自明な圏に同値であること。ぐえぐえ。(4/8 更新)

背景

terminalとbianary productを持つcategoryには良い拡張が知られている( nLabの当該のページ )のだが、上の問題はこの拡張においてweak parametrized NNOは保存されるか？という問題を言い換えたものになっている。