【疑問】 weak parametrized NNO について。
助けて。
以下、terminalとbinary productをすべて持つcategoryで考える。
Notation
binary product $A\times B$ について、 $A$への射影を$p_{A,B}$、$B$への射影を$q_{A,B}$で表すことにする。またterminal object を$T$、$A$から$T$へのuniqueな射を$!_A$と書く。
weak parametrized NNO
\begin{CD}
T @>{z}>> N @>{S}>> N
\end{CD}
がweak parametrized NNOであるとは、任意の
\begin{CD}
A @>{g}>> B @>{f}>> B
\end{CD}
に対し次のような$k:N\times A\rightarrow B$が少なくとも1本存在することを言う。
\begin{CD}
A @>{\langle z!_A,\mathsf{id}_A\rangle}>> N\times A @>{\langle Sp_{N,A},q_{N,A}\rangle}>> N\times A \\
@|{\circlearrowright} @VV{k}V{\circlearrowright} @VV{k}V \\
A @>{g}>> B @>{f}>> B
\end{CD}
本題
\begin{CD}
T @>{z}>> N @>{S}>> N
\end{CD}
をweak parametrized NNOとする。
このとき任意に固定した$g:X\times A\rightarrow B$と$f:X\times B\rightarrow B$に対し、次のような$\beta:N\times(X\times A)\rightarrow B$は存在するか？
\begin{CD}
X\times A @>{\langle z!_{X\times A},\mathsf{id}_{X\times A}\rangle}>> N\times (X\times A) @>{\langle Sp_{N,X\times A},q_{N,X\times A}\rangle}>> N\times (X\times A) \\
@|{\circlearrowright} @VV{\langle p_{X,A}q_{N,X\times A},\beta\rangle}V{\circlearrowright} @VV{\langle p_{X,A}q_{N,X\times A},\beta\rangle}V \\
X\times A @>{\langle p_{X,A},g\rangle}>> X\times B @>{\langle p_{X,B},f\rangle}>> X\times B
\end{CD}
わかってること
weak parametrized NNOの定義に現れる$k$にuniquenessを課せば、条件を満たす$\beta$がuniqueに存在することが言える。定義を見つめるとわかる。
categoryがcartesian closedなら条件を満たす$\beta$が存在することが言える。わさわさ書いてみるとできる。
零対象を持つ圏においてweak parametrized NNOが存在するための必要十分条件は、すべてのobjectが同型、つまり1点からなる自明な圏に同値であること。ぐえぐえ。(4/8 更新)
背景
terminalとbianary productを持つcategoryには良い拡張が知られている( nLabの当該のページ )のだが、上の問題はこの拡張においてweak parametrized NNOは保存されるか？という問題を言い換えたものになっている。