ある非可換方程式の族とその解

序

この記事ではカッツ・ムーディ代数の関係式の一部から作った、
ある非可換方程式の族を解きます。

準備

交換関係と反交換関係

$$\begin{gathered} [X,Y]=XY-YX \\ \{X,Y\}=XY+YX \end{gathered}$$

小文字大文字

小文字は標数2でない体$\mathit{K}$の元とする。
大文字は非可換量とします。
以下での添字の添字集合は高々可算集合です。
${\delta }_{i,k}$はクロネッカーのデルタです。

非可換方程式$1$

すべての$i$に対して$a_{i,k}\ne 0$である$k$は有限

$$\begin{gathered} [H_i,H_k]=[J_i,J_k]=0 \\ [E_i,F_k]={\delta }_{i,k}\frac{\{H_i,J_i\}}{2} \\ [H_i,E_k]=a_{i,k}\{E_k,J_k\} \\ [H_i,F_k]=-a_{i,k}\{F_k,J_k\} \\ [E_i,E_k]=[F_i,F_k]=0 \end{gathered}$$

方程式の解

$A_i,B_i,P_i$を次の定義を満たす非可換量とする。

$$\begin{gathered} [A_i,P_k]=[B_i,P_k]=0 \\ {P}_i{P}_k={\delta }_{i,k}{P}_i \end{gathered}$$

例
$A_i,B_i$は直和ベクトル空間${\oplus }_i{\mathit{V}}_i$の自己線形変換
$A_k{\mathit{V}}_i\subset {\mathit{V}}_i$
$B_k{\mathit{V}}_i\subset {\mathit{V}}_i$
$P_i$は添字$i$の直和成分への射影演算子

解

$$\begin{gathered} E_i=a_{i,i}{A}_i{P}_i \\ {F}_i=(-B_i{A}_i{B}_i+{\lambda }_i{B}_i)P_i \\ {H}_i=\sum _n{a}_{i,n}({\lambda }_n-\{A_n,B_n\})P_n \\ {J}_i=[A_i,B_i]P_i \end{gathered}$$

解２

すべての$i$に対して$a_{i,i}\ne 0$の場合
$$\begin{gathered} E_i=\frac{1}{a_{i,i}}{A}_i{P}_i \\ {F}_i=(-B_i{A}_i{B}_i+{\lambda }_i{B}_i)P_i \\ {H}_i=({\lambda }_i-\{A_i,B_i\})P_i \\ {J}_i=\sum _{n \\ {a}_{i,n}\ne 0}\frac{1}{a_{i,n}}[A_n,B_n]P_n \end{gathered}$$

非可換方程式$2$

すべての$i$に対して$a_{i,k}\ne 0$である$k$は有限

$$\begin{gathered} [H_i,H_k]=[J_i,J_k]=0 \\ [E_i,F_k]={\delta }_{i,k}{J}_i \\ [H_i,E_k]=a_{i,k}\{E_k,J_k\} \\ [H_i,F_k]=-a_{i,k}\{F_k,J_k\} \\ [E_i,E_k]=[F_i,F_k]=0 \end{gathered}$$

方程式の解

$A_i,B_i$を次の定義を満たす非可換量とする。

$$\begin{gathered} [A_i,A_k]=[B_i,B_k]=0 \\ [A_i,B_k]={\delta }_{i,k}[A_i,B_i] \end{gathered}$$
例
$A_i,B_i$は直和ベクトル空間${\oplus }_i{\mathit{V}}_i$の自己線形変換で、
添字$i$の直和成分以外は
定数倍で作用するもの。

解

$$\begin{gathered} H_i=\sum _k{a}_{i,k}({\lambda }_k-\{A_k,B_k\}) \\ {J}_i=[A_i,B_i] \\ {E}_i=A_i \\ {F}_i=B_i \end{gathered}$$

非可換方程式$3$

$$\begin{gathered} [H_i,H_k]=[J_i,J_k]=0 \\ [H_i,J_k]={\delta }_{i,k}[H_i,J_i] \\ [E_i,F_k]={\delta }_{i,k}\frac{\{H_i,J_i\}}{2} \\ [H_i,E_k]={\delta }_{i,k}\{E_k,J_k\} \\ [H_i,F_k]=-{\delta }_{i,k}\{F_k,J_k\} \\ [E_i,E_k]=[F_i,F_k]=0 \end{gathered}$$

方程式の解

$A_i,B_i$を次の定義を満たす非可換量とする。

$$\begin{gathered} [A_i,A_k]=[B_i,B_k]=0 \\ [A_i,B_k]={\delta }_{i,k}[A_i,B_i] \end{gathered}$$

解

$$\begin{gathered} E_i=A_i \\ {F}_i=-B_i{A}_i{B}_i+{\lambda }_i{B}_i \\ {H}_i={\lambda }_i-\{A_i,B_i\} \\ {J}_i=[A_i,B_i] \end{gathered}$$

非可換方程式$4$

すべての$i$に対して$a_{i,k}\ne 0$である$k$は有限,
$b_{i,k},c_{i,k}$は非負整数

$$\begin{gathered} [H_i,H_k]=[J_i,J_k]=0 \\ [H_i,J_k]={\delta }_{i,k}[H_i,J_i] \\ 2[E_i,F_k]={\delta }_{i,k}\{H_i,J_i\} \\ [H_i,E_k]=a_{i,k}\{E_k,J_k\} \\ [H_i,F_k]=-a_{i,k}\{F_k,J_k\} \\ i\ne kのとき\underset{1+b_{i,k}}{\underbrace{[E_i,[E_i,[E_i,\cdot \cdot \cdot \cdot E_k}}]]]=0 \\ i\ne kのとき\underset{1+c_{i,k}}{\underbrace{[F_i,[F_i,[F_i,\cdot \cdot \cdot \cdot F_k}}]]]=0 \end{gathered}$$

方程式の解

$A_i,B_i$は非可換量
$R_{i,i}=1$
$i\ne n$なら
$P_i,Q_i,R_{i,n}$は可換な零因子

$$\begin{gathered} R_{i,n}{R}_{k,m}={\delta }_{i,k}{\delta }_{n,m}{R}_{i,n}^2 \\ {P}_i{Q}_k={\delta }_{i,k}{P}_i{Q}_i \\ {P}_i{R}_{k,m}={\delta }_{i,k}{P}_i{R}_{i,m}={\delta }_{i,k}{\delta }_{i,m}{P}_i \\ {Q}_i{R}_{k,m}={\delta }_{i,k}{Q}_i{R}_{i,m}={\delta }_{i,k}{\delta }_{i,m}{Q}_i \\ i\ne kのとき \\ {P}_i^{b_{i,k}}{P}_k=Q_i^{c_{i,k}}{Q}_k=0 \end{gathered}$$

解

$$\begin{gathered} E_i=a_{i,i}{A}_i{P}_i \\ {F}_i=(-B_i{A}_i{B}_i+{\lambda }_i{B}_i)Q_i \\ {H}_i=\sum _n{a}_{i,n}({\lambda }_n-\{A_n,B_n\})R_{i,n} \\ {J}_i=[A_i,B_i]P_i{Q}_i \end{gathered}$$

解2

すべての$i$に対して$a_{i,i}\ne 0$の場合

$$\begin{gathered} E_i=\frac{1}{a_{i,i}}{A}_i{P}_i \\ {F}_i=(-B_i{A}_i{B}_i+{\lambda }_i{B}_i)Q_i \\ {H}_i=({\lambda }_i-\{A_i,B_i\})P_i{Q}_i \\ {J}_i=\sum _{n \\ {a}_{i,n}\ne 0}\frac{1}{a_{i,n}}[A_n,B_n]R_{i,n} \end{gathered}$$

方程式の自己同型変換

方程式$1,2,3$は次のような自己同型変換を持つ。

生成元の入れ替え

$${\theta }_1=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{E}_i⟶F_i\\ F_i⟶E_i\\ H_i⟶-H_i\\ J_i⟶J_i\end{array}\end{array}$$
$${\theta }_2=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{E}_i⟶F_i\\ F_i⟶E_i\\ H_i⟶H_i\\ J_i⟶-J_i\end{array}\end{array}$$

スカラー倍

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{E}_i⟶e_i{E}_i\\ F_i⟶f_i{F}_i\\ H_i⟶j_i{H}_i\\ J_i⟶j_i{J}_i\end{array}\end{array}$$

$e_i,f_i,j_i$は
$e_i{f}_i=j_i^2$かつ$0$でない場合、方程式$1,3$の自己同型変換
$e_i{f}_i=j_i$かつ$0$でない場合、方程式$2$の自己同型変換

終わりに代えて

証明は需要があれば書きます。