ある非可換方程式の族とその解

序

この記事ではカッツ・ムーディ代数の関係式の一部から作った、
ある非可換方程式の族を解きます。

準備

交換関係と反交換関係

$$ \lbrack X,Y \rbrack =XY-YX \\ \lbrace X,Y \rbrace=XY+YX $$

小文字大文字

小文字は標数2でない体$ \boldsymbol{K}$の元とする。
大文字は非可換量とします。
以下での添字の添字集合は高々可算集合です。
$\delta_{i,k}$はクロネッカーのデルタです。

非可換方程式$1$

すべての$i$に対して$a_{i,k} \neq 0$である$k$は有限

$$\lbrack H_i,H_k \rbrack =\lbrack J_i,J_k \rbrack =0\\ \lbrack E_i,F_k \rbrack=\delta_{i,k}\frac{\lbrace H_i,J_i \rbrace}{2}\\ \lbrack H_i,E_k \rbrack=a_{i,k}\lbrace E_k,J_k \rbrace\\ \lbrack H_i,F_k \rbrack=-a_{i,k}\lbrace F_k,J_k \rbrace\\ \lbrack E_i,E_k \rbrack=\lbrack F_i,F_k \rbrack=0 $$

方程式の解

$A_i,B_i,P_i$を次の定義を満たす非可換量とする。

$$\\ \lbrack A_i,P_k \rbrack=\lbrack B_i,P_k \rbrack=0 \\ P_iP_k=\delta_{i,k}P_i\ $$

例
$A_i,B_i$は直和ベクトル空間$ \oplus _{i} \boldsymbol{ V }_i$の自己線形変換
$A_k\boldsymbol{ V }_i \subset \boldsymbol{ V }_i$
$B_k\boldsymbol{ V }_i \subset \boldsymbol{ V }_i$
$P_i$は添字$i$の直和成分への射影演算子

解

$$E_i=a_{i,i}A_iP_i\\ F_i=(-B_iA_iB_i+ \lambda_i B_i)P_i\\ H_i= \sum_na_{i,n}(\lambda_n-\lbrace A_n,B_n \rbrace)P_n\\ J_i=\lbrack A_i,B_i \rbrack P_i $$

解２

すべての$i$に対して$a_{i,i}\neq0$の場合
$$ E_i=\frac{1}{a_{i,i}}A_iP_i\\ F_i=(-B_iA_iB_i+ \lambda_i B_i)P_i\\ H_i= (\lambda_i-\lbrace A_i,B_i \rbrace)P_i\\ J_i=\sum_{n\\a_{i,n}\neq0}\frac{1}{a_{i,n}}\lbrack A_n,B_n \rbrack P_n $$

非可換方程式$2$

すべての$i$に対して$a_{i,k} \neq 0$である$k$は有限

$$\lbrack H_i,H_k \rbrack =\lbrack J_i,J_k \rbrack =0\\ \lbrack E_i,F_k \rbrack=\delta_{i,k}J_i \\ \lbrack H_i,E_k \rbrack=a_{i,k}\lbrace E_k,J_k \rbrace\\ \lbrack H_i,F_k \rbrack=-a_{i,k}\lbrace F_k,J_k \rbrace\\ \lbrack E_i,E_k \rbrack=\lbrack F_i,F_k \rbrack=0 $$

方程式の解

$A_i,B_i$を次の定義を満たす非可換量とする。

$$\lbrack A_i,A_k \rbrack =\lbrack B_i,B_k \rbrack=0 \\ \lbrack A_i,B_k \rbrack=\delta_{i,k}\lbrack A_i,B_i \rbrack\\ $$
例
$A_i,B_i$は直和ベクトル空間$ \oplus _{i} \boldsymbol{ V }_i$の自己線形変換で、
添字$i$の直和成分以外は
定数倍で作用するもの。

解

$$ H_i= \sum_{k}a_{i,k}(\lambda_k-\lbrace A_k,B_k \rbrace)\\ J_i=\lbrack A_i,B_i \rbrack\\ E_i=A_i\\ F_i= B_i\\ $$

非可換方程式$3$

$$\lbrack H_i,H_k \rbrack =\lbrack J_i,J_k \rbrack =0\\ \lbrack H_i,J_k \rbrack =\delta_{i,k}\lbrack H_i,J_i \rbrack \\ \lbrack E_i,F_k \rbrack=\delta_{i,k}\frac{\lbrace H_i,J_i \rbrace}{2}\\ \lbrack H_i,E_k \rbrack=\delta_{i,k}\lbrace E_k,J_k \rbrace\\ \lbrack H_i,F_k \rbrack=-\delta_{i,k}\lbrace F_k,J_k \rbrace\\ \lbrack E_i,E_k \rbrack=\lbrack F_i,F_k \rbrack=0 $$

方程式の解

$A_i,B_i$を次の定義を満たす非可換量とする。

$$\lbrack A_i,A_k \rbrack =\lbrack B_i,B_k \rbrack=0\\ \lbrack A_i,B_k \rbrack=\delta_{i,k}\lbrack A_i,B_i \rbrack\\ $$

解

$$E_i=A_i\\ F_i=-B_iA_iB_i+ \lambda_i B_i\\ H_i= \lambda_i-\lbrace A_i,B_i \rbrace\\ J_i=\lbrack A_i,B_i \rbrack $$

非可換方程式$4$

すべての$i$に対して$a_{i,k} \neq 0$である$k$は有限,
$b_{i,k},c_{i,k}$は非負整数

$$\lbrack H_i,H_k \rbrack =\lbrack J_i,J_k \rbrack =0\\ \lbrack H_i,J_k \rbrack =\delta_{i,k}\lbrack H_i,J_i \rbrack \\ 2\lbrack E_i,F_k \rbrack=\delta_{i,k}\lbrace H_i,J_i \rbrace\\ \lbrack H_i,E_k \rbrack=a_{i,k}\lbrace E_k,J_k \rbrace\\ \lbrack H_i,F_k \rbrack=-a_{i,k}\lbrace F_k,J_k \rbrace\\ \\ i\neq k のとき \underbrace{\lbrack E_i, \lbrack E_i ,\lbrack E_i , \cdot\cdot\cdot\cdot E_k }_{1+b_{i,k}}\rbrack\rbrack\rbrack =0\\ i\neq k のとき \underbrace{\lbrack F_i, \lbrack F_i ,\lbrack F_i ,\cdot\cdot\cdot\cdot F_k } _{1+c_{i,k}}\rbrack \rbrack\rbrack=0\\ $$

方程式の解

$A_i,B_i$は非可換量
$R_{i,i}=1$
$i\neq n$なら
$P_i,Q_i,R_{i,n}$は可換な零因子

$$ R_{i,n}R_{k,m}=\delta_{i,k}\delta_{n,m}R_{i,n}^2\\ P_iQ_k=\delta_{i,k}P_iQ_i\\ P_iR_{k,m}=\delta_{i,k}P_{i}R_{i,m}=\delta_{i,k}\delta_{i,m}P_{i}\\ Q_iR_{k,m}=\delta_{i,k}Q_{i}R_{i,m}=\delta_{i,k}\delta_{i,m}Q_{i}\\ i\neq k のとき \\ P_i^{b_{i,k}}P_k=Q_i^{c_{i,k}}Q_k=0\\ $$

解

$$ E_i={a_{i,i}}A_iP_i\\ F_i=(-B_iA_iB_i+ \lambda_i B_i)Q_i\\ H_i= \sum_{n}a_{i,n}(\lambda_n-\lbrace A_n,B_n \rbrace)R_{i,n}\\ J_i=\lbrack A_i,B_i \rbrack P_iQ_i $$

解2

すべての$i$に対して$a_{i,i}\neq0$の場合

$$ E_i=\frac{1}{a_{i,i}}A_iP_i\\ F_i=(-B_iA_iB_i+ \lambda_i B_i)Q_i\\ H_i= (\lambda_i-\lbrace A_i,B_i \rbrace)P_iQ_i\\ J_i=\sum_{n\\a_{i,n}\neq0}\frac{1}{a_{i,n}}\lbrack A_n,B_n \rbrack R_{i,n} $$

方程式の自己同型変換

方程式$1,2,3$は次のような自己同型変換を持つ。

生成元の入れ替え

$$\theta_1=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E_i \longrightarrow F_i\\ F_i \longrightarrow E_i\\ H_i \longrightarrow -H_i\\ J_i \longrightarrow J_i \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$\theta_2=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E_i \longrightarrow F_i\\ F_i \longrightarrow E_i\\ H_i \longrightarrow H_i\\ J_i \longrightarrow -J_i \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

スカラー倍

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E_i \longrightarrow e_iE_i\\ F_i \longrightarrow f_iF_i\\ H_i \longrightarrow j_iH_i\\ J_i \longrightarrow j_iJ_i \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$e_i,f_i,j_i$は
$e_if_i=j_i^2$かつ$0$でない場合、方程式$1,3$の自己同型変換
$e_if_i=j_i$かつ$0$でない場合、方程式$2$の自己同型変換

終わりに代えて

証明は需要があれば書きます。