不等式の証明(数Ⅱ)-1

今回は、不等式の証明を扱います。
初見の時、解くのにちょっと迷った問題を取り上げます。
本当はいっぱい解説してみたかったんですが、まずは無理するなということである程度楽にできる1問だけやってみようと思います！

問題

不等式の証明は、移項してあげると解き筋が見えることが多いです。今回も移項してみましょう。
$$ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}-ab-bc-ca \geqq 0 $$
こうなります。単純なものだとここからすぐ因数分解などができて証明終になるんですが、これはこのままでは因数分解できません。
初見のときは、「因数分解したい！でもどうやったらいいかわからない、、」で解けませんでした。
この式を見ると、何年も因数分解をしてきた皆さんなら$a^2,b^2,ab$から$ (a-b)^{2}$のような形を作りたくなりますよね！
それを作れるように調整していきます。いろいろやって$ab$を$2ab$にできたらいいな~と考えて、全体を$1/2$で括ります。
$$ \frac{1}{2} (2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca) \geqq0 $$
です。
ここまでくればもう簡単です。
$$ \frac{1}{2} (a^2-2ab+b^2+b^2-2bx+c^2+c^2-2ca+a^2)\geqq0 $$
からの
$$ \frac{1}{2} \lbrace \left( a-b \right)^2+ \left( b-c \right)^2 + \left( c-a\right)^2 \rbrace \geqq 0 $$
にできますね。
あとはおなじみ、実数の2乗は0以上を用いて証明終になります。

(そういえば、式とかで$ab$,$bc$,$ca$ってするのをサイクリックって言うらしいですね、この前数学の先生が言っていて初めて知りました)

今回はこんな感じにしておきたいと思います！
記事書くって良いですね～、もう解き方を忘れることはない！と自信を持って言えちゃいます笑
まだまだ慣れないもので読みづらかったと思いますが、最後までお付き合い頂きありがとうございました！！