総和的なノリで総乗（総積）となかよくなろう。

18874

こんにちは～～～～

はい。僕（睡眠が得意）です。あまりにも進捗をうむ気が起きないのでここにやってきました。

今回は総乗（総積ともいう）のお話です。高1のときに総和公式的なノリで総乗公式（総積公式）ってないのかな？って思って調べたんですけどなかったので例のサイトでパパってやって纏めてツイートしたらちょっと反応があったので、前回の記事よりは需要があると思います。

総乗は基本高校範囲ではないですが、たまに応用的な感じで総乗が出てきますよね。
今回はそんな応用問題（笑）をもう左足の小指の第三関節くらいでもねじ伏せるようになりたいひと向けの記事です。
ではいくぜ！

みていこう。

まずはガチで重要な、基礎的なやつから。

結合法則

$\prod_{k = 1}^{n} (a_{k} \cdot b_{k} \cdot c_{k} \cdot \dots) = \prod_{k = 1}^{n} a_{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} b_{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} c_{k} \cdot \dots$

$\prod_{k = 1}^{n} (a_{k} \cdot b_{k} \cdot c_{k} \cdot \dots) = (a_{1} \cdot b_{1} \cdot c_{1} \cdot \dots) (a_{2} \cdot b_{2} \cdot c_{2} \cdot \dots) (a_{3} \cdot b_{3} \cdot c_{3} \cdot \dots) (\dots) = (a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots) (b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot \dots) (c_{1} \cdot c_{2} \cdot c_{3} \cdot \dots) (\dots) = \prod_{k = 1}^{n} a_{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} b_{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} c_{k} \cdot \dots よって公式１を得る .$

総乗総和変換公式

$\prod_{k = 1}^{n} a^{a_{k}} = a^{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}}$

$\prod_{k = 1}^{n} a^{a_{k}} = a^{a_{1}} \cdot a^{a_{2}} \cdot a^{a_{3}} \cdot \dots = a^{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots} = a^{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}} よって公式２を得る .$

これは重要ですね～。高校数学の総乗なら公式２さえ知ってれば問題をみた瞬間に答えがでることが多いです。

定数

$\prod_{k = 1}^{n} a = a^{n}$

$\prod_{k = 1}^{n} a = a \cdot a \cdot a \cdot \dots = a^{n} はい .$

$\prod_{k = 1}^{n} k = n!$

$\prod_{k = 1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n = n!$

$k^{n}$ とかでしたいときは積に分けて公式１を適用して、 $(n!)^{n}$ ってなります。nは実数です（すなわち分数や累乗根でもできる）が、ガンマ関数を使えば複素数まで拡張できますね。

和

$\prod_{k = 1}^{n} (k + a) = (a + 1)_{n} = \frac{(a + n)!}{a!}$

下付き数字はPochhammer記号です。

$\prod_{k = 1}^{n} (k + a) = (1 + a) (2 + a) \dots (n + a) = (a + 1)_{n} = \frac{(a + n)!}{a!}$

kの係数を変えたい場合は、 $a k + b = a (k + \frac{b}{a})$ として、
$\prod_{k = 1}^{n} (a k + b) = a^{n} (a + \frac{b}{a})_{n} = \frac{(\frac{b}{a} + n)!}{(\frac{b}{a})!}$
って感じにすればいいですね。おっと、ガンマ関数さん、、、？

これで整式は因数分解→結合法則→和でできるようになりましたね。
あと等比型（公式２）もできるようになってます。

ちなみに総乗の中に階乗をいれるとBarnesのG関数とかがでてきたりしますが、まあ今回は脳筋総乗なのでこんなもんでいいでしょう。では練習問題でもやりますか。

問題

次の総乗を総乗記号を使わずに表せ。
$\prod_{k = 1}^{n} (k^{2} - 8 k + 15)$

解答例
$\prod_{k = 1}^{n} (k^{2} - 8 k + 15) = \prod_{k = 1}^{n} (k - 3) (k - 5) = \prod_{k = 1}^{n} (k - 3) \cdot \prod_{k = 1}^{n} (k - 5) = (- 2)_{n} (- 4)_{n} = \frac{Γ (n - 2)}{Γ (- 2)} \cdot \frac{Γ (n - 4)}{Γ (- 4)}$
あ、ガンマ関数になっちゃった。まあこのままでいいや。こんな感じです。

次の総乗を総乗記号を使わずに表せ。
$\prod_{k = 1}^{n} \frac{2}{3^{k}}$

解答例
$\prod_{k = 1}^{n} \frac{2}{3^{k}} = \prod_{k = 1}^{n} 2 \cdot 3^{- k} = 2^{n} 3^{- \frac{1}{2} n (n + 1)}$

次の総乗を総乗記号を使わずに表せ。
$\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 \sqrt{k}}{k^{2} + k}$

解答例
$\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 \sqrt{k}}{k^{2} + k} = \prod_{k = 1}^{n} 2 \sqrt{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2} + k} = \prod_{k = 1}^{n} 2 \sqrt{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \cdot \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} = \prod_{k = 1}^{n} 2 \cdot \prod_{k = 1}^{n} k^{\frac{1}{2}} \cdot \prod_{k = 1}^{n} k^{- 1} \cdot \prod_{k = 1}^{n} (k + 1)^{- 1} = 2^{n} (n!)^{\frac{1}{2}} (n!)^{- 1} ((n + 1)!)^{- 1} = \frac{2^{n} \sqrt{n!}}{n! (n + 1)!}$