総和的なノリで総乗（総積）となかよくなろう。
こんにちは～～～～
はい。僕（睡眠が得意）です。あまりにも進捗をうむ気が起きないのでここにやってきました。
今回は総乗（総積ともいう）のお話です。高1のときに総和公式的なノリで総乗公式（総積公式）ってないのかな？って思って調べたんですけどなかったので 例のサイト でパパってやって纏めてツイートしたらちょっと反応があったので、 前回の記事 よりは需要があると思います。
総乗は基本高校範囲ではないですが、たまに応用的な感じで総乗が出てきますよね。
今回はそんな応用問題（笑）をもう左足の小指の第三関節くらいでもねじ伏せるようになりたいひと向けの記事です。
ではいくぜ！
みていこう。
まずはガチで重要な、基礎的なやつから。
$$ \prod_{k=1}^{n} (a_k\cdot b_k\cdot c_k \cdot ~\cdots)=\prod_{k=1}^{n} a_k \cdot \prod_{k=1}^{n} b_k \cdot \prod_{k=1}^{n}c_k\cdot~ \cdots $$
$$ \prod_{k=1}^{n} (a_k\cdot b_k\cdot c_k \cdot ~\cdots)=(a_1\cdot b_1 \cdot c_1\cdot~\cdots)(a_2\cdot b_2 \cdot c_2\cdot~\cdots)(a_3\cdot b_3 \cdot c_3\cdot~\cdots)(\cdots) \\=(a_1\cdot a_2 \cdot a_3\cdot~\cdots)(b_1\cdot b_2 \cdot b_3\cdot~\cdots)(c_1\cdot c_2 \cdot c_3\cdot~\cdots)(\cdots)=\prod_{k=1}^{n} a_k \cdot \prod_{k=1}^{n} b_k \cdot \prod_{k=1}^{n}c_k\cdot~ \cdots \\よって公式１を得る. $$
$$ \prod_{k=1}^{n} a^{a_k}=a^{ \sum_{k=1}^{n}a_k} $$
$$ \prod_{k=1}^{n} a^{a_k}=a^{a_1}\cdot a^{a_2}\cdot a^{a_3}\cdot ~\cdots =a^{a_1+a_2+a_3+\cdots}=a^{ \sum_{k=1}^{n}a_k} \\よって公式２を得る. $$
これは重要ですね～。高校数学の総乗なら公式２さえ知ってれば問題をみた瞬間に答えがでることが多いです。
$$ \prod_{k=1}^{n} a=a^{n} $$
$$ \prod_{k=1}^{n} a= a\cdot a\cdot a\cdot~\cdots=a^{n}\\はい. $$
$$ \prod_{k=1}^{n} k=n! $$
$$ \prod_{k=1}^{n} k=1\cdot 2\cdot ~\cdots ~\cdot n=n! $$
$k^{n}$とかでしたいときは積に分けて公式１を適用して、$(n!)^{n}$ってなります。nは実数です（すなわち分数や累乗根でもできる）が、ガンマ関数を使えば複素数まで拡張できますね。
$$ \prod_{k=1}^{n}(k+a)=(a+1)_n= \frac{(a+n)!}{a!} $$
下付き数字はPochhammer記号です。
$$ \prod_{k=1}^{n}(k+a)=(1+a)(2+a)\cdots (n+a)=(a+1)_n= \frac{(a+n)!}{a!} $$
kの係数を変えたい場合は、$ak+b=a(k+ \frac{b}{a})$として、
$$
\prod_{k=1}^{n}(ak+b)=a^{n}\Bigl(a+ \frac{b}{a}\Bigr)_n= \frac{( \frac{b}{a}+n)!}{( \frac{b}{a})!}
$$
って感じにすればいいですね。おっと、ガンマ関数さん、、、？
これで整式は 因数分解→結合法則→和 でできるようになりましたね。
あと等比型（公式２）もできるようになってます。
ちなみに総乗の中に階乗をいれるとBarnesのG関数とかがでてきたりしますが、まあ今回は脳筋総乗なのでこんなもんでいいでしょう。では練習問題でもやりますか。
問題
次の総乗を総乗記号を使わずに表せ。
$$
\prod_{k=1}^{n} (k^{2}-8k+15)
$$
解答例
$$
\prod_{k=1}^{n} (k^{2}-8k+15)=\prod_{k=1}^{n}(k-3)(k-5)\\
=\prod_{k=1}^{n}(k-3)\cdot \prod_{k=1}^{n}(k-5)=(-2)_n(-4)_n= \frac{Γ(n-2)}{Γ(-2)}\cdot \frac{Γ(n-4)}{Γ(-4)}
$$
あ、ガンマ関数になっちゃった。まあこのままでいいや。こんな感じです。
次の総乗を総乗記号を使わずに表せ。
$$
\prod_{k=1}^{n} \frac{2} {3^{k}}
$$
解答例
$$
\prod_{k=1}^{n}\frac{2} {3^{k}}=\prod_{k=1}^{n}2\cdot 3^{-k}=2^{n}3^{- \frac{1}{2}n(n+1)}
$$
次の総乗を総乗記号を使わずに表せ。
$$
\prod_{k=1}^{n}\frac{2 \sqrt{k}} {k^{2}+k}
$$
解答例
$$
\prod_{k=1}^{n}\frac{2 \sqrt{k}} {k^{2}+k}=\prod_{k=1}^{n}2 \sqrt{k} \cdot \prod_{k=1}^{n}\frac{1} {k^{2}+k}=\prod_{k=1}^{n}2 \sqrt{k} \cdot \prod_{k=1}^{n}\frac{1} {k}\cdot \prod_{k=1}^{n}\frac{1} {k+1}
\\=\prod_{k=1}^{n}2\cdot \prod_{k=1}^{n} k^{ \frac{1}{2}} \cdot \prod_{k=1}^{n} k^{-1}\cdot \prod_{k=1}^{n} (k+1)^{-1}
\\=2^{n}(n!)^{\frac{1}{2}}(n!)^{-1}((n+1)!)^{-1}= \frac{2^{n} \sqrt{n!}}{n!(n+1)!}
$$
５つの公式だけでも結構いけますね。
極限飛ばしたりしても楽しそうですね。
追記:この記事を動画にしてみました
演習問題が増えたりしています。
おわり
終わりです。この記事は思い立ってからちょうど二時間で書き上げました。もっとやるべきことがあっただろ。
今回は総乗についての記事でした。ちなみに僕は常識を極めているので騒擾はしません。
なんか今日は学校が始まるらしいのでこのへんで。
さようなら～～～～～～～
