4

【完成版】logx のxに関するα階積分・反復積分について

860
1

こんにちは~~~~~

前回の記事 で衝撃的(衝撃的度には個人差があります)なデビューを遂げたこの僕(睡眠が得意)ですが 子葉さん に僕(睡眠が得意)の予想を証明していただきました!!

(子葉さんの人気記事:
ラマヌジャンの円周率公式を理解したい
日曜数学会発表資料「リーマン予想って結局何なの?」
楕円関数論の基礎のキソ

(そういえば、微積分を複数回作用させるのって回じゃなくて階ですよね。まあ前回の記事は直しませんけどね。)

定理

対数の自然数階積分公式

logxn, 1n!xn(logxk=1n1k)+C  .,C(?),nN.

対数の複素数階積分公式

logxα, 1Γ(α+1)xα(logxαk=11k(α+k))+C  .,Γ(α),C(?),αC.

もちろん自然数は複素数に含まれるので定理2で事足りるんですけどね。自然数のほうが綺麗なんでね、そっちも載せました。

(?)

k=1n1k 調(harmonic number)Hn 
で、拡張するにあたって参考にしたのが Wikipedia(調和数)
階乗の部分の拡張はみんな大好きガンマ関数たんに手伝って頂きました。

それでは証明、見ていきましょう。

子葉さんによる証明

logxα 1x  α+1 1Γ(α+1)ax(xt)αtdt    (a0)a1Γ(α+1)(1xxαtdt+0x(xt)αxαtdt)   t=xxu  0x(xt)αxαtdt=xα10uα11u du=xα011uα1u duxαHα1Γ(α+1)(1xxαtdt+0x(xt)αxαtdt)=1Γ(α+1)xα(logxHα) Hα=011tα1t dt=αk=11k(α+k)Hα+1Hα=01 tαtα+11t dt=01tαdt=1α+1Hα+nHn=01tn 1tα1t dt0    (as n)Hα=limn(Hn(Hα+nHα))     =limn( k=1n1kk=1n1α+k)     =limnk=1nαk(α+k)     =αk=11k(α+k)

というわけなんです。いやー疲れましたね。まあ僕は証明してないんで頭使ってないんですけどね。胡坐で打ってるのでね、脚が疲れたんですよね。じゃあ椅子に座ってやれって話なんですけれどもね。

追記

(ちなみに高校範囲である自然数階積分公式の方の証明は高校範囲でもできます。この記事の下にある子葉さんのコメントをみてね。)

まあこれで1xlogxの形の積分は何回でも繰り返せるようになったわけですね。

(そういえば、logxの-2階積分って1x2とかになりそうですが、ガンマ関数は負の整数では発散してしまいますよね……(後述))

使ってみよう。

(xlogxx)dx  

解答例
n=2,()=12!x2(logxk=121k)+C=12x2(logx32)+C.

(2x35x+1)logxdx  

解答例
俗にいう瞬間部分積分法を用いる.

f(x):=2x35x+1g(x):=logx
+2x35x+1x(logx1)
-6x2512x2(logx32)
+12x16x3(logx116)
-12124x4(logx2512)

(2x35x+1)(x(logx1))(6x25)(12x2(logx32))+(12x)(16x3(logx116))12(124x4(logx2512))+C            =18x(x3+4(x35x+2)logx+10x8)+C.

気づきましたか?この公式……全然使えません、元々logのn階積分の形のやつとかでなければすげえタイムロスです。何でこんなことしてるんだろうね。

一般化おじさんへ

ところで、僕が前回の記事を完成させてから2ピコ秒後、衝撃的なワードが目に飛び込んできました。
(あまりにも勢いよく目に飛び込んで来た為に数秒間デメニギスになってしまいました)
「反復積分に関するコーシーの公式」

反復積分に関するコーシーの公式

f(n)(x)=axaσ1aσn1f(σn) dσn dσ2 dσ1              =1(n1)!ax(xt)n1f(t) dt(Wikipedia)

(まあでもこれ、積分の形のままだしまあ)

この公式的にもやっぱり負の整数階の積分って定義されないんですかね?
でも1x の1階積分、 logx の0階積分と x(logx1) の「-1階積分」は同じになるはずだし……?
まだ未確立の操作ってことなんですかね?

追記

またもや 子葉さん のコメント(下にあります)により真実が暴かれました。
anとすると、級数の発散しない部分(すなわち級数から1α+nのある項を除いた部分)
logxαk=1kn1k(α+k)logx+nk=1kn1k(kn)
1Γ(α+1)0 によって0になるので、
limαnxαΓ(α+1)(α1n(α+n))
について考えればいいということになります。
ここで、ガンマ関数の性質 xΓ(x)=Γ(x+1)により、
    limαn1(α+n)Γ(α+1)=limαn(α+n1)(α+2)(α+1)(α+n)(α+2)(α+1)Γ(α+1)=limαn(α+n1)(α+2)(α+1)Γ(α+n+1)=(n+n1)(n+2)(n+1)Γ(n+n+1)=(1)n112(n2)(n1)Γ(1)=(1)n1(n1)!

だから、
limαn(1Γ(α+1)xα(logxαk=11k(α+k)))=(1)n1(n1)! xn
 となって、

確かに logxn階積分は logxn階微分になりますね。

(前述した、このページの下の方にある子葉さんによる高校範囲での証明の中では僕の公式より遥かに使える公式(補題1)もあるので、みてね。)

え?他人任せすぎる?ごめんなさい。でもコメントもギリ記事の一部では……ないですね。ごめんなさい。

二度データ飛び イラつきすぎて Enter押すの くそ強い(都都逸)

おわり

おわりです。前回と比べると素晴らしいものとなったんじゃないですかね?知らないですけど。
ところで、「お前やたらWikipedia推すな~……」って思ったひといますか?
ドッキリです。嘘です。ドッキリじゃないです。
ぼくがWiki好きなだけです。なんてったって情報量があるし、記事が信用できますからね。
というわけで今回は僕(Wikipediaが好き)のおすすめの記事でも紹介して終わることにします。
では。またいつか。
Wikipedia:ビコリム戦争

投稿日:202141
更新日:2024723
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

ぬるのぬ

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. こんにちは~~~~~
  2. 定理
  3. 使ってみよう。
  4. 一般化おじさんへ
  5. おわり