logx のxに関するn回積分についてのお話とその拡張①
謝罪
本当は確り順序立てて説明していきたいんですけど、
僕は僕自身の事を忙しいと思っているので、結果だけでこの記事を終えようとしています。
Mathlogの素晴らしい機能達とそれを生んだ方々、この記事を見てしまった方々に申し訳ないですね、、、
それに、僕が第一発見者とも限らないしそもそもこの予想が正しいかも不明なのでね、とんだクソ記事ですが、情報待ってます。
というわけで題名のやつ、いきます
$$ \log x のn回積分は, \frac{1}{n!} x^{n}( \log x-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k})+C と表せる. \\ただし,Cは積分定数,n \in \mathbb{N}. \\ $$
はい、こういうやつです。
この公式と瞬間部分積分を使えば、整式＊logx の形の積分が秒で終わりますね。やった～
ちなみに,上の予想に現れた$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ は調和数(harmonic number) と呼ばれ,
H_nで表される事もあります。(Wolfram Alphaで遊んでると出てきがち)
なんか実数に一般化したくなる形ですよね。無限大に飛ばしてオイラー・マスケローニ定数を出したりもできそうですね。調和数のwikiをみると色々想像が広がります。
調和数のWikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)?wprov=sfti1
というわけで一般化してしまいましょう。（未証明なのに、、、？）
$$ \log x のα回積分は, \frac{1}{Γ(α+1)} x^{α}( \log x- α\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(α+k)} ) +C と表せる. \\ただし,Γ(α)はガンマ関数,Cは積分定数,α \in \mathbb{R}. $$
終わり
終わりです。え？これだけ？って思うかもしれないですが、終わってしまうものは仕方がないのです。 では証明などなど、待ってますのでお願いしますね。
人生初TeXだったんですが、mathlogまじで使いやすいですね。ありがとうございます。ありがとうございます。
では、ぼくは地球惑星科学入門（北海道大学出版会）を読むとでもします。またいつか会いましょう。
補足
この予想は 子葉さん の証明によって、複素範囲でも確かめられました。（下のコメント参照）
この証明をそのまま拝借した完成版がいずれ出るので、記事が完成したらここに
リンクを貼りますね。
たださっきいったように僕は忙しい(笑)ので、全然更新されない可能性があります、、、、、* ぴえん *
あ、できた。
【完成版】logx のxに関するα階積分について