大学数学基礎議論

logx のxに関するn回積分についてのお話とその拡張①

予想,積分,高校数学

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題名のやつ、いきます

$$ \log x のn回積分は,　 \frac{1}{n!} x^{n}( \log x-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k})+C　　と表せる. \\ただし,Cは積分定数,n \in \mathbb{N}. \\ $$

こういうやつです。
この公式と瞬間部分積分を使えば、整式＊logx の形の積分が秒で終わりますね。やった～

ちなみに,上の予想に現れた$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ は調和数(harmonic number) と呼ばれ,
H_nで表される事もあります。

なんか実数に一般化したくなる形ですよね。無限大に飛ばしてオイラー・マスケローニ定数を出したりもできそうですね。調和数のwikiをみると色々想像が広がります。

調和数のWikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)?wprov=sfti1

というわけで一般化してしまいましょう。（未証明なのに、、、？）

予想（仮）２（ツー）

$$ \log x のα回積分は,　 \frac{1}{Γ(α+1)} x^{α}( \log x- α\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(α+k)} ) +C　　と表せる. \\ただし,Γ(α)はガンマ関数,Cは積分定数,α \in \mathbb{R}. $$

終わり

終わりです。え？これだけ？って思うかもしれないですが、終わってしまうものは仕方がないのです。　では証明などなど、待ってますのでお願いしますね。
人生初TeXだったんですが、mathlogまじで使いやすいですね。ありがとうございます。ありがとうございます。
では、ぼくは地球惑星科学入門（北海道大学出版会）を読むとでもします。またいつか会いましょう。