少し変わった積分の計算方法
はじめに
今回は少し変わった方法でとある積分を計算したいと思います.
今回求めたい積分
今回求めたいのはつぎの積分です
$\displaystyle
\int_{0}^{1} (1-x^a)^n dx=\frac{n!} {\displaystyle\prod_{k=1}^n (\frac{1}a +k)}
$
ただし,$a>0$かつ$n\in\N$
証明
$\displaystyle f(x)=\prod_{k=0}^n\frac{1}{x+k}$
とします.部分分数分解をすると,
$\displaystyle n!f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{x+k}$
となります.よって
$
\displaystyle \,n!f(\frac{1}a)\\
\displaystyle=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{\frac{1}a+k}\\
\displaystyle =a\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{ak+1}\\
\displaystyle =a\sum_{k=0}^n \int_{0}^1 {{}_n\mathrm{C}_k}(-x^a)^kdx\\
\displaystyle =a\int_{0}^{1} (1-x^a)^n dx
$
したがって
$
\displaystyle \int_{0}^{1} (1-x^a)^n dx=\frac{n!f(\frac{1}a)}a=\frac{n!} {\displaystyle\prod_{k=1}^n (\frac{1}a +k)}
$
おわりに
途中ででてきた部分分数分解は阪大の2006年の大問3の(2)で出題されているようです.
また,今回取り扱った積分は変形するとベータ関数になるのでそちらを使うともっと簡単に導出できます.
これらの２つは僕からの練習問題とします.書くのが面倒くさかっただけですが
最後まで読んでくださりありがとうございました.