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少し変わった積分の計算方法

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

今回は少し変わった方法でとある積分を計算したいと思います.

今回求めたい積分

今回求めたいのはつぎの積分です

$\displaystyle \int_{0}^{1} (1-x^a)^n dx=\frac{n!} {\displaystyle\prod_{k=1}^n (\frac{1}a +k)} $
ただし,$a>0$かつ$n\in\N$

証明

$\displaystyle f(x)=\prod_{k=0}^n\frac{1}{x+k}$
とします.部分分数分解をすると,
$\displaystyle n!f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{x+k}$
となります.よって
$ \displaystyle  \,n!f(\frac{1}a)\\ \displaystyle=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{\frac{1}a+k}\\ \displaystyle =a\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{{}_n\mathrm{C}_k}{ak+1}\\ \displaystyle =a\sum_{k=0}^n \int_{0}^1 {{}_n\mathrm{C}_k}(-x^a)^kdx\\ \displaystyle =a\int_{0}^{1} (1-x^a)^n dx $
したがって
$ \displaystyle \int_{0}^{1} (1-x^a)^n dx=\frac{n!f(\frac{1}a)}a=\frac{n!} {\displaystyle\prod_{k=1}^n (\frac{1}a +k)} $

おわりに

途中ででてきた部分分数分解は阪大の2006年の大問3の(2)で出題されているようです.
また,今回取り扱った積分は変形するとベータ関数になるのでそちらを使うともっと簡単に導出できます.
これらの2つは僕からの練習問題とします.
書くのが面倒くさかっただけですが

最後まで読んでくださりありがとうございました.

投稿日:202146

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Qoo
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