大学数学基礎解説

少し変わった積分の計算方法

ベータ関数,積分

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はじめに

今回は少し変わった方法でとある積分を計算したいと思います.

今回求めたい積分

今回求めたいのはつぎの積分です

$\int_{0}^{1} (1 - x^{a})^{n} d x = \frac{n!}{\prod_{k = 1}^{n} (\frac{1}{a} + k)}$
ただし, $a > 0$ かつ $n \in N$

証明

$f (x) = \prod_{k = 0}^{n} \frac{1}{x + k}$
とします.部分分数分解をすると,
$n! f (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{_{n} C_{k}}{x + k}$
となります.よって
$n! f (\frac{1}{a}) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{_{n} C_{k}}{\frac{1}{a} + k} = a \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{_{n} C_{k}}{a k + 1} = a \sum_{k = 0}^{n} \int_{0}^{1}_{n} C_{k} (- x^{a})^{k} d x = a \int_{0}^{1} (1 - x^{a})^{n} d x$
したがって
$\int_{0}^{1} (1 - x^{a})^{n} d x = \frac{n! f (\frac{1}{a})}{a} = \frac{n!}{\prod_{k = 1}^{n} (\frac{1}{a} + k)}$