x→0のときのΓ(ax)sinπbxの極限

証明

\begin{align*} \lim_{x\to 0} \Gamma(ax) \sin \pi bx &= \lim_{x\to 0} \Gamma(x)\sin \pi \frac{b}{a} x \\ &=\lim_{x\to 0} x\Gamma(x) \frac{\sin\pi \frac{b}{a} x}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}\Gamma(x+1)\frac{\sin\pi \frac{b}{a} x}{x}\\ &=\pi\frac{b}{a}\lim_{x\to 0}\Gamma(x+1)\frac{\sin x}{x}\\ &=\frac{b}{a}\pi \end{align*}