無限小数展開で任意の2つ以上の0~9の整数しかそれぞれの桁に登場しない無理数の構成

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問題設定

無理数を無限小数展開したときに各桁にでてくる $0$ から $9$ の数は，規則性がわからないので適当な無理数をとってきても，その無限小数展開にたとえば $5$ が出てこないかどうかはわかりません．では，無限小数展開したときに $5$ が出てこないような無理数は存在するのかという問題を考えてみましょう．
少し一般化して，次のように問題を設定してみます．

無限小数展開したときに， $0, 1, \dots, 9$ のうち特定の数だけが表れるような無理数は存在するか．

予備的考察

ほとんど明らかな事ですが，一応次のことを確認しておきましょう．
$1.1111 \dots$ を考えると，これは循環小数なので無理数ではない．同様 $0.0000 \dots, 2.2222 \dots, 3.333 \dots, \dots, 9.9999 \dots$ も無理数ではない．よってすべての位が $0, 1, \dots, 9$ のうちのいづれかひとつで構成される無理数は存在しない．

構成方法

$α$ を $0$ 以上 $1$ 未満の任意の無理数とする． $α$ を無限小数展開して
$α = 0. a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \dots$
としておく．ただし $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots$ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数．

ここで $m = 0, 1, \dots, 9$ に対して，次のように $δ_{m}^{n}$ を定義する．

$δ_{m}^{n} = {\begin{cases} 1 & (m \leq a_{n}) \\ 0 & (a_{n} < m) \end{cases}$

さらにこの $δ_{m}^{n}$ を $n = 1$ から順に並べた実数 $α_{m}$ を考える．すなわち，
$α_{m} := 0. δ_{m}^{1} δ_{m}^{2} δ_{m}^{3} \dots$
この時次が成立する．

$α_{0}, α_{1}, \dots, α_{9}$ のいづれかは無理数である．

$α = α_{0} + α_{1} + α_{2} + \dots + α_{9}$ である． $α$ は無理数だから $α_{0}, α_{1}, \dots, α_{9}$ のうちどれかは無理数でなければならない．もし，仮にすべて有理数だとすると $α$ が有理数となってしまい矛盾するからである．