Gauss 定数

Landen変換により、
$$\lambda=\frac{1-k'}{1+k'} ,\ \ \ \tan(\varphi_1-\varphi)=k'\tan\varphi$$
とするとき、
$$\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{1+\lambda}{2}\frac{d\varphi_1}{\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\varphi_1}}$$
が成り立つので、これを繰り返し用いて、
$$\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{1+\lambda_1}{2}\frac{1+\lambda_2}{2}\cdots\frac{1+\lambda_n}{2} \frac{d\varphi_n}{\sqrt{1-\lambda_n^2\sin^2\varphi_n}}$$
ただしここで$\tan(\varphi_i-\varphi_{i-1})=k'_{i-1}\tan\varphi_{i-1}$$,\ \ \lambda_i=\frac{1-k'_{i-1}}{1+k'_{i-1}}$$,\ \ \varphi_0=\varphi$$,\ \ k'_0=k'$とする。
$k'=\frac{b_0}{a_0}$とおくと$(\lambda'_1)^2=1-\lambda_1^2=1-\left(\frac{1-k'}{1+k'}\right)^2=\frac{4a_0b_0}{(a_0+b_0)^2}$より$a_1=\frac{a_0+b_0}{2}$$,\ b_1=\sqrt{a_0b_0}$とおけば、$\lambda_1'=\frac{b_1}{a_1}$となる。
$k'\gt 0$として、$a_i,b_i$を全て正の実数として同様に定義すると、
$$0\lt b_1\lt b_2\lt \cdots\lt b_n\lt a_n\lt \cdots \lt a_2\lt a_1$$がなりたつ。また、
$$a_n-b_n\lt a_n-b_{n-1}=\frac{a_{n-1}-b_{n-1}}{2}\lt \cdots \lt\frac{a_1-b_1}{2^{n-1}}$$より$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n={\rm agm}(a_0,b_0)=M$$とおく。これを算術幾何平均とよぶ。
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda'_n=1 ,\ \ \lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_n=0$$
となることが分かる。すると、十分大きな$n$について、
$$\frac{d\varphi_n}{\sqrt{1-\lambda_n^2\sin^2\varphi_n}}=d\varphi_n$$
としてよい。
$$1+\lambda_n=1+\sqrt{1-(\lambda'_n)^2}=1+\sqrt{1-\left(\frac{b_n}{a_n}\right)^2}=1+\frac{\sqrt{(a_{n-1}+b_{n-1})^2-4a_{n-1}b_{n-1}}}{2a_n}=1+\frac{a_{n-1}-b_{n-1}}{2a_n}=\frac{a_{n-1}}{a_n}$$
より、
$$\frac{1+\lambda_1}{2}\frac{1+\lambda_2}{2}\cdots\frac{1+\lambda_n}{2}=\frac{a_0}{2^na_n}$$

$$\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{a_0}{2^na_n} \frac{d\varphi_n}{\sqrt{1-\lambda_n^2\sin^2\varphi_n}}\fallingdotseq \frac{a_0 d\varphi_n}{a_n 2^n}$$
となる。
$\varphi \rightarrow \frac{\pi}{2}$のとき、$\varphi_n \rightarrow 2^{n-1}\pi$とみなすと、
$$\lim_{\varphi \rightarrow \frac{\pi}{2}} \int_0^{\varphi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_0 \varphi_n}{a_n 2^n}=\frac{\pi a_0}{2M}$$
$k=\sqrt{-1}$のとき、$k'=\sqrt{2}$なので$a_0=1,\ b_0=\sqrt{2}$とすると、
$$M={\rm agm}(1,\sqrt{2})=\frac{\pi}{2\omega}$$
を得る。