col関数

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導入

Twitterで Melville 氏が考案した三色関数というものが界隈で話題になっていたので記事にしました。

赤関数 $r e d x$ 、緑関数 $g r n x$ 、青関数 $b l u x$ を以下のように定義する。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} r e d x := \frac{1}{3} (e^{x} + e^{ω x} + e^{ω^{2} x}) \\ g r n x := \frac{1}{3} (e^{x} + ω^{2} e^{ω x} + ω e^{ω^{2} x}) \\ b l u x := \frac{1}{3} (e^{x} + ω e^{ω x} + ω^{2} e^{ω^{2} x}) \end{cases} \end{array}$
ここで、 $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ とする。

Melville氏は、この三つの関数について双曲線関数と同じような関係式をいくつか発見しました。それらのうちのいくつかをここに載せておきます。

以下、 $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ とする。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{d}{d x} r e d x = b l u x \\ \frac{d}{d x} g r n x = r e d x \\ \frac{d}{d x} b l u x = g r n x \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{r} {\begin{cases} r e d x + g r n x + b l u x = e^{x} \\ r e d x + ω g r n x + ω^{2} b l u x = e^{ω x} \\ r e d x + ω^{2} g r n x + ω b l u x = e^{ω^{2} x} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{r} {\begin{cases} {r e d}^{2} x = \frac{1}{3} r e d (2 x) + \frac{2}{3} r e d (x + ω x) \\ {g r n}^{2} x = \frac{1}{3} b l u (2 x) + \frac{2}{3} ω^{2} b l u (x + ω x) \\ {b l u}^{2} x = \frac{1}{3} g r n (2 x) + \frac{2}{3} ω g r n (x + ω x) \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{r} {\begin{cases} r e d x g r n x = \frac{1}{3} (g r n (2 x) - g r n (- x)) \\ g r n x b l u x = \frac{1}{3} (r e d (2 x) - r e d (- x)) \\ b l u x r e d x = \frac{1}{3} (b l u (2 x) - b l u (- x)) \end{cases} \end{array}$

${r e d}^{2} x + {g r n}^{2} x + {b l u}^{2} x = \frac{e^{2 x} + 2 e^{- x}}{3}$

$r e d x g r n x + g r n x b l u x + b l u x r e d x = \frac{e^{2 x} - e^{- x}}{3}$

${r e d}^{3} x + {g r n}^{3} x + {b l u}^{3} x = \frac{r e d (3 x) + 2}{3}$

$r e d x g r n x b l u x = \frac{r e d (3 x) - 1}{9}$

一般化

一般化された三色関数 ${c o l}_{n, k} (x)$ を以下のように定義する。
${c o l}_{n, k} (x) := \frac{1}{n} \sum_{m = 1}^{n} ζ_{n}^{- m k} \exp (ζ_{n}^{m} x)$
ここで $ζ_{n} = \exp (\frac{2 π i}{n})$ とする。

以下、 $ζ_{n} = \exp (\frac{2 π i}{n})$ とする。

${c o l}_{n, k} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{x^{m n + k}}{(m n + k)!}$
$L [{c o l}_{n, k} (a x)] (s) = \int_{0}^{\infty} {c o l}_{n, k} (a t) e^{- s t} d t = \frac{a^{k} s^{n - k - 1}}{s^{n} - a^{n}}$
この式はとが氏、なしゃ氏、るめなる氏によって発見された。

加法定理

この式はなしゃ氏によって発見された。
${c o l}_{n, k} (x + y) = \sum_{m = 0}^{n - 1} {c o l}_{n, m} (x) {c o l}_{n, (k - m) % n} (y)$
ただし、 $(k - m) % n$ は $k - m \equiv a (m o d n)$ を満たす最小の非負整数 $a$ を表す。