col関数
導入
Twitterで Melville 氏が考案した三色関数というものが界隈で話題になっていたので記事にしました。
赤関数$\red \ x$、緑関数$\grn \ x$、青関数$\blu \ x$を以下のように定義する。
$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\ds\red \ x:=\frac13\left(e^x+e^{\omega x}+e^{\omega^2 x}\right) \\
\ds\grn \ x:=\frac13\left(e^x+\omega^2 e^{\omega x}+\omega e^{\omega^2 x}\right) \\
\ds\blu \ x:=\frac13\left(e^x+\omega e^{\omega x}+\omega^2 e^{\omega^2 x}\right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
ここで、$\ds \omega=\frac{-1+\sqrt3i}{2}$とする。
Melville氏は、この三つの関数について双曲線関数と同じような関係式をいくつか発見しました。それらのうちのいくつかをここに載せておきます。
以下、$\ds \omega=\frac{-1+\sqrt3i}{2}$とする。
$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\ds \frac{d}{dx}\red \ x=\blu \ x\\
\ds \frac{d}{dx}\grn \ x=\red \ x\\
\ds \frac{d}{dx}\blu \ x=\grn \ x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
$$ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} \ds \red \ x+\grn \ x+\blu \ x=e^x \\ \ds \red \ x+\omega\grn \ x+\omega^2\blu \ x=e^{\omega x} \\ \ds \red \ x+\omega^2\grn \ x+\omega\blu \ x=e^{\omega^2 x} \\ \end{array}\right. \end{eqnarray} $$
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ds\red^2x = \frac13 \red(2x)+\frac23\red(x+\omega x)\\ \ds\grn^2x = \frac13 \blu(2x)+\frac23\omega^2\blu(x+\omega x)\\ \ds\blu^2x = \frac13 \grn(2x)+\frac23\omega\grn(x+\omega x) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ds\red \ x \ \grn \ x= \frac13\left(\grn(2x)-\grn(-x)\right)\\ \ds\grn \ x \ \blu \ x= \frac13\left(\red(2x)-\red(-x)\right)\\ \ds\blu \ x \ \red \ x= \frac13\left(\blu(2x)-\blu(-x)\right) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$\red^2x+\grn^2x+\blu^2x=\frac{e^{2x}+2e^{-x}}{3}$$
$$\red \ x \ \grn \ x+\grn \ x \ \blu \ x+\blu \ x \ \red \ x=\frac{e^{2x}-e^{-x}}{3}$$
$$\red^3x+\grn^3x+\blu^3x=\frac{\red(3x)+2}{3}$$
$$\red\ x \ \grn\ x \ \blu\ x=\frac{\red(3x)-1}{9}$$
一般化
一般化された三色関数$\col_{n,k}(x)$を以下のように定義する。
$$
\col_{n,k}(x):=\frac1n \sum_{m=1}^n \zeta_n^{-mk} \exp(\zeta_n^mx)
$$
ここで$\ds\zeta_n=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$とする。
以下、$\ds\zeta_n=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$とする。
この式は
なしゃ
氏によって発見された。
$$\col_{n,k}(x+y)=\sum_{m=0}^{n-1}\col_{n,m}(x)\col_{n,(k-m)\%n}(y)$$
ただし、$(k-m)\%n$は$k-m\equiv a \ ({\rm{mod}} \ n)$を満たす最小の非負整数$a$を表す。
特に、 わたる 氏による次の定理は美しい結果である。
$C(x)$を第$i$行第$j$列の成分が$\col_{n,(1-j+i)\%n}(x)$である$n$次正方行列とする。このとき、$\det C(x)$は$x$によらず$1$である。
$$ \sum_{m=0}^{n-1} \zeta_n^{mk}\col_{n,m}(x)=\exp\left(\zeta_n^k x\right) $$
$$\sum_{m=0}^{n-1}\col_{n,m}^2 \ x=\frac1m \sum_{m=0}^{n-1}\exp\left(2x \cos\left(\frac{2m\pi}{n}\right)\right)$$
ここまでの内容が2021年4月8日5:00時点で$\col$関数について判明している事実である。
あれ？なんかこれ、$\col_{n,k}$の$k$を一般の整数にしても良くね？